Introduzione Operazioni con le proposizioni La congiunzione La

Introduzione Operazioni con le proposizioni La congiunzione La disgiunzione Negazione di una proposizione L’implicazione La coimplicazione Proprietà delle operazioni logiche Tautologie

La logica opera con le proposizioni o enunciati, cioè tutte le frasi che possono essere definite vere o false. Sono proposizioni le seguenti frasi: “ 7 è multiplo di 4” e “La Terra è un pianeta” in quanto si può dire che la prima è falsa, mentre la seconda è vera. Non sono invece proposizioni queste frasi: “Domani pioverà” e “Luca verrà promosso” perché non si può stabilire il loro valore di verità. Home

Le proporzioni si possono unire tra di loro attraverso delle operazioni che hanno come simboli i connettivi logici che, a seconda del simbolo, si leggono “e, o, se… allora, se e solo se, …”. Per negare un enunciato si usa la locuzione “non” che viene chiamata operatore di negazione e si indica con una linea sopra alla proposizione da negare. Home

La congiunzione di due proposizioni p e q è uguale alla proposizione p Λ q che è vera solo quando p e q sono contemporaneamente vere e falsa in tutti gli altri casi. p q pΛq V V F F F V F F Esempio: p, q p = “oggi è sabato” F q = “ 2+2=4” V pΛq = “oggi è sabato e 2+2=4” F Home

La proposizione nata dalla disgiunzione di p e q è quella proposizione che sarà falsa solo quando sia p che q saranno false. In tutti gli altri casi la proposizione sarà vera. p q p. Vq V V F F F Esempio: p, q p = “Lecce è una provincia” V q = “la porta è aperta” F p. Vq = “Lecce è una provincia o la porta è aperta” V Home

Quando una proposizione vera viene negata, esse diventa falsa, mentre se la proposizione è falsa, diventerà vera. ¯ p p V F F V Esempio: p p = “Il quadrato ho 4 lati” V ¯ p = “Il quadrato non ha 4 lati” F Home

Connettendo due o più proposizioni tramite la locuzione “se… allora”, cioè con l’implicazione, otterremo una proposizione che risulterà falsa solo nel caso che la prima sia vera e la seconda falsa. p q p→q V V F F F V V F F V Esempio: p, q p = “Marco studia” V q = “Marco è promosso” V p → q = “Se Marco studia allora Marco è promosso” V Home

Si definisce coimplicazione di p e q la proposizione che è vera quando p e q hanno lo stesso valore di verità e falsa negli altri casi. p q p↔q V V F F F V Esempio: p, q p = “Il Po è una montagna” V q = “ 7 è un numero primo” V p. Vq = “Il Po è una montagna se e solo se 7 è un numero primo” V Home

1) Proprietà commutativa della congiunzione e della disgiunzione: pΛq=qΛp p. Vq=q. Vp 2) Proprietà associativa della congiunzione e della disgiunzione: (p Λ q) Λ r = p Λ (q Λ r) (p V q) V r = p V (q V r) 3) Proprietà distributiva della congiunzione rispetto alla disgiunzione: (p Λ q) V r = (p Λ q) V (p Λ r) 4) Proprietà distributiva della disgiunzione rispetto alla congiunzione: (p V q) Λ r = (p V q) Λ (p V r) Home

Se una formula enunciativa risulta vera in tutti i casi possibili viene detta tautologia. Per indicare che una formula A è una tautologia si scrive ╞ A. Quando una formula enunciativa è sempre falsa allora si chiama contraddizione. Esempio: a b aΛb (aΛb) → a a a ¯ aΛ¯a V V V F F F V F F F V TAUTOLOGIA V CONTRADDZIONE Home

Nei ragionamenti di matematica ci sono sempre delle affermazioni, le premesse di cui si conosce già il valore di verità. Da queste affermazioni se ne deduce una nuova, detta conclusione. MODUS PONENS MODUS TOLLENS 1ª premessa a→b 2ª premessa a conclusione b 1ª premessa a→b 2ª premessa ¯ b conclusione ¯ a Home