UNA NUOVA ARITMETICA L ARITMETICA MODULARE e SISTEMI

UNA “NUOVA” ARITMETICA L’ ARITMETICA MODULARE e SISTEMI di NUMERAZIONE

Generalmente ci serviamo dell’orologio o della sveglia molte volte al giorno. I nostri orologi sono macchine per misurare il tempo e, qualsiasi strumento di misura è di “natura” matematica. Contando con i numeri che rappresentano le ore, spesso si ottengono risultati insoliti: sono le 7 e aggiungiamo 8 ore 11 0 1 10 2 9 3 4 8 7 ……. 5 7+8=3 Si legge “ 7 più 8 uguale a 3 (modulo 12) “ 6 Questo tipo di aritmetica si chiama aritmetica modulare o anche sistema di numerazione finito

Un’ altro sistema numerico finito si può costruire con i giorni della settimana: 0 domenica, 1 lunedì, 2 martedì, ……, 6 sabato. alcune domande: 1. Se il 4 marzo era di sabato, che giorno era il 24 marzo? 2. Per trovare che giorno sarà il 4 marzo dell’anno successivo si potrebbe ragionare così… 3. Si può anche andare all’indietro e chiedersi: che giorno era il 4 marzo del 1906? E il 4 marzo del 1806? il problema si può risolvere contando o con l’aritmetica modulo 7 Allo stesso modo si possono risolvere problemi del tipo: che ora sarà tra 1675 ore? Spiegazione parziale Se numeriamo le 24 ore del giorno da 0 a 23 e se, ora sono le 18, tra 1675 ore saranno (1675+18) mod 24, cioè le 11.

Il gioco del telefono -Scrivi il tuo numero di telefono -Cambia l’ordine alle cifre e riscrivi il numero ottenuto -Sottrai dal maggiore il minore e somma le cifre fino ad ottenere un numero con un’unica cifra -Inizia a contare dopo la stella (contrassegnata con 1) nel senso indicato Quale posto raggiungi? 1

il gioco del telefono Un numero è divisibile per 9 se lo è la somma delle sue cifre: esempio un numero di tre cifre (a, b, c) assegnato, si scrive in forma polinomiale nel modo seguente : (100 a + 10 b + c) = (99 + 1) a + (9 +1 ) b + c = 99 a + 9 b + (a + b + c ) = = 9 ( 11 a + 1 b ) +( a + b + c ) questa quantità è divisibile per 9 il numero dato è divisibile per 9, se lo è il termine ( a + b + c ) cioè la somma delle sue cifre Se il numero di telefono, diviso 9, dà come resto 0, 1 , ……. 8, si ha lo stesso resto anche con il numero ottenuto cambiando l’ordine alle cifre la differenza tra i due numeri, divisa per 9, dà come resto la differenza dei due resti, cioè 0. I simboli del cerchio sono nove, perciò il conteggio deve terminare sul nono simbolo dopo il primo indicato.

Consideriamo l’insieme dei numeri interi Z e la relazione detta di congruenza modulo n (con n > 0), così definita: Due numeri a e b sono equivalenti modulo n se e solo se (a-b) è multiplo di n. Con la relazione di equivalenza si può costruire l’insieme Zn delle classi di equivalenza, dette anche classi di resto modulo n classi [0] [1] [2] [3] [4] [0] ={0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ……} [1] ={1, 6, 11, 16, 21, 26, 31 ……. . } [2] ={2, 7, 12, 17, 22, 27, 32 ……. . } [3] ={3, 8, 13, 18, 23, 28, 33 ……. . } [4] ={4, 9, 14, 19, 24, 29, 34 ……. } E’ interessante vedere che le ordinarie operazioni di addizione e moltiplicazione che sono definite in Z danno luogo a operazioni analoghe in Zn

CLASSE di RESTI MODULO 5 - L’operazione + è interna - Vale la proprietà associativa + [0] [1] [2] [3] [4] [1] [2] [3] [4] [0] - Esiste , per ogni elemento il simmetrico [2] [3] [4] [0] [1] - L’insieme Z 5 è chiuso rispetto alla somma [3] [4] [0] [1] [2] [a]+ [b] =[a+b] [4] [0] [1] [2] [3] - Esiste l’elemento neutro [0] esercizio. [ 2 ] + [ 4 ] = [ 2 + 4 ] = [ 1 ]; la classe [2] rappresenta tutti gli elementi del tipo 2+5 h, gli elementi della classe [4] sono del tipo 4+5 k, la loro somma è 2+5 h+4+5 k=2+4+5(h+k)=6+5(h+k)= 1+5+5(h+k)=1+5(h+k+1) : questo elemento appartiene alla classe [1].

