Discalculia Con il termine discalculia viene indicato un

Discalculia Con il termine “discalculia” viene indicato un disturbo specifico dell’apprendimento del calcolo.

Secondo la definizione proposta da Hammil (1990) la Learning Disability (L. D. ) si riferisce ad un gruppo eterogeneo di disturbi manifestati da significative difficoltà nell’acquisizione e nell’uso di abilità di ascolto, espressione orale, lettura, ragionamento e matematica, presumibilmente dovuti a disfunzioni del sistema nervoso centrale.

I sintomi delle difficoltà aritmetiche sono: - Incapacità di comprendere i concetti di base di particolari operazioni ; - Mancanza di comprensione dei termini o dei segni matematici; - Mancato riconoscimento dei simboli numerici; - Difficoltà ad attuare le manipolazioni aritmetiche standard;

1. Difficoltà nel comprendere quali 2. numeri sono pertinenti al problema 3. aritmetico che si sta considerando; 4. Difficoltà ad allineare correttamente 5. i numeri o ad inserire i decimali o 6. simboli durante i calcoli; 7. Scorretta organizzazione spaziale 8. dei calcoli; 9. Incapacità ad apprendere in modo

Le dita e le altre parti del corpo sono servite a creare una specie di linguaggio corporale dei numeri, di cui si trova traccia in alcune società isolate.

Il linguaggio corporale soffre di una grave limitazione: abbiamo soltanto dieci dita!

La soluzione dunque è l’invenzione di una sintassi combinatoria che permette di forgiare i grandi numeri utilizzando serie di numeri più piccoli.

L’invenzione della sintassi dei numeri è avvenuta, con ogni probabilità, ampliando semplicemente il linguaggio corporale.

In certe società, come per esempio presso alcuni indios del Chaco in Paraguay, il numero 6, invece di essere indicato da un nome arbitrario, si chiama “uno sull’altra mano”.

L’invenzione delle notazioni scritte dei numeri è avvenuta parallelamente allo sviluppo delle numerazioni orali. I, III, IIII, IIII II, … IIII V

Nella scrittura romana, 7 si scrive 5 + 1 (VII). Tuttavia l’esercizio diventa difficoltoso e la lettura scomoda. La compattezza si può migliorare introducendo simboli come il numero L (50) e D (500).

Ai fini di una sintassi del numero, è estremamente importante considerare la posizione: una cifra varia, dunque, in funzione della posizione occupata nel numero.

In una notazione fondata sulla posizione, esiste un numero privilegiato che si chiama base. Nelle nostre cifre di origine araba la base è 10, ma questa non è l’unica scelta possibile.

Nella storia delle nozioni numeriche è dimostrato che nella grande maggioranza delle civilizzazioni, le prime cifre si scrivono come nella notazione romana, ripetendo il simbolo dell’unità tante volte quanto è necessario. Tutte le civilizzazioni smettono di servirsi di questo procedimento dopo il numero 3.

Piaget ed i suoi colleghi ritengono che la nozione di numero, così come le altre rappresentazioni del mondo, si debba costruire sul filo di interazioni senso-motorie con l’ambiente.

Secondo altri Autori, la nozione di quantità è innata e viene sviluppata con l’allenamento

Gelman e Gallistell (1978) sostengono, nella loro ipotesi, che i processi di quantificazione, come la conta, svolgono un ruolo fondamentale nello sviluppo del ragionamento numerico che consente di fare inferenze sulle relazioni tra numerosità e sulle relazioni tra numeri.

La conta è possibile per gli individui anche a livello preverbale e l’attività del contare è il risultato dell’applicazione da parte del bambino di principi cognitivi innati e presenti sin dalla nascita.

Agli esordi degli studi sperimentali sul calcolo mentale, due erano i tipi di modelli contrapposti: Modello di conteggio Modello di accesso diretto

Secondo i primi, per rispondere ad una semplice operazione, un soggetto mette in atto un processo ricostruttivo in cui il risultato non è recuperato dalla memoria ma viene individuato attraverso un procedimento di conteggio.

