Unidade 2 4 JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA WIX COMFISICAEMAT

Unidade 2. 4 JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

INTRODUÇÃO Relembrando o que vimos na unidade 1 Principal PV X Coeficiente = Montante FV Até agora já estudamos a linguagem dos juros simples e do desconto simples. Nesta unidade iremos estudar a linguagem dos juros compostos: • Juros Compostos e suas aplicações; • Taxas equivalentes. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

INTRODUÇÃO Relembrando. . . Juros Simples: Dado um principal (PV), ele deverá render juros (J) a uma taxa constante (i) por um determinado número de períodos (n), gerando um montante (FV). O juro produzido em determinado momento não rende mais juros. Os juros calculados de cada intervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS COMPOSTOS - CONCEITO Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial acrescido dos juros acumulados até o período anterior, ou seja, os juros de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. Assim sendo, no transcorrer de cada período, o que era “à priori” Montante relativo a um determinado período, passa a ser o Principal no período seguinte. É o que popularmente chamamos de Juros Sobre Juros SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS Lembrando a fórmula de juros simples: FV = PV (1 + i * n) Vamos calcular o montante acumulado a cada período (n = 1) no regime de juros compostos S 1 = P (1 + i * n) = P (1 + i * 1) S 2 = S 1 (1 + i * n) = P (1 + i) * (1 + i * 1) S 3 = S 2 (1 + i * n) = P (1 + i)2 * (1 + i * 1) S 4 = S 3 (1 + i * n) = P (1 + i)3 * (1 + i * 1) S 1 = P (1 + i) S 2 = P (1 + i)2 S 3 = P (1 + i)3 S 4 = P (1 + i)4 Sn = P (1 + i)n SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS COMPOSTOS - FÓRMULAS FÓRMULA DE JUROS COMPOSTOS FV = PV * (1+ i)n ATENÇÃO !!! 1 - O período de capitalização deve ser compatibilizado com a taxa. 2 - A taxa é quem define o período da capitalização. Exemplo: 5% ao mês em três meses (=15, 76%) é diferente de 15% ao trimestre. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25. 000, 00 que rende juros compostos de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV * (1 + i )n FV = 25. 000 * (1 + 0, 04)4 FV = 25. 000 * 1, 1699 FV = 29 246, 46 n Resposta: No regime de juros compostos, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29. 246, 46 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS Determinar o montante produzido por uma aplicação de R$ 25. 000, 00 que rende juros simples de 4% ao mês durante 4 meses. FV = PV (1 + i * n) FV = 25. 000 (1 + 0, 04 * 4) FV = 25. 000 * 1, 16 FV = 29 000 n Resposta: No regime de juros simples, o montante acumulado ao final de 4 meses será de R$ 29. 000, 00 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÃO: O mesmo capital rendeu R$ 29. 246, 46 na capitalização composta e R$ 29. 000, 00 na capitalização simples. Os juros compostos remuneram MAIS um mesmo principal que os juros simples à mesma taxa, no mesmo período. POR QUÊ? SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

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JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS CONCLUSÕES: Taxas de juros baixas e/ou períodos de capitalização curtos não provocam grandes distorções entre juros simples e compostos. Trabalhando com taxas altas e/ou longos períodos mostram grandes diferenças entre os montantes produzidos por juros simples e compostos. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

PARA PENSAR Os bancos utilizam taxas de juros simples ou juros compostos nas operações de cheque especial? Por quê? SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 1 o Grupo – Dados PV, n, i, achar FV Um capital de R$ 100. 000, 00 estará aplicado à taxa de juros compostos de 5% ao mês durante 1, 5 anos. Determinar o valor do montante dessa aplicação. 1, 5 anos = 18 meses (taxa e prazo compatibilizados) n FV = PV * (1 + i)n FV = 100. 000 * (1 + 0, 05)18 FV = 100. 000 * 2, 4066192 FV= 240. 661, 92 Resposta: O montante é de R$ 240. 661, 92 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 2 o Grupo – Dados FV, n, i, achar PV A partir do montante de R$ 150. 000, determinar o principal relativo ao empréstimo com prazo de 1 ano e taxa de juros compostos de 5% ao mês. FV = PV * (1 + i )n 150. 000 = PV * (1 + 0, 05)12 150. 000 = PV * 1, 7958563 PV = 150. 000 / 1, 7958563 = 83. 525, 61 n Resposta: O valor do empréstimo foi de R$ 83. 525, 61 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 3 o Grupo – Dados FV, n, PV, achar i Conhecendo o montante R$ 172. 000, o principal de R$ 100. 000, 00 e o prazo de 1 ano, determinar a taxa de juros mensal composta relativa ao empréstimo. 1 ano = 12 meses FV = PV * (1 + i )n 172. 000 = 100. 000 * (1 + i)12 172. 000/100. 000 = (1 + i)12 1, 72 = (1 + i)12 E agora? Como resolver? SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA a b Vamos lembrar da seguinte propriedade: (x ) = xa. b Então aplicando a propriedade na equação. . . 1, 72 = (1 + i)12 1/12 1, 721/12 = [(1 + i)12] 1, 721/12 = (1 + i)12 * 1/12 1, 721/12 = (1 + i)1 1, 0462 = 1 + i i = 1, 0462 - 1 => i = 0, 0462 n Resposta: A taxa de juros do empréstimo é de 4, 62% a. m. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA 4 o Grupo – Dados FV, PV, i, achar n Conhecendo o montante de R$ 368. 000, o principal de R$ 200. 000, 00 e a taxa de juros compostos de 7% ao mês, determinar o prazo do empréstimo. FV = PV * (1 + i )n 368. 000 = 200. 000 * (1 + 0, 07)n 368. 000 / 200. 000 = (1 + 0, 07)n n 1, 84 = (1, 07) E agora? Como resolver? SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO DA FÓRMULA Vamos lembrar da seguinte propriedade: Log(x)a = a * Log x Então aplicando a propriedade na equação. . . 1, 84 = (1, 07)n Log (1, 84) = Log(1, 07)n Log (1, 84) = n * Log (1, 07) n = Log (1, 84) / Log (1, 07) n = 0, 2648 / 0, 0294 n = 9, 01 n Resposta: O prazo do empréstimo é de 9, 01 meses. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro Uma corretora de valores comprou um título de valor de resgate de R$ 148. 000, prazo de 8 meses e taxa mensal composta de 5, 5%. Passados dois meses, vendeu o título para um investidor na taxa composta de 3, 8% a. m. . Determinar a taxa alavancada obtida pela corretora. Investidor Corretora 8 meses – 5, 5% 6 meses 3, 8% 2 meses i Valor de compra Valor de venda SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT 148. 000

