Rapport de Statistiques Appliques Etude des proprits statistiques

Rapport de Statistiques Appliquées «Etude des propriétés statistiques d’une série à haute fréquence : le Notionnel» L. Benarousse, E. Benhamou, T. Bornhauser, B. Guez Soutenance 22/06/98 slide n° 1

Plan de l’exposé Introduction : présentation des données n Statistique générale n Adéquation à un processus ARCH n Conclusion n Soutenance 22/06/98 slide n° 2

Présentation des Données (1) n Origine : contrat Matif sur Notionnel 471. 919 points – 1 er avril 1994 - 27 mars 1997 – n Transformation initiale de la série nettoyage – recollement – Soutenance 22/06/98 slide n° 3

Présentation des Données (2) n Discrétisation de la série 5, 10, 30 mn, 1 h 30, 7 h 30 – passage au logarithme (rendements) – Soutenance 22/06/98 slide n° 4

Statistique descriptive Similitude avec l’étude de Teiletche n Caractéristiques des séries n trend positif (moyenne positive) – skewness négative – kurtosis significativement différente de trois – n Interprétation augmentation en moyenne du cours – valeurs extrêmes négatives – présence de queues de distribution épaisses – Soutenance 22/06/98 slide n° 5

Stationnarité des séries : Tests de racine unité n Dickey Fuller Yt= Yt-1 + t n Dickey Fuller augmenté Yt= + t + Yt-1 + i Yt-i + t n KPSS Y t= t + r t + u t Soutenance 22/06/98 slide n° 6

Stationnarité des séries: Résultats n Forte non stationnarité de la série brute n Stationnarité de la série différenciée n Evolution avec la fréquence Soutenance 22/06/98 slide n° 7

Effet leptokurtique Kurtosis n Exposant caractéristique n • • n entre 1, 3 et 1, 8 gaussienne : 2 Effet de la fréquence Soutenance 22/06/98 slide n° 8

Tests d’adéquation n Tests du 2 adéquation rejetée pour les lois classiques: normales – lognormales – weibull – Student – n Tests de Kolmogorov Smirnov mêmes résultats Soutenance 22/06/98 slide n° 9

Saisonnalité n Etude d’une journée moyenne n Saisonnalité à 3 mois Soutenance 22/06/98 slide n° 10

Saisonnalité Série brute et série désaisonnalisée Autocorrelogrammes de la serie originale et serie desaisonnalisee 0. 05 0. 10 0. 15 0. 20 0. 25 0. 30 n n 0 100 200 300 400 500 600 Coefficient de Hurst: processus à mémoire longue Soutenance 22/06/98 slide n° 11

Modèle ARCH (1) n Caractéristique de la série (5 mn) • • n leptokurtique dissymétrique ordre de différenciation = 1 exposant caractéristique 1, 3 et 1, 8 IGARCH = modèle bien adapté. • • leptokurtique hétéroscédastique Soutenance 22/06/98 slide n° 12

Modèle ARCH (2) n Calibration de modèles • • • détermination des ordres par les corrélogrammes tests de significativité (Student) critère Akaïke (AIC) et Schwarz (BIC) test de normalité : Jarque Bera test d’autocorrélation des résidus (Ljung. Box) test de Lagrange d’homoscédasticité Soutenance 22/06/98 slide n° 13

Modèle ARCH (3) n Résultats • • n AR(1) avec résidus ARCH rejet de la normalité des résidus autocorrélation des résidus hétéroscédasticité Modèles • ARIMA : AR(1) Xt=1. 73 10 -6 -0. 0164 Xt-1+ ~BB(0, 1. 21 10 -7) Soutenance 22/06/98 slide n° 14

Modèle ARCH (4) n Modèles • ARCH (1) sur AR(1) Xt=1. 567 10 -7+0. 0219 Xt-1+ ~BB(0, ) • GARCH(1, 1) sur AR(1) Xt=2. 0810 -6 -0. 03 Xt-1+ ~BB(0, ) Soutenance 22/06/98 slide n° 15

Modèle ARCH (5) n Justification d’un modèle GARCH • • hétéroscédasticité augmentation sensible du critère AIC et BIC amélioration de 1% entre ARIMA/ARCH – amélioration de 2% entre ARCH/GARCH – • • corrélation des résidus leptokurticité des résidus Soutenance 22/06/98 slide n° 16

Modèle ARCH (6) n Défauts: • leptokurticité des résidus loi conditionnelle non normale Student – Gaussienne généralisée – • dissymétrie des données modèle à seuil et asymétrie modèle PGARCH avec seuil – modèle TGARCH (peu intéressant) – modèle à deux composantes Soutenance 22/06/98 slide n° 17 –

Modèle ARCH (7) n Résultats • modèle le plus performant PGARCH – avec loi de Student – et effet de seuil – • • amélioration des critères AIC et BIC prise en compte des défauts Soutenance 22/06/98 slide n° 18

Prévision et modèles ARCH n Résultats • • prévisions plates choix de l’ensemble d’information prévisions à horizon donné – prévisions adaptatives – • point de retournement faible influence – imprévisibilité d’un nouveau point de retournement – • très grand intervalle de confiance Soutenance 22/06/98 slide n° 19

Prévisions et résultats AR(1) (1 mois) 128. 30 128. 35 128. 40 n 0 20 30 40 50 GARCH(1, 1) (10 mn) (1 heure) 127. 8 128. 30 128. 35 128. 2 128. 40 128. 45 128. 6 128. 50 n 10 0 0 20 40 60 80 100 Soutenance 22/06/98 slide n° 20 100

Prévisions et résultats GARCH(1, 1) (1 mois) 128. 30 128. 35 128. 40 128. 45 128. 50 n 0 40 60 80 100 128. 35 128. 40 128. 45 128. 50 GARCH(1, 1) (1 an et 3 mois) 128. 30 n 20 0 20 40 60 80 100 Soutenance 22/06/98 slide n° 21

Prévisions et résultats PGARCH(1, 1) loi de Student (1 mois) 128. 25 128. 30 128. 35 128. 40 128. 45 128. 50 n 0 40 60 80 100 128. 35 128. 40 128. 45 128. 50 GARCH(1, 1) (1 mois) 128. 30 n 20 0 20 40 60 80 100 Soutenance 22/06/98 slide n° 22

Conclusion Impact de la fréquence de la série n Rejet de la normalité des rendements n Rejet d’adéquation à des lois classiques n Amélioration sensible de la modélisation avec un modèle PGARCH avec loi conditionnelle de Student et effet de seuil n Extensions possibles (analyse bivariée et causalité) Soutenance 22/06/98 slide n° 23 n