POLINOMIOS M C D Y M C M

POLINOMIOS: M. C. D. Y M. C. M. FRACCIONES ALGEBRAICAS ECUACIONES ALGEBRAICAS

M. C. D. Y M. C. M. DE VARIOS POLINOMIOS Recordemos primero cómo calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de varios números con un ejemplo: Sean los números 12 y 40 Primero debemos descomponerlos en sus factores primos: 12 = 22. 3 40 = 23. 5

Para calcular el m. c. d. multiplicamos los factores comunes elevados al menor exponente m. c. d. (12 , 40) = 22 = 4 Sin embargo para el m. c. m debemos multiplicar los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente m. c. m. (12 , 40) = 23. 3. 5 = 120 12 = 22. 3 40 = 23. 5

Para calcular el m. c. d. y el m. c. m. en el caso de varios polinomios conviene recordar: • ¿ Qué son polinomios primos? • Factorización de polinomios

Son polinomios primos aquellos que sólo son divisibles entre sí mismos y la unidad. Ejemplos de polinomios primos: • x + 1 • x - 2 • 2 x + 1 • x 2 + 1 • x 4 + 2 En general son primos todos los polinomios de la forma (x – a)

Veamos un ejemplo de factorización: Comenzamos a factorizar siempre haciéndonos las mismas preguntas P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x 1. ¿Podemos sacar factor común? Sí, se repite 3 x en todos los monomios que forman P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x = 3 x·(2 x 3 – 3 x 2 – 11 x +6) Ahora nos centraremos en factorizar… 2. ¿Es identidad notable? No 3. ¿Es ecuación de segundo grado? No 4. Luego como es un polinomio de grado tres, utilizaremos Ruffini.

2 x 3 – 3 x 2 – 11 x +6 2 1 -2 21 Los divisores del término independiente, 6, son: 1, -1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. -3 -11 +6 1 -4 -2 14 -13 -6 -2 -7 -13 3 -7 0 Luego si -2 es raíz, un divisor de P(x) es: x + 2 Comenzaríamos probando con el 1. Como no da cero borraríamos y probaríamos con otro divisor de 6. Probaríamos con el -1 y el 2 y comprobaríamos que el resto no es 0. Sin embargo con el -2 da 0. Y el otro polinomio que obtenemos en Ruffini es: Por lo tanto: x 2 - 7 x + 3 (2 x 3 – 3 x 2 – 11 x +6) = (x + 2)·(x 2 – 7 x +3) Así, P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x quedará factorizado: P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x = 3 x·(2 x 3 – 3 x 2 – 11 x +6) = = 3 x·(x + 2)·(x 2 – 7 x +3)

Para acabar de factorizar tomaremos raíces. 2 x 2 -7 x +3 y hallaremos sus Igualamos a 0 el polinomio y resolvemos la ecuación: x 1 = 3 Las soluciones obtenidas x 2 = serán: Por lo tanto 2 x 2 -7 x +3 = · 2 x 2 -7 x +3 = 0 (x x -– 33) (x ½) x – 1/2 · 2 ¿Por qué ponemos el 2? Porque si sólo multiplicamos (x – 3) · (x – ½), el coeficiente de mayor grado no quedaría 2 x 2, sino x 2. Así P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x quedará factorizado: P(x) = 6 x 4 – 9 x 3 – 33 x 2 + 18 x = 3 x·(2 x 3 – 3 x 2 – 11 x +6) = = 3 x·(x + 2)·(2 x 2 – 7 x +3) = 3 x ·(x + 2)·(x – 3) ·(x -1/2) · 2

Recopilemos toda la información obtenida: P(x) = 3 x ·(x + 2)·(x – 3)·(x -1/2) · 2 Raíces: Polinomios divisores de P(x): -2 x+2 3 x-3 1/2 x – 1/2 0 x ¡Pero falta otra raíz! Como tenemos la x como factor, si igualamos a 0 dicho factor, obtenemos x = 0

CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D) Y DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M)

Para calcular el m. c. d y el m. c. m, tenemos que tener los polinomios factorizados. Recuerda que para factorizar polinomios hay que seguir ciertos pasos: 1. Sacar factor común. 2. Mirar si es identidad notable. 3. Resolver la ecuación de segundo grado o Ruffini.

