Ecuaciones ECUACIN DE SEGUNDO GRADO ECUACIN DE 2

Ecuaciones ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN DE 2º GRADO • • • ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. ‑ Es aquella que, tras pasar todo a un lado de la igualdad, el polinomio característico es de 2º grado. Tiene la forma a. x 2 + b. x + c = 0 • Para hallar la solución o valores de x que cumplen la igualdad, se pueden dar varios casos: • • • CASO CASO 1. ‑ 2. 3. 4. 5. - Que a=0 La ecuación NO es de segundo grado. Que b = 0 Ecuación incompleta. Que c= 0 Ecuación incompleta. Que b=0 y c=0 Solución: x=0 Que a, b y c <> 0 Ecuación completa.

ECUACIÓN INCOMPLETA • CASO 1. ‑ • Tiene la forma • • • Paso 1. Paso 2. Paso 3. - a. x 2 = 0/a x 2 = 0 x = +/- √ 0 = 0 Dándonos las dos raíces iguales a 0.

• Ejemplos • x 2 = 0 x=0 • 3. x 2 = 0/3 x 2 = 0 x=0 • - 5. x 2 = 0/(- 5) x 2 = 0 x=0 • 5 • -- x 2 = 0 • 3 x 2 = 0 x=0 x 2 = 3. 0 / 5

ECUACIÓN INCOMPLETA • CASO 2. ‑ • Tiene la forma • • • Paso 1. Paso 2. Paso 3. - a. x 2 + c = 0 a. x 2 = - c / a x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen.

• EJEMPLO • • Sea x 2 - 4 = 0 • • • Paso 1. Paso 2. Paso 3. - x 2 = 4 / 1 = 4 x = +/- √ 4 Dándonos las dos raíces: x = +/- 2 • x 1 = + 2 • x 2 = - 2

• EJEMPLO • • Sea 2. x 2 - 18 = 0 • • • Paso 1. Paso 2. Paso 3. - 2. x 2 = 18 x 2 = 4 / 2 = 9 x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x = +/- 3 • x 1 = + 3 • x 2 = - 3

• CASO 3. • Tiene la forma a. x 2 + b. x = 0 • Clave: Sacar factor común a x. • • Paso 1. - x. (a. x + b ) = 0 Paso 2. - x = 0 es un raíz Paso 3. - a. x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz

• EJEMPLO • Sea 2. x 2 + 8. x = 0 • • Paso 1. - x. (2. x + 8 ) = 0 Paso 2. - x = 0 es una raíz Paso 3. - 2. x + 8 = 0 de donde x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz • x 1 = 0 • x 2 = - 4

• EJEMPLO • Sea 3. x 2 -- 6. x = 0 • • • Paso 1. - x. (3. x -- 6 ) = 0 Paso 2. - x = 0 es una raíz Paso 3. - 3. x -- 6 = 0 de donde 3. x = 6 / 3 = 2 es otra raíz • x 1 = 0 • x 2 = 2

• EJEMPLO CASO 3. • Sea 4. x 2 -- 3. x = 0 • • • Paso 1. - x. (4. x -- 3 ) = 0 Paso 2. - x = 0 es una raíz Paso 3. - 4. x -- 3 = 0 de donde 4. x = 3 / 4 es otra raíz • x 1 = 0 • x 2 = 3 / 4 = 0, 75

Ecuación de segundo grado completa • Tiene la forma: • a. x 2 + b. x + c = 0 • • Donde a, b y c son distintos de cero. • Se resuelven aplicando la fórmula: • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) x 1 • x = -------------- = 2. a x 2 Deducimos la fórmula …

• Resolución de ecuaciones completas • • • • 1. ‑ Restamos c a ambos términos: a. x 2 + b. x = ‑c 2. ‑ Multiplicamos por 4. a a todo: 4. a 2 x 2 + 4. a. b. x = ‑ 4. a. c 3. ‑ Sumamos b 2 a ambos términos: 4. a 2 x 2 + 4. a. b. x + b 2 = b 2 ‑ 4. a. c (2. a. x + b)2 = b 2 ‑ 4. a. c 4. ‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2. a. x + b = +/- √ (b 2 ‑ 4. a. c) 5. ‑ Restamos b a los dos términos: 2. a. x = ‑ b + √ (b 2 ‑ 4. a. c) 6. ‑ Dividimos a ambos términos entre 2. a: ‑ b + √ (b 2 ‑ 4. a. c) Con el + hallamos una x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2. a

• Ejemplo 4 • a=1 Sea x 2 + 6. x + 9 = 0 b=6 c=9 • - b +/- √(b 2 – 4. a. c) • x = -------------- = 2. a • - 6 +/- √(36 – 4. 1. 9) • x = ---------------- = 2. 1 • - 6 +/- 0 (-6 + 0) / 2 = - 3 = x 1 • x = ‑‑‑‑‑‑‑ = • 2 (- 6 - 0) / 2 = - 3 = x 2 Una solución Otra solución. • Cuando b 2 – 4. a. c = 0 el valor de las dos soluciones coincide.

DISCRIMINANTE • Llamamos discriminante, Δ, en una ecuación de segundo grado al valor de: • • Δ = b 2 ‑ 4. a. c • Presentándose tres casos, según su valor: • Si Δ > 0 , las dos raíces son reales y distintas. • Si Δ = 0 , las dos raíces son reales e iguales ( raíz doble ). • Si Δ < 0 , las raíces no son reales.

• EJEMPLOS: • Caso 1. • • • x 2 + 2. x + 3 = 0 b 2 ‑ 4. a. c = 4 – 4. 1. 3 = 4 – 12 = - 8 La ecuación no tiene soluciones reales • Caso 2. • • • x 2 + 2. x + 1 = 0 b 2 ‑ 4. a. c = 4 – 4. 1. 1 = 4 – 4 = 0 La ecuación tiene las dos soluciones iguales. • Caso 3. • • • x 2 - 3. x + 2 = 0 b 2 ‑ 4. a. c = 9 – 4. 1. 2 = 9 – 8 = 1 La ecuación tiene dos soluciones distintas.

FACTORIZACIÓN • Un trinomio de 2º grado, a. x 2 + b. x + c, con las raíces x 1 y x 2 se puede descomponer siempre de la siguiente manera: • a. x 2 + b. x + c = a. (x – x 1). (x – x 2) • Ejemplos: • x 2 – 3. x + 2 tiene como raíces x=1 y x=2 • Podemos poner: x 2 + 3. x + 2 = (x – 1 ). (x – 2 ) • x 2 – 5. x + 6 tiene como raíces x=2 y x=3 • Podemos poner: x 2 – 5. x + 6 = (x – 2 ). (x – 3 )

• Más EJEMPLOS: • • x 2 + 2. x + 3 no tiene raíces reales No se puede factorizar • • x 2 + 2. x + 1 tiene las dos raíces iguales x=-1, x=-1 Podemos poner x 2 + 2. x + 1 = (x + 1) • • 3. x 2 + 5. x – 8 tiene como raíces x=1 y x=- 8/3 Podemos poner: 3. x 2 + 5. x – 8 = 3. (x – 1 ). (x + 8/3) • • 5. x 2 – 7. x – 34 tiene como raíces x=-2 y x= 17/5 Podemos poner: 5. x 2 – 7. x – 34 = 5. (x + 2 ). (x – 17/5) • • Importante: Hay que darse cuenta de que cuando el valor de la raíz es negativo, el factor es de la forma (x + …), en lugar de (x – …)