La Transformada de Fourier Definicin de la transformada
- Slides: 74
La Transformada de Fourier Definición de la transformada de Fourier Propiedades de la transformada de Fourier La propiedad de convolución y multiplicación (modulación) Teorema de muestreo
La Transformada de Fourier Anteriormente se desarrolló una representación de señales periódicas como una combinación lineal de exponenciales complejas. Ahora, se extiende este concepto para aplicarlos a señales que no son periódicas. Como veremos más adelante, una clase bastante grande de señales, que incluyen a todas las señales con energía finita, también se puede representar mediante una combinación lineal de exponenciales complejas. Mientras que para las señales periódicas las exponenciales complejas que las constituyen están relacionadas armónicamente, para las señales aperiódicas están infinitesimalmente cercanas en frecuencia, y la representación en términos de una combinación lineal adopta la forma de una integral en lugar de una suma. El espectro de coeficientes resultante en esta representación se conoce como transformada de Fourier, y la integral de síntesis por sí misma, la cual usa estos coeficientes para representar la señal como una combinación lineal de exponenciales complejas, se llama la transformada inversa de Fourier. El desarrollo de esta representación para las señales aperiódicas continuas es una de las contribuciones más importantes de Fourier, y nuestro desarrollo de la transformada de Fourier es muy similar al que él usó en su trabajo original. En particular, Fourier razonó que una señal aperiódica puede considerarse como una señal periódica con un periodo infinito. De manera más precisa, en la representación en serie de Fourier de una señal periódica, conforme el periodo se incrementa, la frecuencia fundamental disminuye y las componentes relacionadas armónicamente se hacen más cercanas en frecuencia. A medida que el periodo se hace infinito, las componentes de frecuencia adoptan un comportamiento continuo y la suma de la serie de Fourier se convierte en una integral.
La Transformada de Fourier Representación de Señales Aperiódicas: La Transformada Continua de Fourier Desarrollo de la representación de la transformada de Fourier de una señal aperiódica Para tener una idea sobre la naturaleza de la representación de la transformada de Fourier, comenzaremos por revisar la representación de la serie de Fourier para una onda cuadrada periódica continua, la cual se analizó en el ejemplo 3. 5. Específicamente, sobre un periodo, y se repite periódicamente con periodo T, como se muestra en la figura 4. 1.
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier Ejemplos de transformadas de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
La Transformada de Fourier Propiedades de la Transformada Continua de Fourier y Pares Básicos Ahora consideraremos varias propiedades de la transformada de Fourier. En la tab. Ia 4. 1 proporcionamos un listado detallado de estas propiedades. Al igual que en el caso de la representación en serie de Fourier de señales periódicas, estas propiedades nos proporcionan un gran conocimiento acerca de la transformada y de la relación que existe entre las descripciones de una señal en los dominios del tiempo y de la frecuencia. Además, muchas de estas propiedades son a menudo útiles para reducir la complejidad en la evaluación de las transformadas o de las transformadas inversas de Fourier. Más aún, como se describió anteriormente, existe una relación muy estrecha entre las representaciones de la serie de Fourier y de la transformada de Fourier de una señal periódica, y usando esta relación es posible trasladar muchas de las propiedades de las transformadas de Fourier hacia las propiedades correspondientes de las series de Fourier. En el libro de texto de este curso, “Señales y Sistemas”, Oppenheim y Willsky, 2 da Edición, Pearson. Prentice Hall, se presenta la demostración matemática de estas propiedades. En clase, por restricciones de tiempo, obviaremos la mayoría de estas demostraciones para concentrarnos en algunas cuantas propiedades que se consideran pertinentes para los fines del presente curso. Sin embargo, se le hace saber al estudiante la importancia de estudiar todas las demostraciones de las propiedades de la transformada de Fourier. En la tabla 4. 2 se presentan algunos pares básicos de transformadas de Fourier.
