Transformada de Laplace Teoremas da Transformada de Laplace

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Transformada de Laplace Teoremas da Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Prof. André

Transformada de Laplace Teoremas da Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Prof. André Marcato Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA 1

Teorema da Derivação Real(1) Aula 3 2

Teorema da Derivação Real(1) Aula 3 2

Teorema da Derivação Real(2) Aula 3 3

Teorema da Derivação Real(2) Aula 3 3

Teorema da Derivação Real(demo) Aula 3 4

Teorema da Derivação Real(demo) Aula 3 4

Teorema da Derivação Real (extensão 1) Aula 3 5

Teorema da Derivação Real (extensão 1) Aula 3 5

Teorema da Derivação Real (extensão 2) Aula 3 6

Teorema da Derivação Real (extensão 2) Aula 3 6

Exemplo 2. 1 Aula 3 7

Exemplo 2. 1 Aula 3 7

Teorema do Valor Final Aula 3 8

Teorema do Valor Final Aula 3 8

Exemplo 2. 2 Aula 3 9

Exemplo 2. 2 Aula 3 9

Teorema do Valor Inicial É a contraparte do teorema do valor final. l Este

Teorema do Valor Inicial É a contraparte do teorema do valor final. l Este teorema não fornece o valor de f(t) em t=0, mas em um instante mínimo maior que zero. l Aula 3 10

Teorema da Integração Real(1) Aula 3 11

Teorema da Integração Real(1) Aula 3 11

Teorema da Integração Real(2) Aula 3 12

Teorema da Integração Real(2) Aula 3 12

Teorema da Integração Real(3) Aula 3 13

Teorema da Integração Real(3) Aula 3 13

Teorema da Derivada Complexa Aula 3 14

Teorema da Derivada Complexa Aula 3 14

Integral de Convolução(1) Aula 3 15

Integral de Convolução(1) Aula 3 15

Integral de Convolução(2) Aula 3 16

Integral de Convolução(2) Aula 3 16

Integral de Convolução(3) Aula 3 17

Integral de Convolução(3) Aula 3 17

Interpretação Gráfica (1) Aula 3 18

Interpretação Gráfica (1) Aula 3 18

Interpretação Gráfica (2) – Deslocamento para Direita Aula 3 19

Interpretação Gráfica (2) – Deslocamento para Direita Aula 3 19

Interpretação Gráfica (3) – Deslocamento para Esquerda Aula 3 20

Interpretação Gráfica (3) – Deslocamento para Esquerda Aula 3 20

Interpretação Gráfica (4) – Deslocamento para Esquerda t<-3 Aula 3 21

Interpretação Gráfica (4) – Deslocamento para Esquerda t<-3 Aula 3 21

Interpretação Gráfica (5) Aula 3 22

Interpretação Gráfica (5) Aula 3 22

Aplicação Importante l. A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta

Aplicação Importante l. A operação de convolução pode ser utilizada para encontrar a resposta de um sistema linear de equações diferenciais. A saída de um sistema linear pode ser dada pela convolução da entrada pela resposta ao impulso do sistema. l Entre outras… Aula 3 23

Transformada de Laplace do Produto de Duas Funções no Domínio de Tempo Aula 3

Transformada de Laplace do Produto de Duas Funções no Domínio de Tempo Aula 3 24

Propriedade da Transformada de Laplace(1) Aula 3 25

Propriedade da Transformada de Laplace(1) Aula 3 25

Propriedade da Transformada de Laplace(2) Aula 3 26

Propriedade da Transformada de Laplace(2) Aula 3 26

Propriedade da Transformada de Laplace(3) Aula 3 27

Propriedade da Transformada de Laplace(3) Aula 3 27

Transformada Inversa de Laplace l Integral de Inversão Devido a dificuldade de resolução analítica

Transformada Inversa de Laplace l Integral de Inversão Devido a dificuldade de resolução analítica desta integral, sua utilização não é recomendada para encontrar transformadas inversas de funções comumente encontradas na engenharia de controle. l Tabela de Transformadas l Outra solução: Expandir em frações parciais e escrever F(s) em termos de funções simples de s. l Aula 3 28

Método da Expansão para Determinação da Transformada Inversa de Laplace Na análise de sistemas

Método da Expansão para Determinação da Transformada Inversa de Laplace Na análise de sistemas de controle, F(s), a transformada de Laplace de f(t), apresenta-se frequentemente do seguinte modo: Onde A(s) e B(s) são polinômios de s. Na expansão em frações parciais é importante que a maior potência de s em A(s) seja maior que a maior potência de s em B(s). Caso contrário, o numerador B(s) deve ser dividido pelo denominador A(s). Aula 3 29

Expansão em Frações Parciais quando F(s) envolve somente pólos distintos Aula 3 30

Expansão em Frações Parciais quando F(s) envolve somente pólos distintos Aula 3 30

Cálculo de ak Aula 3 31

Cálculo de ak Aula 3 31

Resumo da Expansão em Frações Parciais Aula 3 32

Resumo da Expansão em Frações Parciais Aula 3 32

Exemplo 2. 3 Aula 3 33

Exemplo 2. 3 Aula 3 33

Exemplo 2. 4 Aula 3 34

Exemplo 2. 4 Aula 3 34

Exemplo 2. 5 Aula 3 35

Exemplo 2. 5 Aula 3 35

Exemplo 2. 5 (cont. ) Aula 3 36

Exemplo 2. 5 (cont. ) Aula 3 36

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(1) Aula 3 37

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(1) Aula 3 37

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(2) Aula 3 38

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(2) Aula 3 38

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(3) Aula 3 39

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(3) Aula 3 39

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(4) Aula 3 40

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(4) Aula 3 40

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(5) Aula 3 41

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(5) Aula 3 41

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(6) Aula 3 42

Expansão em Frações Parciais Quando F(s) inclui pólos múltiplos(6) Aula 3 42