SISTEMA DE NUMEROS NMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD NMEROS PRIMOS

SISTEMA DE NUMEROS NÚMEROS ENTEROS DIVISIBILIDAD NÚMEROS PRIMOS MÍNIMO COMÚN MULTIPLO MÁXIMO COMÚN DIVISOR 1

Z = Conjunto de los Números Enteros Z = {. . . – 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . . } 2

PRODUCTO EN Z n La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿ CÓMO SE HACE? . Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente ley de los signos : (+) · (+) = + (-) · (-) = + (+) · (-) = (-) · (+) = 3

DIVISIBILIDAD n Un número entero A es divisible entre otro número entero positivo B, si al dividir A entre B la división resulta exacta. A B A Є Ζ , B Є Ζ + 0 K K Є Ζ n Se dice : “ A es divisible entre B ” ó “ B es un divisor de A ” 4

MULTIPLICIDAD n Un número entero A es múltiplo de un número entero positivo B, si A es el resultado de multiplicar a B por un número entero K. A = B. K A Є Ζ , B Є Ζ + K Є Ζ Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó “ B es un factor de A “ 5

DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD Indicar que: un número entero A es divisible entre ó múltiplo de otro número positivo B, se considerará equivalente, y se denotará: o o A = B ó A=n. B, n Z B: Módulo Ejemplos: o o o 21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5 , 0 = 3 n 6

OBSERVACIONES n Todo número entero positivo es divisible por si mismo y por la unidad. n La unidad es divisor de todo número entero. n El cero es múltiplo de todo número entero. 7

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD n Es un conjunto de reglas que , aplicadas a las cifras de un número , nos permite anticipar entre qué cantidades es divisible dicho número. En caso contrario , nos permite calcular el residuo en forma directa. 8

Número Criterio 2 * El número acaba en cifra par 3 * La suma de sus cifras es múltiplo de 3 4 * El número formado por las dos últimas cifras es múltiplo de 4 5 * La última cifra es 0 ó 5 9 * La suma de sus cifras es multiplo de 9 9

REPRESENTACION LITERAL DE UN NUMERO n Cuando no se conocen las cifras de un número éstas se representan mediante la notación: N = EJEMPLO: Si el número se escribe como : 10

NUMEROS PRIMOS n Llamados también primos absolutos, son aquellos números que poseen únicamente dos divisores: a la unidad y el mismo número. Ejemplos: 2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … Todos los números primos son impares, a excepción del 2. 11

n Números Simples: Son aquellos números enteros positivos que poseen a lo más dos divisores, y están formados por la unidad y los números primos. Ejms: 1, 2, 3, 5, 7, 23, 29, 37, 89, 187, 193, . . n Números Compuestos: Son aquellos números enteros positivos que poseen más de dos divisores. Ejemplos: 4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, … 12

NUMEROS PRIMOS ENTRE SI (P. E. S. I. ) n Se les denomina también primos relativos o coprimos, y son aquellos números que tienen como único divisor común a la unidad. n Ejm. 6, 14, 21 son números P. E. S. I porque DIVISORES 6 : 1, 2, 3, 6 14 : 1, 2, 7, 14 , el único divisor común es 1 21 : 1, 3, 7, 21 13

PROPIEDADES Dos o más números consecutivos son siempre números P. E. S. I. n Dos o más números impares consecutivos son siempre números P. E. S. I. n Si dos números A y B son P. E. S. I. entonces: a) A, B y A + B son P. E. S. I. b) A, B y A – B son P. E. S. I. n 14

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA. n Todo número entero positivo mayor que la unidad se puede expresar como la multiplicación indicada de sus divisores primos diferentes , elevados cada uno de ellos a exponentes enteros positivos. Esta representación es única, salvo el orden de sus factores. A esta representación se le denomina: Descomposición Canónica del Número. 15

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M. ) n Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: 1. Es un múltiplo común de los números. n 2. Es el menor de estos múltiplos comunes. n 16

Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8 : 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48… : 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, … : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, … Múltiplos comunes: 24, 48, … El menor de estos múltiplos comunes es 24 M. C. M. (4, 6, 8) = 24 17

Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180 n n MCM(40, 78, 85)=2. 2. 2. 3. 3. 5. 13 = 4680 18

Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180 n MCM(40, 78, 180) = 19

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D. ) Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: n 1. Es un divisor común de los números. n n 2. Es el mayor de los divisores comunes. 20

Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y 20 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12 16 : 1, 2, 4, 8, 16 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20 Divisores comunes: 1, 2, 4 El mayor de estos divisores comunes es 4 M. C. D. (12, 16, 20) = 4 21

MÉTODOS PARA CALCULAR EL M. C. D. Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800 n n MCD(400, 800, 1800)=2. 2. 2. 5. 5 = 200 22

Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800 n MCD(400, 800, 1800) = 23

PROPIEDADES FUNDAMENTALES n Con respecto a las operaciones con números múltiplos de un mismo módulo: a) b) c) Si d) Si 24

Si un número es múltiplo de varios módulos, entonces es múltiplo del MCM de dichos módulos: i) Si n ii) Si 25

n Dado un número N donde: Se cumple: 26

n Si un número N se descompone canónicamente: Entonces: 27