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier Relación de Parseval Si x(t) y X(jω) son un par de transformadas de Fourier, entonces Esta expresión, conocida como relación de Parseval, se deduce de la aplicación directa de la transformada de Fourier. Específicamente, Invirtiendo el orden de integración nos da Pero el término dentro de los corchetes es simplemente la transformada de Fourier de x(t); por tanto,
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier La Propiedad de Convolución Como ya se vio, si una señal periódica se representa en una serie de Fourier, es decir, como una combinación lineal de exponenciales armónicamente relacionadas, entonces la respuesta de un sistema LTI a esta entrada también se puede representar mediante una serie de Fourier. Debido a que las exponenciales complejas son funciones propias de los sistema LTI, los coeficientes de la serie de Fourier de la salida son los mismos de la entrada multiplicados por la respuesta en frecuencia del sistema evaluados a las frecuencias armónicas correspondientes. Extendemos este resultado a la situación en la cual las señales son aperiódicas. Primero, deducimos la propiedad de una manera un tanto informal, basándonos en el conocimiento que obtuvimos para las señales periódicas, y después proporcionamos una deducción breve pero formal, partiendo directamente de la integral de convolución. Aquí es necesario recordar nuestra interpretación de la ecuación de síntesis de la transformada de Fourier como una expresión para x(t) como una combinación lineal de exponenciales complejas. En concreto, remitiéndonos a la ecuación (4. 7), x(t) está expresada como el límite de una suma; esto es
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier • La ecuación (4. 56) es de gran importancia en el análisis de señales y sistemas. Como esta ecuación expresa, la transformada de Fourier mapea la convolución de dos señales en el producto de sus transformadas de Fourier. H(jω), la transformada de Fourier de la respuesta al impulso, es la respuesta en frecuencia como se definió anteriormente y captura el cambio en la amplitud compleja de la transformada de Fourier de la entrada a cada frecuencia ω. Por ejemplo, el filtrado selectivo de frecuencias podemos desear tener H(jω) ≈ 1 sobre un intervalo de frecuencias, de manera que las componentes de frecuencia en esta banda experimenten poca o ninguna atenuación o cambio debido al sistema, mientras que en otros intervalos de frecuencia podríamos desear tener H(jω) ≈ 0, de manera que las componentes en este intervalo sean eliminadas o atenuadas de forma significativa.
La Transformada de Fourier La respuesta en frecuencia H(jω) juega un importante papel en el análisis de los sistema LTI, lo mismo que su transformada inversa, la respuesta al impulso unitario. Por una parte, debido a que h(t) caracteriza por completo un sistema LTI, entonces también lo debe hacer H(jω). Además, muchas de las propiedades de los sistemas LTI se pueden interpretar de manera conveniente en términos de H(jω). Por ejemplo, anteriormente vimos que la respuesta al impulso de la conexión en cascada de dos sistemas LTI es la convolución de las respuestas al impulso de los sistemas individuales y que la respuesta al impulso total no depende del orden en el cual los sistemas en cascada están conectados. Usando la ecuación (4. 56), podemos replantear esto en términos de las respuestas en frecuencia. Como se ilustra en la figura 4. 19, puesto que la respuesta al impulso de la conexión en cascada de dos sistemas LTI es la convolución de las respuestas individuales al impulso, la propiedad de convolución implica entonces que la respuesta en frecuencia total de la conexión en cascada de dos sistemas es simplemente el producto de las respuestas en frecuencia individuales. A partir de esta observación, resulta claro que la respuesta total en frecuencia no depende del orden de la conexión en cascada.
La Transformada de Fourier Como ya se analizó, la convergencia de la transformada de Fourier se garantiza sólo bajo ciertas condiciones, y en consecuencia, la respuesta en frecuencia no se puede definir para todo sistema LTI. Sin embargo, si un sistema LTI es estable, entonces, como vimos, su respuesta al impulso es absolutamente integrable; esto es, La ecuación (4. 57) es una de las tres condiciones de Dirichlet que en conjunto garantizan la existencia de la transformada de Fourier H(jω) o de h(t). Por tanto, suponiendo que h(t) satisface las otras dos condiciones, como en esencia lo hacen todas las señales de importancia física o práctica, podemos ver que un sistema LTI estable tiene una respuesta en frecuencia H(jω). Al usar el análisis de Fourier para estudiar los sistemas LTI, nos estaremos restringiendo a sistemas cuyas respuestas al impulso posean transformadas de Fourier. Con el objeto de utilizar las técnicas de la transformada para examinar sistemas LTI inestables, desarrollaremos una generalización de la transformada continua de Fourier, la transformada de Laplace.
