TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Aula Terica Semana 7

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Aula Teórica – Semana 7 PC - Aula Teórica 7 - RCBETINI 12/14/2021 1

A Transformada Inversa de Laplace • Difícil de ser calculada por definição, procura-se obtê-la através das tabelas já existentes. • Funções mais complexas (funções racionais) devem ser simplificadas de forma que se chegue a várias transformadas mais simples (frações parciais) cujas transformadas inversas sejam conhecidas. • A técnica da expanção em frações parciais é mostrada a seguir 12/14/2021 2

Método de Expansão em Frações Parciais • Se F(s), a TL de f(t), é separada em componentes: • E se as TIL de F 1(s), F 2(s), . . . , Fn(s) são conhecidas então: • Onde f 1(t), f 2(t), . . . fn(t) são as TIL de F 1(s), F 2(s), . . . , Fn(s) respectivamente 12/14/2021 3

Método de Expansão em Frações Parciais • Onde p 1, p 2, . . . pn, e z 1, z 2, . . . zn, são grandezas reais ou complexas, más para cada p ou z complexos vai ocorrer o complexo conjugado de p ou z respectivamente. • Aqui supomos que maior potência de s em A(s) é maior que a de B(s). • Se este não for o caso o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s) para resultar um polinômio em s mais um resto. • Uma razão entre polinômios em s cujo numerador é de grau menor que o denominador. 12/14/2021 4

Caso 1: Expansão em Frações Parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos • Neste caso F(s) pode ser sempre expandido em uma soma de simples frações parciais como segue: • Onde ak são constantes. • Aqui ak é chamado de resíduo no pólo s=-pk • O valor de ak pode ser achado multiplicando-se ambos os lados da equação acima por (s+pk) e fazendo-se s= -pk , resultando 12/14/2021 5

Caso 1: Expansão em Frações Parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos • Portanto o resíduo ak é achado de: 12/14/2021 6

Exemplo 1: Determine a TIL de • a 1 e a 2 são achados como segue: 12/14/2021 7

Exemplo 2: Determine a TIL de • Dividindo o numerador pelo denominador obtemos: • O terceiro termo do lado direito desta equação é F(s). • Observe que a TL da função impulso unitário (t) é 1 e a TL de d (t)/dt é s. • Obtemos então a TIL de G(s) como segue: 12/14/2021 8

Caso 2: Expansão em Frações Parciais quando F(s) apresenta pólos complexos conjugados • Se p 1 e p 2 são pólos complexos conjugados então a sequinte expansão pode ser usada: • Os valores de 1 e 2 são determinados multiplicando-se ambos os lados da equação acima por (s+p 1) (s+p 2) e fazendo-se s=-p 1, dando: 12/14/2021 9

Caso 2: Expansão em Frações Parciais quando F(s) apresenta pólos complexos conjugados • Vemos que todos os termos são cancelados com exceção do termo ( 1 s + 2). Portanto, • Igualando as partes reais de ambos os lados obtemos uma equação. • Assim como, igualando a parte imaginária de ambos os lados obteremos outra equação. • Dessas 2 equações é possível determinar 1 e 2. 12/14/2021 10

Exemplo 3: Determine a TIL de • F(s) pode ser expandida da seguinte forma: • Para determinar 1 e 2 , note que: • Multiplicando ambos os lados da equação por s 2+s+1 e impondo s=-0, 5 -j 0, 866, obtemos 12/14/2021 11

Continuação do Exemplo 3 • Que pode ser simplificado como visto a seguir: • Igualando as partes reais e imaginárias temos: 12/14/2021 12

Continuação do Exemplo 3 • Para determinar a, multiplicamos ambos os lados da equação por s e fazemos s=0: • Portanto a TIL de F(s) é f(t): 12/14/2021 13

Caso 3: Expansão em Frações Parciais quando F(s) apresenta múltiplos pólos • A expansão em frações parciais de F(s) é: 12/14/2021 14

Caso 3: Expansão em Frações Parciais quando F(s) apresenta múltiplos pólos • Onde br, br-1, . . . b 1, são dados por 12/14/2021 15

Exemplo 4 • Determine a TIL de • Expandindo F(s) em frações parciais obtemos: • Onde b 3, b 2 e b 1 são determinadas da seguinte forma: 12/14/2021 16

Exemplo 4 12/14/2021 17

Exemplo 4 • Portanto obtemos: 12/14/2021 18