L’ipotesi dei secondi suppone invece che il risultato corretto venga direttamente recuperato dalla memoria.

Modello “min” Secondo Groen e Parkman l’esecuzione di addizioni e moltiplicazioni prevede che l’addendo maggiore venga posto come contatore ovvero come punto di partenza per il conteggio.

Attualmente sono tre i modelli cognitivi che si contendono il campo: il modello di “recupero da una struttura a rete” di Ashcraft; il modello di “distribuzione delle associazioni” di Siegler; il modello di “interferenza nella rete” di Campbell.

Modello di “recupero da una struttura a rete” di Ashcraft La rappresentazione nella nostra mente della somma di due numeri è situata nell’intersezione delle righe e delle colonne di un’ipotetica tabella mentale, memorizzata nel corso dell’apprendimento.

Nel caso ad esempio dell’operazione 7 x 4 = 36 durante lo stadio di decisione, in cui si verifica se il risultato presentato è corretto, è necessario discriminare fra due valori, quello corretto e quello presentato.

All’inizio della scolarità elementare i bambini non possiedono una memorizzazione completa ed affidabile delle operazioni più semplici; per questa ragione Ashcraft (1994) suppone che i processi di recupero della memoria avvengano in parallelo con i tentativi di soluzione basati sulla procedura di conteggio.

Per poter eseguire le operazioni ci si basa nei primi anni di scuola, su una conoscenza di tipo procedurale e successivamente, con l’aumentare dell’età, ci si basa invece su una conoscenza di tipo dichiarativo.

Modello di “distribuzione delle associazioni” di Siegler Per spiegare come vengano scelte le varie strategie, utilizza il concetto di “livello di fiducia”, che è precisamente una soglia al di sotto della quale non vi è la sicurezza di dare una risposta corretta. Al contrario, quando il proprio livello di fiducia supera questa soglia, si è nettamente propensi a credere di poter dare una risposta esatta.

Modello di “interferenza nella rete” di Campbell. Diversamente dagli altri due modelli, la ricerca di Campbell focalizza l’attenzione sui meccanismi di interferenza durante il processo di recupero. Ad esempio, nel caso della moltiplicazione 7 x 3, se la diffusione dell’attivazione viene pensata dipendente solo dagli operatori, allora dovrebbe esserci unicamente l’attivazione del nodo “ 21”, posto all’incrocio dei due fattori.

Secondo Campbell, invece, la diffusione dell’attivazione non attiva solo il nodo corretto, ma anche tutta la serie di multipli di ogni fattore della moltiplicazione. Per il fattore 7 i nodi 14, 21, 28, …

Considerando quindi che la presentazione di un’operazione attiva un gran numero di risposte possibili, il processo di recupero consiste nello scegliere il valore maggiormente attivato.

Il modello modulare di Mc. Closkey. Il processamento delle informazioni numeriche è attuato da tre sistemi o moduli, funzionalmente distinti, che comunicano tra di loro per mezzo di un singolo codice che opera con le quantità astratte.

SISTEMA DI CALCOLO SEGNI DELLE OPERAZIONI FATTI ARITMETICI COMPRENSIONE 8 X 3 OTTO TRE Otto per tre Comprensione uditiva parole-numero PER PRODUZIONE Comprensione numeri arabi Comprensione visiva parola-numero PROCEDURE DEL CALCOLO Produzione numeri arabi RAPPRESENTAZIONE INTERNA ASTRATTA Produzione scritta parola-numero Produzione orale parole-numero 24 ventiquattro Venti’kwattro

La semantica dei numeri Consente di stabilire quanto “vale” un numero rispetto ad un altro.