CÁLCULO DEL M. C. D. Ejemplo 1 Hallemos el m. c. d de los polinomios P(x) y Q(x): P(x) = x 3 + x 2 - 4 x - 4 Q(x) = 3 x 2 - 12 x + 12 El primer paso es factorizar dichos polinomios. P(x) = (x - 2)·(x + 1) Q(x) = 3·(x - 2)2

La definición de m. c. d es: El producto de los factores comunes al menor exponente Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: P(x) = (x - 2) ·(x + 2)·(x + 1) Q(x) = 3·(x (x - 2) 2 El único factor común, y al menor exponente es (x - 2) m. c. d(P(x), Q(x)) = (x - 2)

Ejemplo 2 P(x) = 48 x 6 - 144 x 4 + 96 x 3 = 24 · 3 ·x 3 · (x-1)2· (x+2) (x-1)·(x+3) Q(x) = 4 x 4 + 8 x 3 - 12 x 2 = 2 2 · x 2 ··(x-1) Factorizamos los polinomios Recordemos que el m. c. d son factores comunes al menor exponente, luego en este caso los factores comunes son: 2 y (x-1) Como tiene que ser al menor exponente, m. c. d(P(x), Q(x)) = 22 · (x-1)

CÁLCULO DEL M. C. M. Ejemplo 1 Hallemos el m. c. m de los polinomios P(x) y Q(x): P(x) = x 3 + x 2 - 4 x - 4 = (x - 2)·(x + 1) Q(x) = 3 x 2 - 12 x + 12 = 3·(x - 2)2 El primer paso es factorizar dichos polinomios. La definición de M. C. M. es: el producto de los factores comunes y no comunes al mayor exponente.

Luego si los polinomios P(x) y Q(x) factorizados son: P(x) = (x –- 2) 2) · (x (x ++ 2) 2) ·· (x + 1) Q(x) = 3·· (x (x -- 2) 2)22 Los factores comunes son: (x - 2) y los no comunes son: 3, (x + 2) y (x + 1). Como tienen que ser al mayor exponente, el m. c. m(P(x), Q(x)) = 3·(x + 2)· (x + 1)· (x - 2)2

Ejemplo 2 P(x) = 48 x 6 - 144 x 4 + 96 x 3 = 24 · 3 ·x 3 · (x-1)2 · (x+2) Q(x) = 4 x 4 + 8 x 3 - 12 x 2 = 22· x 2 · (x-1) ·(x+3) Factorizamos los polinomios Recordemos que el m. c. m son factores comunes y no comunes al mayor exponente, luego en este caso, m. c. m(P(x), Q(x)) = 24· 3 ·x 3 · (x+3) · (x+2) ·(x-1)2

FRACCIONES ALGEBRAICAS En la multiplicación y división de fracciones algebraicas se factoriza tanto el numerador como el denominador, se multiplica o se divide, según sea, y se simplifica: Ejemplo: Operamos y simplificamos Factorizamos

Para sumar o restar fracciones algebraicas tendremos que hacer como a la hora de sumar o restar fracciones, calcular el m. c. m de los denominadores Calculemos: Lo primero será factorizar los denominadores: m. c. m

= Sustituimos los denominadores por el m. c. m ·(x-2) ·x ·x (x+2) Dividimos el m. c. m entre cada denominador y lo multiplicamos por el numerador. Operamos y… ya está

FRACCIONES ALGEBRAICAS: ECUACIONES Estas ecuaciones se resuelven aplicando las mismas propiedades que para cualquier otro tipo de ecuación. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Debemos reducir a común denominador ambos miembros de la ecuación recordando lo que sabemos sobre polinomios primos

En la ecuación: El m. c. m. de los denominadores será simplemente su producto 6 x Eliminamos denominadores y resolvemos:

Ejemplo 2: Como el cociente es por jerarquía anterior a la suma, primero operaremos: Siempre que tengamos dos fracciones separadas por un signo =, el mejor método

será utilizar la propiedad “producto de medios igual a producto de extremos”

Ejemplo 3: Una fracción vale cero cuando vale cero su numerador

Ejemplo 4 Primero factorizamos los denominadores en polinomios primos:

Calculamos el m. c. m. de los denominadores multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor exponente Reducimos a común denominador

eliminamos denominadores y resolvemos