Controllo delle operazioni su una macchina Sequenziamento delle

Controllo delle operazioni su una macchina Sequenziamento delle operazioni a minimo: tempo di completamento medio, ritardo massimo, scarto minimo

Sequenziamento (Scheduling) delle operazioni magazzino con movimentazione interna controllo della successione dei tempi Ipotesi: tutti i grezzi sono disponibili dall’inizio (ri= 0)

Gantt del Sequenziamento operazione presente p 1 op 1 p 2 p 3 op 2 op 3 c 1 c 2 c 3 n p 4 op 4 c 4 pn opn cm tempo cm= Si pi: completamento totale 1 delle operazioni (makespan)

op. p 1 op 1 p 2 p 3 p 4 op 2 op 3 c 1 c 2 c 3 c 4 pn opn cm 1 tempo 1 c = n Si ci: completamento medio n delle operazioni Si ci : somma dei tempi di completamento

Minimo completamento medio op. p 2 op 2 p 4 p 3 p 1 op 3 op 4 c 1 c 2 c 3 c’ 1 c’ 2 se p 2 < p 1 lo scambio pn opn cm c 4 => c 2< c 1 tempo c’ 1 = c 2 riduce il completamento medio o la somma dei tempi di completamento min c SPT: Shortest Process Time (first): S

Minimo completamento medio presenza dell’operazione pn p 4 p 2 p 3 p 1 op 3 opn op 4 op 2 c 4 c 1 c 2 c 3 cm tempo c’ 1 c’ 2 lo scambio => se p 2/w 2 < p 1/w 1 c’ /w < c /w c’ 1/w 1= c 2/w 1 2 2 1 1 riduce la somma pesata dei tempi di completamento min Si ci/w 2 S SWPT: Shortest Weighted Process Time (first)

(ri= 0 => fi: = ci-ri = ci) SPT: p 3 pn op 3 opn c 3 cn p 2 op 2 c 2 p 4 op 4 cm Minimizza anche: - flusso medio F - attesa media W - num. medio p. in att. Nw

Nw(t) n-1 n c / c m= 1 + N w 2 1 cn ci n ck cj cy cx =cmt 1 Nw = c Sr x cr + cm- cm = n c / cm -1 m 1

SPT Massimizza: Numero medio ultimati Nu(t) n-1 2 1 ci cj 1 Nu = c ck cn cy cm n S (c c ) + c m- c m r i m r m 1 1 = cm ( ncm- nc ) = n(1 -c/ cm) t

Lr(cr) RITARDO (lateness) Lr > 0 Lr < 0 anticipo cr- dr dr ritardo dr: tempo di consegna dovuto per pezzo r Ritardo del pezzo r : Lr = cr-dr cr

Lr(cr) Lr > 0 Lr < 0 c r- d r dr cr ritardo anticipo min c <=> min L n n n L = 1 S Lr = 1 S cr- dr = c - 1 n S dr n r =1

minimo ritardo Massimo min LM S Lj Lk ci dj di Li LM = Maxr Lr = Lj cj d k ck

Earliest Due Date EDD dati lavori J 1. . . Jn Si hanno le seguenti date di consegna: di (1) di (2) di (3) di (4) d i ( l)

Earliest Due Date EDD Si riordinano gli indici nell’ordine delle date dovute d 1 d 3 d 2 d 4 dn e si sequenziano i lavori nello stesso ordine J 1 J 3 J 2 d 1 d 2 Jn J 4 d 3 d 4 dn

n min Maxi Li S 1 EDD Jk Ji Sott. ck d i ci Ji S’ Jk dk > d i dk c i ’ d i c k’ = c i

EDD -dk< - di c i ’ d i c k’ = c i dk ci’< ci Jk c i = c k’ S’: Ji Max (Lk’, Li’) = Max (ci - dk, ci’- di) < ci - di Max (ck -dk, ci-di) = Max (Lk, Li)

Earliest Due Date EDD n min Maxi Li : Massimo anticipo minimo S 1 : n Max mini Ai ci di Ai = -Li> 0 S 1 Ai < 0 ci di

Algoritmo di Moore per la minimizzazione dello scarto (numero di lavori, ciascuno di una sola operazione, in ritardo)

