Capitalizao Composta Taxas de Juros Matemtica Financeira Prof

Capitalização Composta Taxas de Juros Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n Cálculo do rendimento a Juros Compostos: q q q Montante; Juros; Capital; Tempo; Taxa de juros; Equivalência em juros composto. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n O conceito fundamental de Juros compostos é que os juros são capitalizados ao longo do período, ou seja, os juros rendem juros. q Ex: Um capital de R$ 1. 000, 00 aplicado por 4 anos a taxa de 10% ao ano. Ano (n) 0 1 2 3 4 Juro (j) 0, 00 100, 00 110, 00 121, 00 133, 10 1100, 00 1210, 00 1331, 00 1464, 10 Montante (S) 1000, 00 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n Como visto anteriormente, os juros agora são capitalizados, tornando assim o crescimento exponencial. 0 1 j 1 = P. i 2 j 2 = S 1. i 3 j 3 = S 2. i n-1 jn-1 = Sn-2. i n jn = Sn-1. i S 1 = P + j 1 => S 1 = P (1 + i) S 2 = S 1 + j 2 => S 1 + S 1. i => S 1 (1 +i) => P(1+i)2 S 3 = S 2 + j 3 => S 2 + S 2. i => S 2 (1 +i) => P(1+i)2 (1+i) => P(1+i)3 Sn = Sn-1 + jn => Sn-1 + Sn-1. i => Sn-1 (1 +i) => P(1+i)n-1 (1+i) => P(1+i)n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n Os juros na capitalização composta são incorporados no capital para novamente serem calculados 0 Valor Inicial ou Principal 1 2 S = P(1+i)n P+J = P(1+i)n – P J = P[(1+i)n – 1] 3 n-1 P = S(1+i)-n S -J= S(1+i)-n J = S – S(1+i)-n J = S[1 - (1+i)-n] Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler n Valor Futuro ou Montante

Juro Composto n O Capital representa o valor inicial de um fluxo de caixa podendo também ser chamado de: q q q 0 Principal Valor atual Investimento, etc. 1 2 3 n-1 P n S S = P(1+i)n P = S(1+i)-n Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n A taxa é a razão que remunera o capital em um determinado período de tempo. 0 1 2 3 n-1 n P q Podendo ser constante ou variável ao longo dos período. S = P(1+i)n S/P = (1+i)n i = (S/P)1/n -1 Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n Prazo, mostra o número de períodos de um fluxo de caixa completo ou não sendo dividido em: n q q Meses; Bimestres; Semestres; Anos, etc S = P(1+i) S/P = (1+i)n ln(S/P) = ln(1+i)n ln(S/P) = n. ln(1+i) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Juro Composto n Capitalização Contínua q q Quando a taxa é expressa em um determinado período de tempo, o cálculo (em princípio) é realizado só no período que foi estabelecido a taxa, porém em alguns casos há a necessidade de se reduzir o prazo da taxa. Neste caso se tivermos a taxa num período de tempo ao dia, será indiferente receber hoje ou amanhã, chamamos isto de capitalização contínua. Temos então que converter a taxa nominal, para a equivalente ao dia, isto será demonstrado no próximo tópico. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Taxas de juro, vão incidir no cálculo financeiro, conforme for estabelecido no problema a ser resolvido. Podem ser divididas em: q q Proporcionais; Nominais Equivalentes, e Efetivas, real ou capitalizada. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Proporcionais q A taxa é expressa em período de tempo, porém em alguns casos haverá a necessidade de adequação ao período solicitado. Veja no exemplo abaixo que 2 semestres correspondem a 1 ano, logo multiplicamos a taxa por dois. Toda vez que houver a necessidade de conversão, ela deverá ser feita de forma linear. 0 1 2 3 4 P Semestres 5 S 3% a. s. 3 x 2 = 6% a. a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler 3% a. s.

Taxas de Juros n Nominais q q Corresponde a taxa de um período inteiro como por exemplo: Ano 12% Semestre 6% Mês 1% A conversão é feita de forma linear, ou seja, na forma da capitalização simples. (proporcional) Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Equivalentes q q Na capitalização composta, todos os valores ao longo do tempo são capitalizados de forma exponencial (acumulativa), portanto o mesmo principio será aplicado na taxa. A taxa equivalente corresponde a um valor que é estabelecido no tempo, e se houver mudança no período da taxa o resultado não será alterado. Veja exemplo: Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Exemplo para um período semestral, onde se deseja converter para anual. Semestres 0 1 2 3 4 P 5 S 5% a. s. 10, 25% a. a. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler 5% a. s.

Taxas de Juros n Equivalentes q q q No exemplo anterior a diferença de valor e justamente pela acumulação dos juros na forma composta. Quando o período da taxa é maior que o período se deseja descobrir, utilizamos a seguinte formula: n iq = (1+it)q - 1 Caso seja o inverso, utilizamos a fórmula: n iq = (1 + it)1/q – 1 q q iq = taxa quero it = taxa que tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Como no dia-a-dia os períodos a que se referem às taxas que se tem e taxas que se quer são os mais variados, vamos apresentar uma fórmula genérica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja: q Para efeito de memorização denominamos as variáveis como segue: n n iq = taxa para o prazo que eu quero it = taxa para o prazo que eu tenho q = prazo que eu quero t = prazo que eu tenho Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Vejamos alguns exemplos: q Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano: n q i 183 = (1, 65)183/360 - 1=28, 99% Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao mês: n i 491 = (1, 05)491/30 — 1 = 122, 23% Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Taxas de Juros n Pontos importantes q q q Observar o enunciado da questão a ser resolvida. Em caso de capitalização simples a conversão sempre é linear. Capitalização composta será utilizada a taxa equivalente. Tudo isto é para adequar o período da taxa com o período da capitalização. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler

Bibliografia n FARO, Clovis de. Fundamentos de Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva, 2006. n VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª ed. São Paulo: Atlas, 2000. Matemática Financeira Prof Eugênio Carlos Stieler