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier Del ejemplo 4. 18, podemos empezar a ver algunos de los detalles que surgen al diseñar filtros que involucran aspectos tanto del dominio del tiempo como de la frecuencia. En particular, mientras que el filtro paso bajas ideal presenta selectividad perfecta de frecuencia, su respuesta al impulso muestra algunas características que pueden no ser deseables. Primero, observe que h(t) no es cero para t < 0. En consecuencia, el filtro ideal paso bajas no es causal y, por tanto, en aplicaciones en que se requieren sistemas causales, el filtro ideal no es una opción. Además, aun si la causalidad no fuese una restricción esencial, no es fácil aproximarse mucho al filtro ideal, por lo que en general se prefieren los filtros no ideales que se construyen más fácilmente. Además, en algunas aplicaciones (como el sistema de suspensión de un automóvil), el comportamiento oscilatorio en la respuesta al impulso de un filtro paso bajas puede ser no deseado. En aplicaciones como ésta, las características en el dominio del tiempo del filtro paso bajas ideal, como se muestra en la figura 4. 21, pueden no ser aceptables, lo cual implica que se podría necesitar de un intercambio entre las características en el dominio de la frecuencia, como la selectividad ideal de frecuencia, y las propiedades en el dominio del tiempo. Por ejemplo, considere un sistema LTI con respuesta al impulso La respuesta en frecuencia de este sistema es
La Transformada de Fourier Este sistema se puede construir con el sencillo circuito RC analizado anteriormente y que se presenta a continuación: La respuesta al impulso y la magnitud de la respuesta en frecuencia se muestran en la figura 4. 22. Si bien el sistema no tiene la fuerte selectividad en frecuencia del filtro paso bajas ideal, es causal y tiene una respuesta al impulso que decae en forma monótona, es decir, sin oscilaciones. Este filtro, o algunos un poco más complejos, que corresponden a ecuaciones diferenciales de mayor orden a menudo se prefieren a los filtros ideales, debido a su causalidad, su facilidad de construcción y flexibilidad en los compromisos, entre otras consideraciones de diseño tales como la selectividad de frecuencia y el comportamiento oscilatorio en el dominio del tiempo.
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier La Propiedad de Multiplicación o Modulación La propiedad de convolución establece que la convolución en el dominio del tiempo corresponde a la multiplicación en el dominio de la frecuencia. Debido a la dualidad entre los dominios del tiempo y la frecuencia, esperaríamos que también se satisficiera una propiedad dual de la convolución (es decir, que la multiplicación en el dominio del tiempo corresponda a la convolución en el dominio de la frecuencia). Específicamente, Esto puede demostrarse mediante el uso de las relaciones de dualidad analizadas anteriormente junto con la propiedad de convolución, o directamente usando las relaciones de la transformada de Fourier de una manera análoga al procedimiento utilizado en la deducción de la propiedad de convolución. La multiplicación de una señal por otra puede considerarse como el empleo de una señal para escalar o modular la amplitud de otra, y en consecuencia, a la multiplicación de las dos señales a menudo se le menciona como la modulación en amplitud. Por esta razón, la ecuación (4. 70) se conoce también como la propiedad de modulación. Esta propiedad tiene varias aplicaciones muy importantes.
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier Teorema de Muestreo En general, no deberíamos esperar que, en la ausencia de cualquier condición o información adicionales, una señal pudiera ser especificada unívocamente por una secuencia de muestras igualmente espaciadas. Por ejemplo, en la figura 7. 1 mostramos tres diferentes señales continuas, las cuales tienen valores idénticos en múltiplos enteros de T; esto es,
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier •
La Transformada de Fourier
La Transformada de Fourier
REFERENCIA
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier
Representación de Señales Periódicas con Series de Fourier