Massimo numero lavori in tempo Algoritmo di Moore J 1 J 2 d 1 J 3 d 2 J 4 d 3=d 4 Jn dn -1) Si scelgono gli indici in ordine EDD (non sempre è unico: es. J 3 e J 4 sopra)

J 1 J 2 d 1 J 3 d 2 Jn J 4 d 3=d 4 dn 0) La sequenza ottenuta è la sequenza corrente S 1 (la prima, coincide con la EDD) ; si pone i: =1 1) Si individua in Si il primo lavoro in ritardo Jl(i): se non esiste: stop

J 1 J 2 d 1 J 3 d 2 Jn J 4 d 3=d 4 dn 2) Si individua il lavoro più lungo Jr(i) con r l(i), nella sequenza corrente Si 3) Scartando Jr(i) si ottiene una nuova sequenza corrente Si+1; con i: = i+1 si torna al passo 1) La sequenza ottenuta allo stop è un estratto della EDD di lavori in tempo con minimo scarto

Dimostrazione di Moore 1968 d 1 d 2 … dn ( i lavori sono ordinati secondo EDD ) Si costruisce un estratto Mk del massimo numero, n. K k, di lavori terminati in tempo tra i primi k della EDD e con il minimo tempo totale di processamento (MK è quindi ottima per l’insieme dei primi k lavori e, tra quelle ottime, di lunghezza minima) Mn e’ una sequenza ottima (i lavori in ritardo sono scartati). nk : = massimo numero di lavori in tempo, cioè la dimensione di Mk [indici di Mk]: = { i(1), … i(nk) } sequenza dei lavori in tempo tra i primi k lavori nella EDD (nessuno scarto: i(h)=h, nk=k)

Dimostriamo per INDUZIONE che Mn è ottima : • M 1 e’ banalmente ottima (potrebbe essere vuota!). • Mk assumiamola ottima e di lunghezza minima. • Mk+1 e’ ottima e di lunghezza minima? Es. : n 1 = n 2 = 0 J 1 d 2 J 3 d 3=d 4 Jn J 4 dn Costruiamo la sequenza Mk+1 aggiungendo il lavoro k+1 a Mk -Se il lavoro k+1 e’ processato in tempo ottengo ancora una sequenza ottima e di lunghezza minima, in cui i lavori che arrivano in tempo sono n. K+1 = (1+ n. K) l’affermazione è ovvia: altrimenti Mk non sarebbe ottima e/o di lunghezza minima

- se k+1 non e’ processato in tempo, elimino uno dei lavori con tempo di processamento più lungo, fra gli (1+ nk). Ottengo una sequenza ottima di n. K+1= n. K lavori che arrivano in tempo, con tempo di processamento totale minimo. se il lavoro più lungo eliminato è quello aggiunto l’affermazione è ovvia: Mk è ottima perché n. K+1= n. K ; di lunghezza minima perché sostituendo un lavoro di Mk con il k+1 se ne ottiene una ottima più lunga altrimenti l’affermazione, ancorché intuitiva, va dimostrata: sia r con r k il lavoro eliminato e p(r) il suo tempo di processamento: la sequenza Mk senza r è un estratto di lunghezza minima con n. K – 1 lavori in tempo fra i primi k della EDD. Infatti è divisa in due segmenti: il primo segmento è un estratto del massimo numero di lavori in tempo tra i primi r-1 della EDD e il secondo segmento è un estratto del massimo numero di lavori in tempo tra quelli da r+1 a k della EDD: per avere un altro estratto con n. K – 1 lavori in tempo si dovrebbe sostiuire uno dei lavori di Mk con r che è di lunghezza massima. Alla sequenza Mk senza r si aggiunge il lavoro k+1 per dare una sequenza che è ottima (ha n. K+1= n. K lavori in tempo), di lunghezza minima (minore di Mk ), cioè è Mk+1 , in quanto k+1 è stato aggiunto ad un estratto di lunghezza minima con n. K – 1 lavori in tempo ed è più corto di r. In effetti andrebbe anche dimostrato che non serve recuperare i lavori scartati in M Chi è interessato veda la dimostra<ione di Francis riportata nel file dim MOORE. PPT