CLASSE di RESTI MODULO 5 - L’operazione * è interna * [0] [1] [2] [3] [4] - Vale la proprietà associativa [0] [0] [0] -La classe [0] annulla qualunque prodotto [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] - Esiste l’elemento neutro [1] - Esiste , per ogni elemento, diverso da [0] il simmetrico es. [ 2 ] x = [ 3 ]; x = [3] *[2]simmetico ; x =[3] * [3]; x = [4]

CLASSE di RESTI MODULO 6 Qui molte proprietà non valgono: * [0] [1] [2] [3] [4] [5] - Non è vero che ogni elemento ha il simmetrico: per i numeri 2, 3, 4 non esistono [0] [1] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] - Ci sono elementi diversi da zero che moltiplicati tra loro danno 0 [2] [3] [0] [2] [4] [0] [3] - In alcune righe compare più volte uno stesso elemento [4] [5] [0] [4] [2] [0] [5] [4] [3] [2] [1] Cosa è cambiato da 5 a 6? Si potrebbe rispondere che 5 è dispari e 6 pari, ma basterebbe provare con modulo 9 o 15 per rendersi conto che alcuni elementi non hanno il simmetrico. 5 è un numero primo e non ammette divisori propri e quindi non ci possono essere numeri diversi da zero che moltiplicati tra loro diano 0

La prova del nove Supponiamo di aver moltiplicato due numeri a e b, e di aver ottenuto come risultato c. Rifacendo il calcolo, potremmo ottenere risultati uguali o diversi: se sono diversi siamo sicuri che almeno uno dei due è errato, se sono uguali non abbiamo la certezza che il risultato sia corretto perché potremmo aver fatto lo stesso errore in tutti due i calcoli. Lo stesso avviene con la prova del nove: se i conti “non tornano” siamo sicuri di aver sbagliato la prova o la moltiplicazione, se “tornano”, avremo la conferma dell’esattezza del risultato, ma mai la sicurezza La prova del nove è molto più veloce che non rifare la moltiplicazione e quindi è preferibile La prova del nove ( o dell’ 11, o. . . ) si basa sul fatto che se a * b = c allora a mod p * b mod p = c mod p Es. 564 * 4318 = 2435352 a mod p c mod p a mod p * b mod p c mod p = 6 7 * b mod p 6 (6 7) mod 9 = 6

Si potrebbe fare anche la prova del 2, ricordando che a mod 2 è uguale a 1 se a è dispari e a 0 se a è pari Se almeno uno dei due numeri da moltiplicare è pari il risultato deve essere pari, se ambedue sono dispari il risultato deve essere dispari Perché allora non si usa la prova del 2 ? Ricordiamo che se la prova non torna il risultato è sbagliato, ma se la prova torna, potrebbe funzionare per caso. E perché non si fa con 347? Ci sarebbero 347 casi possibili (0…… 346) e l’eventualità che la prova torni per caso è piuttosto remota. La prova del 9 è abbastanza facile, ma anche la prova dell’ 11 può essere applicata senza troppi problemi PROVATE Basta osservare che: 10 = - 1 mod 11; 100 = 10*10 = 1 mod 11 e così via Anche la prova della divisione ( con resto ) si fa allo stesso modo Se (a : b ) dà come quoziente q e resto r, risulta q* b +r =a PROVATE

Il problema del falsario Alla ricerca di un falsario che spaccia monete, la polizia ha fermato sei viaggiatori provenienti dal paese di …… , a ognuno dei quali ha sequestrato le monete e ha fatto sei mucchietti. La polizia sa solo che le monete false si riconoscono da quelle vere perché differiscono da queste di un grammo e che le monete buone pesano un numero esatto di grammi. Con l’aiuto di una bilancia la polizia riesce a smascherare il falsario Quante pesate al minimo si devono fare? Una sola pesata è sufficiente La strategia consiste nel prendere 1 moneta dal primo mucchio, 2 dal secondo, … 6 dall’ultimo mucchio: in totale ci sono 21 monete. Sia p il peso non noto di una moneta buona. Se tutte le monete fossero buone il peso totale sarebbe 21 p, un numero divisibile per 21. Invece nel mucchio ci sono monete false, e precisamente una se il falsario è il primo viaggiatore, due se è il secondo, …… di 6 se è il sesto.

