DIVISIBILIDADE No Reino dos Nmeros Primos Carlos Tenreiro
DIVISIBILIDADE No Reino dos Números Primos Carlos Tenreiro Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 18 de Março de 2006
Divisores de um número l Divisores de um número são os números que dividem o número exactamente com resto zero: 3 é divisor de 15 15 é divisível por 3 15 é múltiplo de 3
Divisores de um número l Quais são os divisores de 3? 1 e 3 l Quais são os divisores de 5? 1 e 5 l Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 l Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7, . . .
Número primo Um número é primo se só tem dois divisores: a unidade e ele próprio Caso contrário, o número é composto
Primo ou Indecomponível • 15 é composto. Pode decompor-se: 15 = 3 x 5 • 7 é primo. Não se pode decompor: 7=7
Alguns números primos
Alguns números primos
Mais números primos
Primo = Importante = Primeiro l Os números primos são muito importantes. Qualquer número inteiro pode ser escrito como produto de números primos: 220 = 2 x 110 = 2 x 55 = 2 x 5 x 11
Decomposição em factores primos 220 2 110 2 55 5 11 11 1 220 = 2 x 5 x 11
Decomposição em factores primos 220 = 2 x 5 x 11 Quais são os divisores de 220? 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, 220
Divisores de um número l Quais são os divisores de 3? 1 e 3 l Quais são os divisores de 5? 1 e 5 l Quais são os divisores de 6? 1, 2, 3 e 6 l Quais são os divisores de 28? 1, 2, 4, 7, . . .
Número perfeito Um número é perfeito se só é igual à soma dos seus divisores próprios Divisores de 6 : 1, 2, 3, 6 1+2+3=6
Decomposição em factores primos de 28 28 14 7 1 2 2 7 28 = 2 x 7 1+2+4+7+14=28 Divisores de 28: 1, 2, 4, 7, 14, 28
Desde quando se conhecem e estudam os números primos?
O osso de Ishango
O osso de Ishango
O osso de Ishango
Babilónios, Egípcios e Gregos 20000 Babilónios Egípcios Conheciam o Teorema de Pitágoras 6000 A. C. D. C. Gregos Pitágoras (569 – 475) Platão (427– 347) Aristóteles (384 – 322) Euclides (325 – 265) 2006
Euclides de Alexandria • Mais importante matemático da antiguidade. • Escreveu “Os Elementos”, mais importante obra matemática da antiguidade. (325 A. C. – 265 A. C. )
Os Elementos Uma página de “Os Elementos” numa tradução latina publicada em 1482.
Os Elementos O que diz Euclides: Um número é primo se só pode ser medido pela unidade e por ele próprio Caso contrário, o número é composto
Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 mas não pelo 4: 15 = 5= 4=
Os Elementos O número 15 pode ser medido pelo 5 e pelo 3 (além do 1 e do 15): 15 = 5= 3=
Os Elementos Euclides dizia: 3 e 5 medem 15 Nós dizemos: 3 e 5 dividem 15
Os Elementos Existe um número infinito de números primos, ou seja, há sempre novos números primos.
Há sempre novos primos 2 3 5. . .
Há sempre novos primos 2, 3, 5, 7, 11, 13 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 Como nenhum dos primos anteriores divide 30031 terá de existir um novo primo
Crivo de Eratóstenes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Primos enormes Primo com 39 algarismos obtido em 1876 e que até 1951 foi o maior primo conhecido: 2127 -1 = 17014118346046923173168730 3715884105727 Primo com 44 algarismos obtido em 1951 com a ajuda de uma calculadora mecânica: (2148+1)/17 = 209889366574405864861512 64256610222593863921
Primos enormes 909 526 algarismos Primo de Mersenne (1588 -1648).
Números de Mersenne Primo Número de Mersenne 2 22 – 1 = 2 x 2 – 1 = 3 5 25 – 1 = 31 11 211 – 1 = 2047 = 89 x 23
Primos de Mersenne Os primeiros primos de Mersenne eram conhecidos desde a antiguidade: Nº p 1 2 3 4 5 6 7 2 3 5 7 13 17 19 Mp ano 3 7 31 127 8191 1461 131071 1588 524287 1588
Primos de Mersenne Em 1644 Mersenne afirma que são primos os números gerados a partir de: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 Faltavam: p = 61, 89, 107
Primos de Mersenne Nº p Algarismos de Mp Ano 37 38 39 40? . . . 43? 3021377 6972593 13466917 20996011. . . 30402457 909526 2098960 4053946 6320430. . . 9152052 Jan. 1998 Jun. 1999 Nov. 2001 Nov. 2003. . . Dez. 2005
Primos de Mersenne e números perfeitos Euclides sabia como obter números perfeitos a partir dos primos de Mersenne: p Mp 2 3 5 7 22 -1= 3 23 -1= 7 25 -1= 31 27 -1= 127 Número perfeito 21 x 3= 6 22 x 7= 28 24 x 31= 496 26 x 127= 8128
Primos de Mersenne e números perfeitos Mais alguns números perfeitos: p Número perfeito 13 17 19 31 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128
Queres ficar famoso? “Basta” saber responder a uma destas questões: • Haverá um número infinito de primos de Mersenne? • Haverá um número infinito de números compostos de Mersenne? • Haverá números perfeitos ímpares?
Um problema perfeito Números perfeitos 6 28 496 8128 33550336 8589869056 137438691328 2305843008139952128 Mostra que um número perfeito par termina em 6 ou 8.
BOM TRABALHO DIVIRTAM-SE
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