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro 8 meses – 5, 5% 2 meses 3, 8% i 96. 436, 63 Valor de compra 6 meses Valor de 118. 325, 29 venda 148. 000 Valor de compra FV = PV * (1 + i )n Valor de Venda FV = PV * (1 + i )n 148. 000 = PV *(1 + 0, 055)8 148. 000 = PV *(1 + 0, 038)6 148. 000 = PV * 1, 0558 PV = 148. 000 / 1, 5347 PV = 96. 436, 63 148. 000 = PV * 1, 0386 PV = 148. 000 / 1, 2508 PV = 118. 325, 29 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

Exercícios Práticos do Mercado Financeiro 8 meses – 5, 5% 2 meses 3, 8 % i % 10, 77 96. 436, 63 6 meses 118. 325, 29 Taxa da corretora FV = PV * (1 + i )n 118. 325, 29 = 96. 436, 63 * (1 + i)2 118. 325, 29 / 96. 436, 63 = (1 + i)2 1, 22701/2 = (1 + i) i = 1, 1077 - 1 = > i = 0, 1077 = 10, 77% a. m. SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT 148. 000

Como se Ganha Dinheiro no Mercado Financeiro Uma corretora de valores comprou e vendeu, no mesmo dia, um título de valor de resgate de R$ 148. 000 e prazo de 8 meses. Comprou por uma taxa de juros composta de 6, 2% ao mês e vendeu por uma taxa composta de 3, 5% ao mês. Determinar o lucro obtido nessa negociação. Preço pago na compra Preço pago na Venda FV = PV * ( 1 + i )n 148. 000 = PV * (1 + 0, 035)8 148. 000 = PV * (1 + 0, 062)8 PV = 148. 000/ 1, 6181 = 91. 467, 24 PV = 148. 000/ 1, 3168 = 112. 392, 91 Lucro = Preço de Venda – Preço de compra Lucro = 112. 392, 91 – 91. 467, 24 => Lucro = R$ 20. 925, 67 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate Aplicação inicial: R$ 100. 000, 00 Prazo total: 12 meses Taxa composta: 4% ao mês 1º Comprador: 3, 3% ao mês em 2 meses 2º Comprador: 3, 4% ao mês em 3 meses 3º Comprador: i % ao mês em 5 meses (calcular a taxa) 4º Comprador: 3, 2% ao mês em 2 meses 12 meses – 4% 2 meses 3, 30% 3 meses 3, 40% 5 meses i% 100. 000 Valores de revenda SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT 2 meses 3, 20% Valor de resgate

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 12 meses – 4% 2 meses 3, 30% 3 meses 3, 40% 5 meses i% 2 meses 3, 20% Valor de 160. 103, 22 resgate 100. 000 Valor de resgate FV = PV * (1 + i )n FV = 100. 000 * (1 + 0, 04)12 FV = 100. 000 * 1, 0412 FV = 100. 000 * 1, 601032 FV = 160. 103, 22 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 12 meses – 4% 2 meses 3, 40% 3, 30% 100. 000 106. 708, 90 5 meses i% 117. 967, 47 2 meses 3, 20% 160. 103, 22 2 o Comprador 1 o Comprador n FV = PV * (1 + i ) FV = 100. 000 * (1 + 0, 033)2 FV = 100. 000 * 1, 0332 FV = 100. 000 * 1, 067089 FV = 106. 708, 90 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT FV = PV * (1 + i )n FV = 106. 708, 90 * (1 + 0, 034)3 FV = 106. 708, 90 * 1, 0343 FV = 106. 708, 90 * 1, 105507 FV = 117. 967, 47

TÍTULOS - Várias revendas antes do resgate 12 meses – 4 % 2 meses 3, 30 % 100. 000 3 meses 3, 40 % 106. 708, 90 117. 967, 47 4 o Comprador FV = PV * (1 + i )n 160. 103, 22 = PV * (1+ 0, 032)2 160. 103, 22 = PV * 1, 0322 PV = 160. 103, 22 / 1, 0650 PV = 150. 328, 27 SERGIOMELEGA. WIX. COM/FISICAEMAT 5 meses % i =i 4, 97% 2 meses 3, 20 % 150. 328, 27 160. 103, 22 3 o Comprador - taxa FV = PV * (1 + i )n 150. 328, 27 = 117. 967, 47 * (1+ i )5 1, 2743 = (1 + i)5 1, 27431/5 = (1 + i) i = 1, 0497 - 1 i = 0, 0497 = 4, 97%