Rappresentano errori semantici: Errori nella comparazione quantitativa: Esempio: Di fronte alla richiesta di indicare tra due valori numerici, quali ad esempio: 73 90 quale tra questi è maggiore, commette l’errore di attribuire al 73 il valore quantitativo maggiore.

Errori di ordinamento per quantità: Esempio: 32 17 70 27 59 Ordinare dal più piccolo al più grande

Il lessico dei numeri I meccanismi lessicali hanno il compito di selezionare adeguatamente i nomi delle cifre.

Rispetto al nome dei numeri, nella letteratura è assunta da diversi autori la distinzione tra i numeri primitivi e gli elementi miscellanei.

I numeri primitivi appartengono a tre classi distinte, chiamate “ordini di grandezza” o “livelli”: - le unità - i “teens”, che contengono la sottocategoria dei “dici” (Es. : 11 -19). - le decine

Gli elementi miscellanei: “-cento, -mila, milione, etc. ” si aggiungono ai numeri primitivi a seconda della loro posizione all’interno dei numeri.

Esempio di errore lessicale relativo alla “posizione” “ 52” Posizione errata: ”la 8 a al posto della 5 a”. Classe corretta: “decine” “ottantadue”

Esempio di errore lessicale relativo alla “classe” 3560 Posizione corretta: ” vale a dire la 3 a”. Classe errata: “teens anziché unità” tredicimilacinquecentosessanta

La sintassi dei numeri Consente di strutturare numeri complessi con il sistema delle decine, delle centinaia, delle migliaia etc.

Sono errori sintattici tutti quelli in cui la capacità di codificare le singole cifre è integra ma è compromessa la capacità di stabilire i rapporti posizionali tra le varie cifre.

Esempio: “duecentosette” 2007

Esempio: “centoventitre” 10023

Errori nel sistema di calcolo Gli errori nel sistema di calcolo sono stati attribuiti a differenti categorie di difficoltà: - nel riconoscimento dei segni delle operazioni; - nel recupero di fatti aritmetici - nelle procedure del calcolo

Errori nel riconoscimento dei segni delle operazioni. Le risposte errate prodotte sembrano dunque derivare dall’identificazione errata del segno dell’operazione, e dall’esecuzione corretta dell’operazione sbagliata.

Esempio: 3 x 5=8

Errori nel recupero di fatti aritmetici. Alcuni fatti aritmetici possono essere stati memorizzati in maniera errata e, dunque, vengono recuperati come errore. In altri casi, invece, per errore verrebbero recuperati fatti aritmetici esatti ma appartenenti ad operazioni diverse.

Esempio: 3+3=6 ma viene recuperato 3 x 3 = 9 e quindi 3 + 3 = 9!

Il recupero dello stesso risultato è coerente con il tipo di immagazzinamento avvenuto, anche quando vi è un’associazione errata tra l’operazione e il risultato scorretto (si pensi al riguardo quante volte a scuola si fanno ripetere esercizi in cui si siano verificati degli errori.

Esempi di errori nell’esecuzione di moltiplicazioni complesse secondari a difficoltà selettive con i “fatti” aritmetici. 63 x 28 x 3= 7= 159 189

Errori nell’applicazione delle procedure. Possono riguardare: - La scelta delle prime cose da fare per affrontare una delle quattro operazioni (incolonnamento o meno, posizione dei numeri, del segno operatorio e altri segni grafici come la riga separatoria, ecc. )

- l’applicazione delle regole di prestito e riporto: se tali regole non sono apprese, un possibile errore può essere ad esempio: 75 -58 = 20 perché 5 -8 = 0 e 7 -5 = 2.

- La perseverazione del ragionamento precedente, nel passaggio ad una nuova operazione;

- La progettazione e la verifica: spesso il bambino comincia immediatamente il processo di risoluzione senza analizzare dall’esterno le operazioni, individuando difficoltà e strategie da usare.