Continuazione …… Supponiamo che le monete false pesino 1 grammo di più delle buone: Il peso totale delle 21 monete sarà 21 p più tanti grammi quante sono le monete false Se si divide il peso totale per 21, si avrà come resto 1 se il falsario è il primo viaggiatore …… Che succederebbe se le monete false pesassero 1 in meno ? Indizio 21 p-1 21 p Resto della divisione per 21 è…? ? 21 p+1 Resto della divisione per 21 è 1

Nell’ambito delle classi di resto è interessante il TEOREMA : Se p è primo, e a è primo con p, a p – 1=1 mod p (piccolo teorema di Fermat) Nel 1736 fu proprio Eulero a generalizzare il piccolo teorema di Fermat e a dimostrare che Dati due qualsiasi numeri primi m ed N primi tra loro allora è m (N ) _ 1 = 0 (mod N) (N): funzione di Eulero che associa, a un numero intero N, il numero degli interi primi con N ed è uno degli ingredienti fondamentali del cifrario RSA (Rivest, Shamir, Adlemann) Il teorema permette di calcolare l’inverso di un numero in un’ aritmetica finita Il problema di codificare o cifrare un messaggio è stato affrontato, generalmente per usi militari, attraverso tutta la storia della civiltà umana La sfida del XX secolo era l’ideazione di un codice per cui anche il più potente calcolatore impiegasse millenni per la decodifica

LA CRITTOGRAFIA A CHIAVE PUBBLICA (qualche considerazione) Nel 1976 Diffie e Hellmann riuscirono a mostrare che per scambiarsi un messaggio segreto non è più indispensabile incontrarsi in privato per fissare una chiave Lo sviluppo delle loro idee ha portato alla costruzione di molteplici algoritmi per il controllo dell’identità digitale – firma – e per la comunicazione cifrata L’ idea si basa sullo studio degli elevamenti a potenza nelle classi di resto che permettono ai due comunicanti di accordarsi su una chiave comune con cui cifrare i propri messaggi I due interlocutori A e B concordano un numero primo p molto grande e un intero g minore di p A sceglie un numero segreto a, calcola = ga (mod p) e lo comunica a B A sua volta B sceglie un numero segreto b , calcola = gb (mod p) e lo comunica ad A Sarà possibile per A calcolare s = = gab ( mod p ) e per B calcolare lo stesso s = = gab ( mod p )

Chi avesse intercettato a tutta la comunicazione, sarà in possesso dei numeri p, g, , , ma non conoscendo né a né b , non sarà in grado di calcolare s, perché nelle classi di resto non si conoscono algoritmi efficienti per calcolare per esempio a da g e Es: p=23, g=5 A sceglie il valore segreto 7 e calcola 57 mod 23=17. Anche B sceglie un valore segreto, ad esempio, 5, calcola 55 mod 23 = 20 A e B si comunicano i risultati: la chiave comune sarà 17 5 mod 23 per B che è uguale a quello che si ricava A, 207 mod 23, ovvero 21. Il loro segreto in comune è 21 Chi ha ascoltato la conversazione conosce il 23, il 5, il 17 e il 20, ma per ricavare il segreto comune deve scoprire almeno uno degli esponenti scelti segretamente e mai comunicati Nell’esempio si può procedere per tentativi provando gli esponenti da 1 a 22, ma se i numeri fossero dell’ordine del miliardo di miliardi, ( con un miliardo di combinazioni al secondo), si impiegherebbe un tempo troppo lungo per decodificare il messaggio

