Tema 2 Nmeros NMEROS REALES reales 1 Nmeros

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 1. Números racionales: paso de fracción a decimal • Todo número fraccionario puede expresarse en forma decimal sin más que efectuar la división entre el numerador y el denominador. • Pueden entonces ocurrir los siguientes casos: La expresión decimal es exacta: La expresión decimal es periódica pura: La expresión decimal es periódica mixta: Cuidado: algunas calculadoras redondean 5 3 1

Números NÚMEROS REALES Tema 2 reales 2 EJEMPLOS Pasar a decimal 3/4 3, 0 20 0 Pasar a decimal 14/11 Pasar a decimal 13/6 4 0, 75 Decimal exacto 3 = 0. 75 4 1, 2727. . . Decimal periódico puro 2, 166. . . Decimal periódico mixto

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 3 Partes de un número decimal periódico mixto Todo número decimal periódico (por ejemplo 2, 47878… = 2, 478) tiene tres partes: x = 2‚ 4 78 78 ……. Parte entera Anteperíodo • Notación: reducimos la escritura. Período: primer bloque. Período: cuarto bloque. x = 2, 47878. . = 2, 478 Observa que los números decimales exactos y los números enteros se pueden considerar periódicos sin más que agregar ceros a la derecha. 0, 75 = 0, 75000000. . . 3 = 3, 000000. . . Todo número racional se puede expresar siempre en forma decimal periódica.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 4 2. Números racionales: paso de decimal a fracción Decimal exacto El decimal periódico 1, 25000… = 1, 25 es también un decimal exacto. Para pasarlo a fracción multiplicamos por 100 la igualdad x = 1, 25, es decir, 100 x = 125, x= 125 5 = 100 4 Decimal periódico puro ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1, 333… [1]? 1. ° Se multiplica en [1] por 10: 2. ° Se escribe el valor de x: 3. ° Se restan las dos igualdades: 10 x = 13, 333… x = 1, 333… 10 x – x = 13, 333… – 1, 333… 9 x = 13 – 1 4. ° Se despeja x: 13 – 1 12 4 x= = = 9 9 3

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 5 Decimal periódico mixto ¿Cuál es la forma fraccionaria de x = 1, 31818… [2]? 1. ° Se multiplica en [2] por 1. 000: 1. 000 x = 1. 318, 1818… [3] 2. ° Se multiplica en [2] por 10 para obtener otro número con la misma parte decimal: 10 x = 13, 1818… [4] 3. ° Se restan las dos igualdades [3] – [4]: 1. 000 x – 10 x = 1. 318, 1818… – 13, 1818… de donde 990 x = 1. 318 – 13 1. 305 29 x= = = 990 22 Todo número decimal periódico se puede expresar siempre en forma fraccionaria.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 6 3. Números irracionales • • Las expresiones decimales no periódicas se llaman números irracionales. Los números irracionales no se pueden escribir en forma de fracción. El conjunto de los números racionales e irracionales se llaman números reales. El conjunto de los números reales se designa por la letra R Ejemplos • El número p con 1000 cifras decimales 3, 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986 280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841 027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712 019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815 209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572 703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279 381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171 762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787 214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181 598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553 469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776 691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130 0192787661119590921642. . . • Un número decimal cuya ley de formación es no periódica. 2, 02002000020000002000000002000002…. . .

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales LA RAÍZ CUADRADA DE 2 La raíz cuadrada de 3, 5, 7, 11, …. . , también son números irracionales. 7

Tema 2 EL NÚMERO Números NÚMEROS REALES reales 8

Tema 2 Números NÚMEROS REALES EL NÚMERO ÁUREO, reales 9 Rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. El Partenón, mostrando los rectángulos áureos usados posiblemente en su construcción. Espiral de oro con un rectángulo áureo Con su conocido dibujo del hombre de Vitrubio, Leonardo da Vinci ilustró el libro "La Divina Proporción" del matemático Luca Pacioli, editado en 1509.

Tema 2 EL NÚMERO Números NÚMEROS REALES reales 10 e número de Euler e = 2. 718284 59045 23536 02874 7135. . Algunas fórmulas en las que aparece el número e En matemática financiera se utiliza para calcular el interés continuo C = c · er·t ¿Habíais imaginado alguna vez que vuestros ahorros y vuestras hipotecas estaban bajo el control del número e?

