Cours N 4 Modles statistiques de simulation Universit

Cours N° 4 Modèles statistiques de simulation Université Ibn Khaldoun Tiaret Département INF B. Khaled

Contenu • Théorie des probabilités : Concepts de base • Les modèles statistiques utiles • Distributions de probabilités discrets • Distributions de probabilités continues • Processus de Poisson • Les distributions empiriques

Terminologies & Concepts • Dans cette partie, nous introduisons les concepts suivants : • Variables aléatoires discrètes • Fonction de répartition • Espérance Mathématique et Variance • Variables aléatoires continues • Fonction de répartition • Espérance Mathématique et Variance

Variable Aléatoire discrète : Exemple On jette simultanément 2 pièces de monnaie et l’on s’intéresse au nombre de piles qui apparaissent. L’ensemble fondamental est alors : Ω= {FF, FP, PF, PP} • Où F représente le côté face et P le côté pile. • On obtient une variable aléatoire X qui peut prendre les valeurs 0, 1 ou 2 avec les probabilités suivantes : • Pr (X= 0) = 0. 25 • Pr (X = 1) = Pr(FP) + Pr(PF) = 0. 50 • Pr (X = 2) = 0. 25

Variable Aléatoire discrète

Variable Aléatoire discrète

Variable Aléatoire discrète X = xi Pr(X=xi) 0 1 2 1/4 1/2 1/4

Variable Aléatoire discrète

Variable Aléatoire Continue

Variable Aléatoire Continue

Variable Aléatoire Continue : Exemple

Modèles statiques utiles • Dans cette section, des modèles statistiques appropriés à certains domaines d'application sont présentés. • Systèmes de gestion des files d'attente • Les systèmes d'inventaire et de la chaîne d'approvisionnement • Fiabilité et maintenabilité

Modèles statiques utiles : file d’attente • Dans un système de gestion de file d'attente, les temps interarrivée et les temps des services peuvent être probabiliste. • Des exemples de modèles statistiques pour les distributions Inter-arrivée ou le temps de service: • Distribution exponentielle: si les temps de service sont complètement aléatoires • Distribution normale: assez constante mais avec une certaine variabilité aléatoire (positive ou négative) • Distribution Gamma et Weibull : plus générales que exponentielle

Modèles statiques utiles : Inventaire & appro • Dans les systèmes d'inventaire et approvisionnement, il y a au moins trois variables aléatoires: • Le nombre d'unités demandés par commande ou par période • Le temps entre les demandes. • Le délai d’appro = Temps entre passer une commande et temps de la réception. • Modèles statistiques pour la distribution des délais d’appro: • Gamma • Modèles statistiques pour la distribution des demandes: • Poisson • Binomiale Négative • Géométrique

Modèles statiques utiles : Fiabilité et maintenabilité • Temps de panne (machine , etc) • Exponentielle ( si les pannes sont aléatoires ) • Gamma ( prenant en considération les pannes redondantes) • Weibull ( panne est dû au plus grand défaut parmi un nombre de défauts dans un système de composants • Normal : pannes due à l’usure.

Distribution (loi) de probabilités discrète

Distribution (loi) de probabilités discrète • Les distributions aléatoires discrètes sont utilisés pour décrire les phénomènes aléatoires ou seuls des valeurs entières peuvent se produire. • Dans cette section, nous allons en apprendre davantage sur: • Loi (distribution) de Bernoulli • Loi (distribution) binomiale géométrique et négative • Loi (distribution ) de Poisson

Distribution (loi) de Bernoulli

Distribution (loi) Binomiale

Distribution (loi) Binomiale : Exemple

Distribution (loi) Géométrique

Distribution (loi) Binomiale négative

Distribution (loi) Binomiale négative : Ex • Loi Binomiale négative • Nous nous intéressons, dans cet exemple, à la variable aléatoire qui représente le nombre d’entiers tirés avant le premier 0. Cette expérience consiste en une suite d’essais identiques et indépendants dont un succès est défini par le tirage d’un 0. La probabilité d’un succès est 1/10. Le nombre d’entiers précédent le premier 0 est donc une variable aléatoire géométrique avec p = 1/10. Calculons par exemple la probabilité que le premier 0 apparaisse au cinquième tirage : • La variable aléatoire qui compte le nombre d’entiers jusqu’au quatrième 0 est évidemment une variable binomiale négative. La probabilité qu’un quatrième 0 apparaisse au sixième tirage est :

Distribution (loi) de poisson

Distribution (loi) de poisson (Exemples) • Loi de Poisson • Si le nombre moyen d’arrivées de clients à un guichet par heure est égal à 15, calculons la probabilité d’observer 20 arrivées dans une heure donnée, supposant que les arrivées sont indépendantes les unes des autres. Ici, la valeur de λ est égale à 15 et la valeur de k est égale à 20. Nous aurons donc :

Distribution (loi) de probabilités Continue

Distribution (loi) de probabilités Continue • Les distributions aléatoires continues sont utilisés pour décrire les phénomènes aléatoires ou la variable peut prendre une valeur sur un intervalle. • Dans cette section, nous allons en apprendre davantage sur: • Loi (distribution) uniforme • Loi (distribution) Exponentielle • Loi (distribution ) Normal (Gauss)

Distribution (loi) uniforme • Loi uniforme • On dit qu’une variable aléatoire X définie sur l’intervalle [a, b] avec une fonction de densité constante. • est distribuée uniformément dans l’intervalle [a, b]. On notera X ∼ U(a, b). • Par intégration, nous obtenons la fonction de répartition F :

Distribution (loi) Exponentielle • Loi Exponentielle • On dit qu’une variable aléatoire X suit une distribution exponentielle de paramètre λ si sa densité est donnée par : • Son espérance et sa variance sont respectivement données par :

Distribution (loi) Exponentielle : Exemple • Loi Exponentielle • Considérons la variable aléatoire X « durée de vie (en heures) d’un composant électronique de type donné » . Supposons que la densité de probabilité de X soit donnée par : • Sa fonction de répartition est :

Distribution (loi) Exponentielle : Exemple • Loi Exponentielle • Ainsi la probabilité que la durée de vie d’un composant électronique de ce type soit inférieure à 200 heures est donnée par :

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