Unidade 3 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente

Unidade 3 1 Modelo de Markowitz Fronteira eficiente 2. Determinação da Fronteira eficiente Carlos Arriaga 2007/08 Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 1

Unidade teórica 3. Relação entre o risco e a rentabildade esperada. O que é a fronteira eficiente num conjunto de portefólios? . Como modelizar a eficiência ? . Quais as hipóteses do modelo de Markowitz? . Como determinar a fronteira de eficiência? . A relação entre os retornos esperados de um activo e o retorno de mercado (Beta do activo e o modelo de Sharpe). Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 2

Rentabilidades e distribuição de probabilidades n Rentabilidade de uma acção num determinado período é definido pelo dividendo (distribuição de lucros) e pela variação do preço da acção: R = (div + P 1 – P 0) / Po n R é uma variável aleatória R~ N (r, G) n Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 3

MATEMÁTICA DA FRONTEIRA DE UM PORTEFÓLIO: o MODELO DE MARKOWITZ (1959) n HIPÓTESES DO MODELO DE MARKOWITZ: - HIPÓTESES RELATIVAS AOS ACTIVOS FINANCEIROS H 1: Todo o investimento é uma decisão tomada em situação de risco. O retorno de um activo financeiro para um período futuro é consequentemente uma variável aleatória com distribuição normal. H 2 : os retornos de diferentes activos financeiros não se movimentam de uma forma independente de uns e de outros. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 4

Hipóteses relativas ao comportamento dos investidores n H 3: O comportamento de todos os investidores é caracterizado por um grau mais ou menos pronunciado de aversão ao risco (medido pelo desvio padrão e pela distribuição dos retornos) n H 4: Os investidores tomam decisões racionais: Mesmo que a sua função de utilidade seja subjectiva eles operam segundo escolhas transitivas. n H 5: Todos os investidores têm um mesmo horizonte de decisão, que comporta um só período. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 5

ESTRUTURAÇÃO DO MODELO DE MARKOWITZ n Os acontecimentos dos quais contribuem para as decisões tomadas não se encontram explicitados no modelo. A distribuição de probabilidades relativamente aos rendimentos de cada activo financeiro é efectuado condicionalmente ao estado da economia em geral e à situação do mercado financeiro em particular. n Uma decisão consiste em alocar um determinado orçamento aos diferentes activos financeiros Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 6

FRONTEIRA EFICIENTE n 1º Fase: Repartir as soluções possíveis em dois sub-conjuntos, correspondendo um deles ao das soluções dominantes (eficientes) e um outro ao das soluções dominadas (ineficientes) n 2ºA fase: Dentro das soluções eficientes, fazer corresponder aquela que maximiza a função de utilidade do investidor. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 7

PRIMEIRA FASE n Em razão do principio de racionalidade, um investidor que pretende situar-se a um nível de risco optará por um portfólio de maior valor esperado do rendimento E(r 2). n Em razão do princípio de racionalidade e de aversão ao risco, um investidor que pretende situar-se a um nível de rendimento esperado optará pelo portfólio de menor risco. n Pode-se estabelecer a hipótese de que todos os investidores, com base em características objectivas, localizarão de maneira semelhante a fronteira eficiente , que é independente das preferências individuais dos investidores. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 8

Segunda Fase n Temos de ter em conta as funções de utilidade de cada investidor (curvas de indiferença) n A fronteira de eficiência (dado objectivo) n Cada investidor escolherá o portfólio correspondente ao ponto onde a fronteira de eficiência é tangente a uma das suas curvas de indiferença. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 9

Fronteira eficiente n E(p) n σ (p) Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 10