L’aritmetica modulare è usata in numerosi crittosistemi per dissimulare ulteriormente l’informazione già trasformata da una funzione di cifratura. P 0 1 2 3 4 C=P 3 0 1 8 27 64 0 1 8 5 9 C ’ = P 3 mod 11 5 6 125 216 4 7 7 8 9 10 …. 343 512 729 1000 … 2 6 3 10 …. L’ utilità dell’aritmetica modulare è mostrata già dalla semplice funzione di cifratura C = P 3. Al crescere di P, la crescita continua di P 3 rende possibile invertire la funzione, ovvero determinare il valore di P che corrisponde a un dato valore di C, anche senza una formula semplice per esprimere P come radice cubica di C. Più precisamente, un valore di P che fornisca un valore piccolo di C è esso stesso piccolo, uno che dia luogo a un valore elevato è elevato. Se invece si introduce la modularità, C ‘ è uguale a P 3 modulo 11, e i valori della funzione hanno un andamento disordinato. Al crescere di P, C ‘ varia in modo affatto discontinuo, celando efficacemente P.

SISTEMI di NUMERAZIONE Per sistema di numerazione si intende quell’ insieme di simboli e di regole che permettono di esprimere graficamente i numeri e di leggerli. A Contiamo gli elementi dell’ insieme A nel sistema a base 10 (o modulo 10) 1 * 10 + 4 * 1 = 14 Una decina 4 unità

Ogni numero può essere scritto in forma polinomiale es. 124 = 1 * 102 + 2 * 101 + 4 * 00 ; ricordiamo che 10 0 = 1 ALCUNE BASI di NUMERAZIONE DIVERSE DA DIECI Per gli antichi guerrieri, che dovevano reggere un’arma, forse era più comodo utilizzare una sola mano e quindi contare a gruppi di cinque, cioè in base cinque: questo modo di contare è citato per esempio nell’ Odissea di Omero Gli antichi Caldei, grandi astronomi, divisero il cerchio dell’orizzonte in trecentossesanta parti e presero il suo sottomultiplo sessanta come base della loro numerazione. I Babilonesi usarono delle basi diverse di numerazione, sessanta e dieci. La numerazione binaria, cioè in base due, era già stata usata da qualche antico popolo orientale, forse suggerita dall’uso delle due mani; fu poi riutilizzata da G. Leibniz (1646 -1716) nel ‘ 600, ma ebbe poca fortuna fino a poco tempo fa, quando divenne la numerazione fondamentale per le macchine calcolatrici.

Nel sistema decimale sono sufficienti dieci simboli : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 per rappresentare tutti i numeri Con lo stesso simbolo possiamo indicare le unità (I ordine), le decine (II ordine), poi le centinaia (III ordine), etc. Possiamo usare lo stesso metodo per contare in una base diversa Se vogliamo contare in base cinque, cinque sono sufficienti cinque simboli (0, 1, 2, 3, 4) per indicare le unità del I ordine, con un gruppo di cinque “oggetti”(cinquina) otteniamo un’unità del II ordine, con cinque cinquine formiamo un’ unità del III ordine e così via. Esempi es. 1 103 Contiamo a base 10 102 101 Possiamo scrivere 2*101 + 5*100 25 dieci

Contiamo a base 5 es. 2 53 52 51 Possiamo scrivere 4*51 + 3*50 50 43 cinque

Contiamo in base due es. 3 1 * 1 0 0 1 23 22 21 20 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 1001 due (si legge “uno-zero-uno”)

Contiamo in base due es. 3 23 22 1* 23 + 0* 22 + 0* 21 + 1* 20 21 20 1001 due (si legge “uno-zero-uno”)

ancora esempi. . . Da una base qualunque alla base 10 e viceversa 32 otto = 3 * 81 + 2 * 80 = 24 + 2 = 26 dieci 122 quattro = 1 * 42 + 2 * 41 + 2 * 40 = 26 dieci Da una base qualunque 23 cinque 13 dieci + 0 0 0 1 10 1 111 tre Tabelle relative all’addizione e alla moltiplicazione a base 2 * 0 1 0 0 0 1

qualche operazione. . . a) 120 tre + 12 tre = 202 b) 121 tre - 11 tre c) 217 otto * 32 otto tre = 110 tre = 7206 otto d) 11110 due : 101 due = 110 due e) AB 3 sedici + 8 ADsedici = 1360 sedici f) 324 cinque * 12 cinque = 4443 cinque Ci sono errori ? ? ?

È ora di smetterla con questa matematica, che ne dite? 7 10 13 6