In questo modo, non si sviluppa il ragionamento, utile per consolidare le regole procedurali e saperle poi usare anche in contesti diversi, più complessi, tramite generalizzazione

Errori nel mantenimento e nel recupero di procedure e strategie

Esempio: nell’operazione 3 + 5 partire da 3 per aggiungere 5 invece che porre l’addendo più grande come punto di partenza

Le difficoltà visuospaziali. possono trovarsi a diversi livelli d’organizzazione dei dati nella scrittura di un’operazione

Esempi di errori nell’esecuzione di operazioni complesse secondari a difficoltà visuospaziali 579+ 462 - 218= 127= 787 345

Procedure di calcolo scritto “divisione” Esempio: 7054 : 9 = 7 0 5 4 : 9 = 1 6 0 0 0 Riferisce: << settantacinquantaquattro diviso nove è uguale: 4 e 0 è sempre 0; 5 e 0 è sempre 0; 0 e 0 è sempre 0; poi faccio 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 13, 14, 15, 16 Il risultato è “centosessantazero”>>

Procedure di calcolo scritto “sottrazione” 6 4329 – 3783 = 7 4329 - 3783= 13 1 1 3 Riferisce: << Faccio 3 – 0 = 3; 9 – 8 = 17 (1 si scrive e 7 si riporta); 2 – 7 (valore del riporto) =9; a 9 poi gliene tolgo 7 ed è quindi 16 (1 si scrive e 6 si riporta); 6 (valore del riporto) – 4 = 10; a 10 gliene tolgo 3 = 13 Quindi il risultato è 13113>>.

Procedure di calcolo scritto “addizione” 4920 + 345 = 41065 Non incolonna gli elementi dell’operazione e quindi procedendo da sinistra verso destra riferisce: << 4 è sempre 4 9 + 3 è uguale 1, 2, 3, …… 10, (contando sulle dita) è uguale 10 2 + 4 è uguale a 6 5 è sempre 5 Quindi il risultato è 41065>>.

Procedure di calcolo scritto: “moltiplicazione” 492 x 7 = 4 9 2 x 7 = 11 0 0 Riferisce: <<2 per 0 è 0; 9 per 0 è 0; 4 per 7 è 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 - 11 Quindi il risultato è “undicizero”>>

Valutazione del sistema di comprensione Sistema Semantico Ordinamento per numerosità Sistema Sintattico Giudizio di numerosità Riconoscimento del valore posizionale Sistema Lessicale Prove di transcodifica Trasformazione in cifre scritte

Valutazione del sistema di produzione Sistema Semantico Enumerazione all’indietro Sistema Sintattico Contare gli elementi grafici Sistema Lessicale Prove di transcodifica Dettato di numeri

Valutazione del sistema di calcolo Riconoscimento ed uso dei segni aritmetici Procedure di calcolo Recupero dei fatti aritmetici

Deficit di accesso sintattico L’organizzazione gerarchica dei compiti si è avvalsa prevalentemente di strategie semantiche e lessicali;

Deficit di accesso sintattico 1 torre da 10 cubetti 5 cubetti 1 decina 5 unità

Esempio con l’abaco: 2 0 2 1 2 2 3 0 ? ………. . 2 9

Difficoltà procedurali E’ stata richiesta la presentazione di compiti attraverso strategie costruttive e mai attraverso automatismi.

Difficoltà procedurali Calcolare: 3+5= il bambino si posiziona sulla linea dei numeri in corrispondenza del 3 e da qui esegue cinque passi unitari.

Difficoltà di ordine semantico Per le difficoltà nel livello semantico sono state impiegate strategie che facilitano l’accesso semantico mediante sussidi quali: sequenze di numeri, ordinamenti temporali, ordinamenti percettivi (grandezze lineari lungo / corto).

È risultato particolarmente utile il supporto dei regoli

Simbolicamente, infatti, è proprio come se volessimo costruire un muro avendo a disposizione tanti mattoni di diversa grandezza.