Diversificação eficiente n O conceito de eficiência permite estabelecer a seguinte proposição : para todo o investidor, o portfólio de utilidade máxima que ele vai escolher tendo em conta o princípio de racionalidade, deverá ser um portfólio optimamente diversificado. n Diversificando vai permitir reduzir o risco e aumentar simultâneamente o rendimento esperado do portfólio. n O grau de diversificação possível de obter é função das covariancias dos activos financeiros que constituem o porfólio. n Estudos empíricos têm mostrado que uma diversificação com 20 activos financeiros apresentam um resultado bastante satisfatório no que respeita ao binómio risco versus custos de transacção. O aumento de activos no portfólio pouco mais irá atenuar o risco. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 11

Diversificação – exemplo com dois activos financeiros n Activo A E (RA) = 5% σ (RA) = 20% n Activo B E (RB) = 15% n Que proporções de A e de B? σ (RB) = 40% Três situações: n ρ AB = 1 n n n ρ AB = - 1 -1<ρ AB<1 Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 12

Diversificação – exemplo com dois activos financeiros n E( R) n 15% n 10% C n n B 5% n n Carlos Arriaga A 10% 20% σ( R) 40% Economia bancária e Financeira 13

Diversificação Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 14

Medida de risco de um activo n. A co-variância de um activo é a média ponderada das co-variâncias do activo com todos os activos do portefólio n σip = Σ xj σij n A variância do portefólio é igual à média ponderada das co-variâncias dos activos com o portefólio. n Σ σ 2 p = Σ xj σi. P Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 15

Teoremas dos portefólios eficientes n Proposição 1 n Considerado c uma constante e R-c o vector n R-c = [E (r 1) –c n E (r 2)- c n E(rn) – c] n O vector Z resolve as equações R-c = Sz n Z = S-1[R-c] n X = {x 1, x 2…. xn} Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 16

Teoremas dos portfefólios eficientes n Proposição 1 n Xi = zi / ΣZj n Todos os portfolios de envelope (na fronteira) são desta forma n n Carlos Arriaga c xi porfolio de tangência dado c Economia bancária e Financeira 17

Teoremas dos portefólios eficientes n Proposição 2 n Se dois portfolios se encontram na fronteira eficiente (portfolios de envelope) e dada uma constante a o portfolio resultante n ax + (1 -a)y n Também se encontra na fronteira de eficiência Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 18

Teoremas dos portfolios eficientes n n n Proposição 3 Se um portfolio s encontra na fronteira de eficiencia (portfolio y) então existirá sempre um outro linearmente relacionado com este que se encontra igualmente na fronteira de eficiência E (rx) = c + β x [E(ry) – c] β x = Cov (x, y) / σ2 y c será o valor esperado de um portfolio z cuja covariancia com y é 0 c = E(rz) n Cov (y, z) = 0 n Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 19

Portefólio eficiente e não eficiente n E(Rp) n n portfolio eficiente E(rm) n x y porfolios possiveis e não eficientes n n σ (p) Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 20

Cálculo da fronteira eficiente n Suponha que um portfolio e constituido pela porporção a do portfolio x e (1 -a) do portfolio y n E R(p) = a E(Rx) + (1 -a)E(Ry) n σp= √ a 2 σ2 x + (1 -a) σ2 y +2 a(1 -a) cov(x, y) Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 21

Fronteira eficiente - construção n n Data /table : Considerar ocalculo para um portfolio w Proporção de X 0. 3 Retorno : 8. 66% σ do portfolio : 43, 5% Carlos Arriaga Sigma Return =Formula -0. 3 0. 7274 0. 1014 0 0. 578 0. 0940 0. 4 0. 3874 0. 0841 0. 3 0. 4335 0. 0866 0. 5 0. 3429 0. 0817 1 0. 1917 0. 0693 1. 5 0. 3024 0. 057 1. 6 0. 3445 0. 0545 Economia bancária e Financeira 22

CML Capital market Line n R-rf = Sz n Mi = Zi / ∑Zi n E R(p) = a rf + (1 -a)E(RM) Capital market line n σp= √ a 2 σ2 rf + (1 -a) σ2 M +2 a(1 -a) cov(rf, M)= n = (1 -a) σM Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 23