Números NÚMEROS REALES Tema 2 reales 11 Sucesivas ampliaciones de los números R R -2 2 -1 0 1/2 1 2 -1 0 1 2 1 2 Q Q -2 Z Z -2 N N

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 4. Representación de los números reales Para representar un número racional, por ejemplo, 8/5 = 1, 6, se representa primero la parte entera (1) y después la decimal (6). Para representar un número irracional, por ejemplo, 2 = 1, 414213. . . Podemos seguir dos métodos: representación exacta y representación de una aproximación. Representemos una aproximación de 2 = 1, 414213. . . , por ejemplo 1, 4. 12

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 13 Representación exacta. En la figura, por el teorema de Pitágoras: 1 u. O Fijados un origen y una unidad de medida sobre la recta, dar un número real equivale a señalar un punto en la recta

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales Intervalos Un intervalo es un conjunto de números que se corresponden con los puntos de un segmento de la recta real. Según incluyan o no los extremos del segmento, los intervalos pueden ser cerrados, abiertos y otros que están abiertos por un extremo y cerrado por el otro 14

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 15 Intervalos abiertos y cerrados Intervalo abierto: (a, b) a b Los extremos no pertenecen al conjunto Intervalo cerrado: [a, b] a Los extremos sí pertenecen al conjunto b

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 16 Intervalos semiabiertos (o semicerrados) Intervalo abierto por la derecha: [a, b) a b El extremo izquierdo pertenece al conjunto; el derecho no. Intervalo abierto por la izquierda: (a, b] a b El extremo izquierdo no pertenece al conjunto: el derecho sí.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales Semirrectas ilimitadas hacia la derecha [a, + ) a El extremo izquierdo pertenece al conjunto. (a, + ) a El extremo izquierdo no pertenece al conjunto. 17

Números NÚMEROS REALES Tema 2 reales 18 Semirrectas ilimitadas hacia la izquierda (– , b) b El extremo derecho no pertenece al conjunto. (– , b] b El extremo derecho sí pertenece al conjunto.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 19 EJEMPLOS Intervalo cerrado [0, 2] El intervalo cerrado [0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluidos los extremos 0 y 2. Intervalo abierto (0, 2) Intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0, 2) Intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0, 2] El intervalo abierto (0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, excluidos los extremos 0 y 2. El intervalo abierto a la derecha y cerrado a la izquierda [0, 2) contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 0 y excluido el 2. El intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha (0, 2] contiene todos los puntos comprendidos entre 0 y 2, incluido el 2 y excluido el 0.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 5. Aproximaciones decimales de números irracionales Las décimas, centésimas, milésimas, . . . se obtienen mediante divisiones de la unidad en 10, 1000, . . . partes iguales. Una aproximación de un número decimal es otro número decimal que se obtiene suprimiendo los decimales a partir de un orden dado. Formas de aproximar: • Truncamiento. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido. • Redondeo. Se suprimen las cifras a partir del orden elegido – Si la primera cifra suprimida es menor que 5, dejamos igual la última cifra. – Si la primera cifra es mayor o igual a 5, aumentamos en una unidad la última cifra que se conserva. 20

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 21 • Para trabajar con números irracionales es necesario hacerlo con aproximaciones, lo que genera errores. • El error absoluto es la diferencia positiva entre el verdadero valor y la aproximación. • El error relativo es el error por unidad, es decir el cociente entre el error absoluto y el número. • El error puede ser por defecto o por exceso según sea mayor o menor que el número al que representa. Si aproximamos por 3, 14 el error absoluto es: 3, 14 – 3, 14159265. . . = – 0, 019265. . . E = 0, 019265 El error relativo será: Se dice que al tomar por 3, 14 cometemos un error relativo menor que 0, 006

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 22 Sucesivas aproximaciones para representar el número está entre 1 y 2 Aproximación entera: • • • -1 0 1 2 3 4 • 5 • 6 está entre 1, 4 y 1, 5 Aproximación decimal: • 1 1, 1 • 1, 2 • 1, 3 • 1, 4 • 1, 5 • • 1, 6 • 1, 7 • 1, 8 • 1, 9 • 2 está entre 1, 41 y 1, 42 Aproximación centesimal: • • • 1, 41 1, 42 1, 43 1, 44 1, 45 1, 46 1, 47 1, 48 1, 49 1, 5 Y así sucesivamente…

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales Error cometido en cada aproximación de Todo número irracional se puede expresar mediante una secuencia de números decimales que son aproximaciones por defecto y por exceso de su valor exacto. 23

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 24 Ordenación de números reales Para comparar números reales se pasan previamente a forma decimal. Luego se comparan los números decimales. ¿Cuál es menor? Se deduce que Una interpretación o que

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 25 Valor absoluto de un número real Se define el valor absoluto de un número real x de la siguiente forma: Significado geométrico del valor absoluto de la diferencia de dos números O A B a b Longitud del segmento AB =distancia entre los puntos A y B = |b – a| = |a – b|

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales 26 Operaciones con números reales: suma • Es imposible sumar exactamente dos números irracionales ya que tienen infinitas cifras decimales. • Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras.

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales Operaciones con números reales: producto • Es imposible multiplicar exactamente dos números irracionales ya que tienen infnitas cifras decimales. • Se opera con ellos sustituyéndolos por números aproximados con un número finito de cifras. 27

Tema 2 Números NÚMEROS REALES reales Operaciones indicadas con números irracionales • Las operaciones con números irracionales se suelen dejar indicadas, y si se necesita se escribe su valor con los decimales adecuados al problema. • Las operaciones con números reales verifican las mismas propiedades que las de los números racionales La longitud de una circunferencia de diámetro 8 cm es: 8 cm. La suma de se deja indicada: Siempre que se pueda se debe simplificar la expresión obtenida: 28