Rispettando sempre il valore della base come nell’esempio riportato

Esempio con i regoli:

più Con questo segno facciamo l’ADDIZIONE, quindi “aggiungiamo o mettiamo assieme” due numeri. 3 tre + più 1 uno Prova a fare tu qualche esempio: + = … … = è uguale a 4 quattro

per Con questo segno facciamo la MOLTIPLICAZIONE 3 tre x per Prova a fare tu qualche esempio: x = … … 2 due = è uguale a 6 sei

Comparazione quantitativa: quantitativa Nella prima vignetta c’è una maggiore, minore o uguale quantità di medaglie vinte da Paperino rispetto a quelle vinte da Paperoga? Indicalo scrivendo il segno giusto sui puntini … - Nella prima vignetta c’è una maggiore, minore o uguale quantità di giornali rispetto alla seconda? Indicalo scrivendo il segno giusto sui puntini. … Nella prima vignetta c’è una maggiore, minore o uguale quantità di pacchi rispetto alla seconda? Indicalo scrivendo il segno giusto sui puntini. …

Completa scrivendo un numero adatto: 350 < 352 > 360 40 < …… < 500 710 > …… > 70 240 > …… > 23 17 < …… < 75 105 > …… > 15 -Completa scrivendo i numeri adatti ……> 340 >…… ……< 990 <…… ……> 503 >…… ……> 790 >…… ……> 1200 >……

Odinare in maniera crescente significa “partire dal più piccolo e andare verso il più grande”, in modo che i cani crescano.

Ordina in maniera decrescente, quindi devi fare il contrario: i gatti devono diventare sempre più piccoli.

Anche i numeri si possono mettere in ordine crescente o decrescente: -Ordinare in maniera crescente significa “partire dal numero più piccolo e andare verso il più grande”, in modo che i numeri crescano. Cerca di ordinare in maniera crescente questi numeri: 21 – 8 – 78 – 120 – 87 …. . …… …. . -Ordinare in maniera decrescente è il contrario: i numeri devono diventare sempre più piccoli Cerca di ordinare in maniera decrescente questi numeri: 11 - 76 - 21 - 206 - 66 …. . -Prova a spiegare il perché? ___________________________________________________

Impariamo a fare i conti sull’abaco Per ogni unità mettiamo una pallina blu Per ogni decina mettiamo una pallina rossa Registra sull’abaco il numero: 43

-Scrivi in ordine crescente 2 8 1 5 …………………………………. - Scrivi 8 in ordine decrescente 3 4 9 ……………………………………. .

Metti in colonna rispettando la posizione di ciascun numero. Le unità sempre sotto le unità, le decine sempre sotto le decine k h da u 2 5 0 0 1 6 5 9 0 5

Rispondi velocemente 5+5 =___ 4+4 =___ 3+3 =___ 2+2 =___ 1+1 =___

Esegui orientandoti sulle palline 10+3 = ___ 10+5 + 1 = ___ 10+5 + 2 = ___ 10+5 + 5 = ___

-Esegui queste operazioni, utilizzando la seguente strategia: 75 + 10 = 85 75 + 12 = 85 + 2 = 87 15 + 3 = 50 – 6 = 52 + 4 = 78 – 52 = 90 + 44 = 58 – 20 = 65 + 32 = 65 – 30 = 93 + 46 = 15 - 8 = 76 + 34 = 25 – 13 = Se conosci altre strategie, proponile facendo qualche esempio: _______________________________________________________ ____________________________

-Unisci le operazioni che danno gli stessi risultati, come nel seguente esempio 20 : 4 = 8 x 3= 25 : 5 = 90 – 60 = 10: 5 = 8 x 9= 80 – 10 = 56 + 14 = 50 : 5 = 90 - 45 = 320 – 220 = 9 x 5= 60 : 2 = 15 x 2 = 80 – 30 = 25 + 25 =