Capital market line n E(Rp) n n Portfolio de mercado E(rm) n n x y porfolios possiveis e não eficientes rf n n σ (p) Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 24

Modelo simplificado de Sharpe Problemas do Modelo de Markowitz: Grande dimensão da matriz de co-variâncias (cálculo computacional complicado em 1959) n Conhecimento da matriz das co-varâncias n Hipótese de Sharpe (1963): Os rendimentos diversos activos encontram-se ligados entre eles por uma relação a um factor comum subjacente: n Ř i = α i + βi Ĩ + ũ i n Ĩ = αn+1+ vn+1 n Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 25

Lending portfolio Emprestador sobre o mercado monetário (sem risco) e associação à aquisição de activos com risco. n Condições : n - Existe ao menos alguem que não apresenta risco de não cumprimento da dívida (quem pede emprestado com risco nulo) - O rendimento presente e futuro de quem adquire este activo é um valor certo - Este activo oferece uma protecção perfeita contra a perda do poder de compra n Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 26

Borrowing Portfolio n Um investidor é capaz de se endividar de maneira a comprar um montante de um portfólio cujo valor seja superior aos valores iniciais: n E(Řp) = Xzrz + (1 -Xz)rb n rb é a taxa de empréstimo Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 27

Avaliação de activos financeiros: Modelos C. A. P. M. e A. P. T. n Capital market theory (derivado do modelo de Sharpe) n SEcurity market line: Determinação do valor de um activo, tendo em conta o activo sem risco e o portfólio de mercado. n CAPM : Capital Asset Pricing Market: Modelo de avaliação dos activos financeiros tendo em conta a relação entre o modelo de mercado e a security market line. n APT: Arbitrage Pricing theory : Os rendimentos dos cativos financeiros são função lineares de mais do que um factor Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 28

Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro n 1. Todos os investidores individuais têm um comportamento racional e tomam decisões que se situam na fronteira eficiente segundo o modelo de Markowitz. n 2. Pode-se emprestar ou pedir emprestado à taxa sem risco sem qualquer restrição. n 3. Homogeneous expectations: todos os investidores detem a mesma distribuição de probabilidade sobre o rendimento de cada título 4. Todos os investidores têm o mesmo horizonte Carloseconómico Arriaga Economia bancária e Financeira n 29

Hipóteses de base dos modelos de mercado financeiro n 5. Todos os investimentos são perfeitamente divisíveis e perfeitamente líquidos. n 6. Não existem custos de transacção. n 7. O mercado financeiro não se encontra segmentado, isto é, um sistema de preços é válido para todas as transacções financeiras. n 8. Os investidores antecipam de maneira homogénea as flutuações da taxa de juro. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 30

Condições de estimação do modelo de mercado n O índice de mercado deverá responder às condições seguintes: n 1. Ser exaustivo , isto é, deverá ser calculado a partir de todos os activos financeiros com risco existente no mercado (vinte são representativos) n 2. Ser um indice de rendimento e não apenas um índice de preços. Deverá ter em conta os rendimentos líquidos distribuídos (dividendos e juros). n 3. Ser um índice ponderado e não uma média aritmética simples. Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 31

SML com activo sem risco n. E (rx) = rf + βx [E(rm)-rf] n Βx = Cov (x, M) / σ2 M Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 32

Security Market Line n E(Rp) n E(rm) n n y rf n Zero Beta Portfolio n n Carlos Arriaga 1 σ (p) Economia bancária e Financeira 33

CONCLUSÃO Num portefólio eficiente procura-se a rentabilidade máxima para um dado risco ou o risco mínimo para um valor esperado dado. n Estatísticamente o risco compreende a matriz das variâncias e das co-variâncias dos retornos esperados de um portefólio n Há uma relação entre o retorno esperado de um activo, o retorno esperado de mercado e o activo sem risco. O beta mede essa relação. n Carlos Arriaga Economia bancária e Financeira 34