RESOLUCIN DE LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO Resolver

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Resolver una ecuación de 2° grado es encontrar sus raíces o soluciones, es decir, aquellos valores de la incógnita que satisfacen la ecuación ( verifican la igualdad ) Recordemos este concepto aplicándolo a una ecuación de 1° grado: ¿Cuál es la solución de la ecuación x + 5 = 12 ? Así La respuesta es x = 7 pues, si reemplazamos la solución x = 7 en x + 5 = 12 satisface la ecuación En efecto, ¡ x = 7 satisface la ecuación! 7 + 5 = 12 por tanto, es la solución 12 = 12

…veamos otro ejemplo 3 x – 9 = 6 ¿Cuál es la solución de la ecuación? la respuesta es x=5 ? reemplacemos la solución en la ecuación para verificar 3 x – 9 = 6 3 • 5– 9=6 15 – 9 = 6 6 =6 ¡ x = 5 satisface la ecuación! por tanto, es la solución Seguramente estarás pensando en resolver las ecuaciones de 1° grado despejando la x. Por ahora sólo lo hemos hecho por ensayo y error.

…ahora consideremos una ecuación de 2° grado (cuadrática) X 2 Piensa, piensa… – 7 x + 12 = 0 ¿La ecuación está ordenada a la forma ax 2 + bx + c = 0 ? siiiiiii ¿Cuáles son los valores de a, b y c ? ¿Qué tipo de ecuación es ? a= 1 b= -7 c= 12 ¡Completa general! ¿Cuál(es) es(son) el(los) valor(es) de x que satisface(n) la ecuación X 2 – 7 x + 12 =0? Probemos dándonos algunos valores para x…

En efecto, la ecuación X 2 – 7 x + 12 = 0 tiene como raíces o soluciones los números reales 3 y 4 que se designan usualmente x 1 y x 2 X 2 – 7 x + 12 = 0 X 1 = 3 X 2 = 4 Es sencillo comprobar que dichos valores satisfacen la ecuación: X 2 – 7 x + 12 = 0 X 1 = 3 : 32 – 7 • 3 + 12 = 0 9 – 21 + 12 = 0 0 = 0 X 2 – 7 x + 12 = 0 X 2 = 4 : 42 – 7 • 4 + 12 = 0 16 – 28 + 12 = 0 0 = 0

Fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas Existe un método de resolución de ecuaciones de 2° grado que permite determinar las raíces o soluciones de cualquier tipo de ecuación cuadrática en forma más simple. Este método consiste en aplicar una fórmula general que expresa en forma abreviada las dos raíces x 1 y x 2 de la ecuación ax 2 + bx + c = 0, en función de los coeficientes a, b y c Apliquemos esta fórmula para resolver la ecuación vista anteriormente: X 2 – 7 x + 12 = 0 a= 1 b= -7 c= 12 ¡¡¡bien, la fórmula funciona!!!

Ejemplos: 1. Resolver la ecuación x 2 – 2 x – 3 = 0 En este caso a=1 b = -2 c = -3 Entonces, reemplazando en la fórmula general se obtiene: el inverso de b b 2 = (-2)2 = 4 Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x 1 = 3 y x 2 = -1

2. Determinar las raíces de la ecuación 9 x 2 – 6 x + 1 = 0 En este caso a=9 b = -6 c=1 Reemplazando en la fórmula general se obtiene: Luego, ambas raices son iguales, por lo tanto, la solución de la ecuación es

3. Resolver la ecuación x 2 + 3 x - 4 = 0 a=1 b=3 c = -4 Estos valores se reemplazan en la fórmula general : Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x 1 = 1 y x 2 = -4

4. La solución de la ecuación x ( x + 11 ) + 4 x = 7 x 2 - 9 Como puedes observar la ecuación no está escrita a la forma ax 2 + bx + c = 0 , por lo tanto, lo primero que debemos hacer es ordenarla para luego aplicar la fórmula general. x ( x + 11 ) + 4 x = 7 x 2 - 9 x 2 + 11 x + 4 x = 7 x 2 - 9 X 2 + 11 x + 4 x- 7 x 2 + 9 = 0 - 6 x 2 + 15 x+ 9 = 0 / • -1 6 x 2 – 15 x – 9 = 0 ¡Ecuación ordenada! …ahora podemos aplicar la fórmula general a=6 b = -15 c = -9 Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x 1 = 3 y x 2 = -1/2

5. La solución de la ecuación ( x + 3 )2 = ( 2 x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 Primero ordenaremos la ecuación a la forma ax 2 + bx + c = 0 para luego aplicar la fórmula general. ( x + 3 )2 = ( 2 x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 ( x + 3 ) = ( 2 x + 3 ) ( x – 1 ) + 6 x 2 + 3 x + 9 = 2 x 2 - 2 x+ 3 x- 3 + 6 X 2 + 3 x +9 - 2 x 2 + 2 x- 3 x+ 3 - 6 = 0 - x 2 + 5 x + 6 = 0 / • (-1) X 2 – 5 x – 6 = 0 ¡Ecuación ordenada! a la forma ax 2 + bx + c = 0 a=1 b = -5 c = -6 Por lo tanto, las raíces o soluciones de la ecuación son x 1 = 6 y x 2 = -1

Practicando lo Aprendido (Autoevaluación) Ordenar y resolver las siguientes ecuaciones de 2° grado, mediante la fórmula general: 1) x 2 + 7 x + 12= 0 2) X 2 - 14 x + 45= 0 3) 5) 4 x 2 - 4 x + 1= 0 4) 2 x 2 + 7 x - 4= 0 4 y 2 + 1 = 9 + 4 y 6) Desafío: El profesor de Lenguaje de Felipe le pidió como tarea que hiciera un poema que tuviera rima e integrara las asignaturas de Lenguaje y Matemática. A Felipe le gustaban los desafíos, así que después de un rato escribió: Un número entero soy y qué cansado estoy. Ocho veces han multiplicado mi sucesor por mi antecesor hoy y nadie entiende cómo he terminado ocho unidades menor que yo mismo, aquí donde estoy…

PAUTA DE CORRECCIÓN 1) ( -3 ; -4 ) 2) (9 ; 3) ( 4/8 = 1/2 ) 4) ( 2/4 = 1/2 ; -4 ) 5) ( 2 ; -1 ) 5)