Transformada de Fourier e Amostragem de Sinais Processamento

Transformada de Fourier e Amostragem de Sinais Processamento Digital de Sinais ©Lilian Bender Portugal

Definição x(t)=Acos( 0 t+ ) o A : amplitude o 0 : frequência em radianos o : fase o 0=2 f= 2 /T n

Relação entre Frequência e Período

Sinal Contínuo Sinal Discreto Sinais Discretos cujas frequências são separadas por um número inteiro múltiplo de 2 são idênticos, ou seja, aumentado-se o sinal em 2 ele volta a se repetir. e j (w + 2 ) n =e jwn . e j 2 n = e jwn

Sinal Discreto A maior taxa de oscilação de um sinal discreto é: A cos (wt + ) Para o módulo da amplitude ser máximo (wt + ) = 0

Representação Espectral q Frequências, amplitudes e fase variam com o tempo. q Exemplo voz, música q Espectro tempo x frequência

Problema è Para a representação no espectro da frequência, como podemos determinar os parâmetros de variação de tempo como Ak(t), fk(t), k(t)? Transformada de Fourier

Equações da Transformada de Fourier • Síntese • Análise 1 x (t ) = 2 p ( w )e dw X - ò X ( w ) = ò- x (t )e jwt - jwt dt

Interpretação da Transformada de Fourier Forma de Onda de - a + -T -2 +T -2 + -T -2 Função a transformar -T -6 +T -2

Diagrama que apresenta a amplitude e frequência de cada onda A 1/2 1/4 -3 -T -2 -T -1/4 -1/2 +2 -T +3 -T f

Representação 1: q Combinação q f 1=fc-f 1/2 de duas ondas: f 2=fc+ f , fc=( f 1+f 2)/2, f =( f 1 -f 2)/2 1/2 -fc -f 1 f 1/2 0 f 1 fc 1/2 f 2

Representação 2: Usando a representação de exponenciais complexas, podemos representar x(t) como sendo um produto de dois cossenos

Modelo Matemático xs (t) xc (t) +x Xc ( ) x[n] = xc [n. T] C/D X (ejw) Xs ( ) s (t) T S ( ) fs = 1 / T Freq. amostragem

xs (t) xc (t) +x Xc ( ) x[n] = xc [n. T] C/D Xs ( ) X (ejw) s (t) S ( ) T fs = 1 / T Como relacionar Xs ( ) e X (ejw) ? Sabe-se que: xs (t) = xc (t). s (t) + (1) xs (t) = xc (n. t). (t - n. t) n=- (2) Xs ( ) = { xs (t) } = + xs (t) e -j t dt -

Substituindo (1) em (2), tem-se que: + Xs ( ) = xc (nt). e-j Tn n=- COMO: x[n] = xc (nt) + E: X (ejw) = x [n]. e-jwn n=- Então: X(e j T) = 1 T + Xc ( - k s) n=-

Exercício 1: Represente o espectro do sinal abaixo: 4 e-j /2 -250 7 ej /3 -100 10 0 7 e-j /3 100 4 ej /2 250

Exercício 2: Represente o espectro do sinal 5/2 1 -f 2 -fc -f 1 1 0 1 fc f 2

Conversão Contínuo-Discreto q Amostragem de um sinal contínuo no tempo x(t) x[n]=x(n. Ts) - <n< q Um sinal discreto é representado matematicamente por uma sequência indexada de n C/D

Amostragem de Sinais q Amostragem q Frequência de um sinal normalizada em rad

Função triangular no intervalo -w 1 a w 1 Se replicarmos periodicamente com um período Então, não haverá sobreposição espectral

Mas se replicarmos o sinal periodicamente com período haverá sobreposição e esta soma destrói a transformada de Fourier Frequência de Nyquist --> limite / parâmetro

Teorema da Amostragem Um sinal x(t) contínuo com frequências não superiores a fmax podem ser reconstruídos em sua totalidade a partir de suas amostras x[n]=x(n. Ts), se as amostras forem tomadas a uma taxa fs=1/Ts (maior que 2 fmax). Se uma onda da frequência de Nyquist for amostrada em seu pico positivo, a próxima amostragem ocorrerá no pico negativo, ou seja, o sinal é amostrado duas vezes por ciclo.

Mudando a Taxa de Amostragem 1) Redução da Taxa (DECIMAÇÃO) 2) Aumento da Taxa (INTERPOLAÇÃO)

Decimação Pode ser realizada desde que o sinal permita (várias amostragens) x[n] M xd[n] = x[n. M] Se M=2 joga-se uma amostra fora Novo sinal depois da decimação

Interpolação Pode ser realizada desde que o sinal permita (várias amostragens) x[n] L PB Depois do filtro PB: L=4