Sistemas Lineares Prof Dr Cesar da Costa 4

Sistemas Lineares Prof. Dr. Cesar da Costa 4. a Aula: Transformada de Laplace (Parte 2)

A Transformada de Laplace (Revisão) q Etapas: . 1. Um problema difícil é transformado em uma equação simples (equação subsidiária) 2. Resolve-se a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas. 3. A resolução da equação subsidiária é transformada novamente para se obter a solução do problema dado (tabela)

Definição:

Solução:

Solução no MATLAB

Solução:

Solucao no MATLAB

A Transformada de Laplace (Revisão) q Algumas propriedades da Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace (Revisão) `Solução: (0)

A Transformada de Laplace (Revisão) Exemplo: Calcular a carga do Capacitor i Substituindo 2 em 1, temos: Solução: (3) (1) (2) Rearrumando a equacao 3: (4)

Solucao: Aplicando Laplace na equacao 4: (4) Rearrumando a equacao :

A Transformada de Inversa de Laplace q A idéia é encontrar : q A transformada inversa de Laplace, que permite obter f(t), a partir de F(s) e dada por:

A Transformada de Inversa de Laplace q A maneira prática de obter f(t) a partir de F(s) é utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace, resolução atraves de frações parciais e pelo MATLAB. 1. Tabelas de Transformada Inversa de Laplace

A Transformada de Inversa de Laplace

A Transformada de Inversa de Laplace

A Transformada de Inversa de Laplace 2. Resolução atraves de Frações Parciais v Nesse contexto, o método da decomposição em frações parciais permite, muitas vezes, transformar a representação F(s) de forma a permitir o uso da Tabela de Transformads e suas propriedades. 1. o Caso: F(s) tem polos distintos (1)

A Transformada de Inversa de Laplace § Na equação (1) r (indice 1, 2, …n) são constantes denominadas resíduos associados aos polos p. § Para determinação dos valores de r, pode-se somar as frações parciais e comparar o numerador resultante com o polinomio N(s), formando um sistema de equações lineares cujas incógnitas são os resíduos. § Para efeito de simplificação dos cálculos para obtenção dos resíduos, utiliza-se a fórmula a seguir:

Exercício 1: § Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função F(s): Solução:

Portanto: Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace: para

Exercício 2: Dada a função F(s). Determine f(t): Solução:

Então: Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace: para

Exercício 3: Dada a função F(s). Determine f(t):

Expansão em Frações parciais usando o MATLAB Considere a seguinte função: Para essa função, tem-se: num = [0 1 2 3] den = [1 3 3 1] O comando [r, p, k]=residue(num, den)

Representacao em frações parciais: r 1 -p 1 r 2 -p 2 r 3 -p 3

Transformada Inversa de Laplace usando o MATLAB Dada a função F(s). Determine f(t):

Transformada Inversa de Laplace usando o MATLAB Dada a função F(s). Determine f(t):

Dada a função F(s). Determine f(t):

Exemplo: Massa-mola (1)

Aplicando a transformada de Laplace (2) Aplicando propriedade da transformada de Laplace (3) (4) (5)

Achando a transformada inversa de Laplace – f(t)

Lista de Exercícios: § Calcule a transformada inversa de Laplace das seguintes funções F(s). 1. 2. 3. 4.