DIVISIBILIDADE E NMEROS PRIMOS Carlos Tenreiro Departamento de

DIVISIBILIDADE E NÚMEROS PRIMOS Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 5 de Março de 2005

Divisores / Múltiplos l Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero: 3 é divisor de 15 15 é divisível por 3 15 é múltiplo de 3

Divisibilidade por 2 l Será que o número 5647837483784 é divisível por 2? Claro que é. O número é par.

Divisibilidade por 5 e por 10 l Será que o número 873654675 é divisível por 5? E o número 1234567890? E por 10? Ambos são divisíveis por 5, mas só o último é divisível por 10.

Divisibilidade por 3 l Será que o número 93 é divisível por 3? Sim, porque: 9 3 03 0 3 31 resto zero

Divisibilidade por 3 l Será que o número 123465714 é divisível por 3? Um número é divisível por 3 se a soma dos seus algarismos é divisível 3.

Divisibilidade por 3 l O número 123465714 é divisível por 3, porque 1+2+3+4+6+5+7+1+4 é divisível por 3.

Divisibilidade por 3 l E os números 6168900? SIM 3331333? NÃO

Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4 l Serão divisíveis por 4 os números: 4312? 1635? SIM NÃO

Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 se é divisível por 2 e por 3. l Serão divisíveis por 6 os números: 4512? 1635? SIM NÃO

Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é divisível 9. l Será que o número 123462 19 é divisível por 9? NÃO SIM

Divisibilidade por 7 l Será que o número 16618 é divisível por 7? 1661 8 1661 2 x 8=16 1661 – 16 = 1645 ?

Divisibilidade por 7 1645 164 2 x 5=10 164 – 10 = 154 ?

Divisibilidade por 7 154 15 15 4 2 x 4=8 15 – 8 = 7 SIM

Divisibilidade por 7

Divisibilidade por 7 123123 = 123000+123 = 123 x 1000 + 123 = 123 x (1000 + 1) = 123 x 1001 = 123 x 7 x 11 x 13

Euclides de Alexandria • Mais importante matemático da antiguidade • Escreveu “Os Elementos” • Ensinou e morreu em Alexandria no Egipto (325 A. C. – 265 A. C. )

Os Elementos Primeira página de “Os Elementos” numa tradução latina publicada em 1482.

Número primo O que diz Euclides: Um número é primo se só pode ser medido pela unidade e por ele próprio Caso contrário, o número é composto

Medir um número O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4: 15 = 5= 4=

Medir um número O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15): 15 = 5= 3=

Medir um número Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15

Número primo Um número é primo se só tem dois divisores: a unidade e ele próprio Caso contrário, o número é composto

Primo ou Indecomponível • 15 é composto. Pode-se decompor: 15 = 3 x 5 • 7 é primo. Não se pode decompor: 7=7

Alguns números primos

Alguns números primos

Mais números primos

Primos enormes Com 50 algarismos: Com 100 algarismos: Com 200 algarismos:

Decomposição em factores primos 60 = 6 x 10 = 2 x 3 x 2 x 5 = 2 x 2 x 3 x 5 60 = 2 x 3 x 5

Decomposição em factores primos 60 30 15 5 1 2 2 3 5 60 = 2 x 3 x 5

Decomposição em factores primos 720 360 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 720=2 x 2 x 3 x 3 x 5

Decomposição em factores primos 720=2 x 2 x 3 x 3 x 5 Alguns divisores de 720: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, … Quantos são os divisores de 720?

BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE