TRANSFORMADA DE LAPLACE Aula Terica Semana 6 632021

TRANSFORMADA DE LAPLACE Aula Teórica – Semana 6 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 1

A Transformada de Laplace • Vimos que para sinais de entrada x(t)=est, é relativamente fácil de calcular os sinais de saída correspondentes. • Quando derivamos este sinal, o escalar , resultado da derivada, não é, na maioria das vezes um valor inteiro numa dada freqüência porém pode ser representado por sobreposições de sinais em diferentes freqüências. • Existe uma forma, por outro lado, onde qualquer sinal x(t) é representado pela sobreposição de funções est, com diferentes freqüências. • A resposta de um sistema LTI pode ser facilmente determinada, e então com a propriedade de sobreposição, a resposta ao sinal pode ser obtida. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 2

A Transformada de Laplace • A idéia é analisar um sinal quando seus componentes individuais já são familiares dos sinais da série de Fourier, pois sinais periódicos podem ser representados como uma combinação de oscilações harmônicas. • Suas freqüências devem ser múltiplos inteiros da freqüência fundamental que representa o sinal periódico, e a combinação destas freqüências é obtida por somatório. • Nós não estamos restritos a sinais periódicos, portanto nós devemos permitir a análise de funções de transferência com qualquer freqüência. • A sobreposição então consiste de uma integral sobre as freqüências possíveis. • Esta idéia pode ser colocada em prática de várias formas, e leva as tranformadas de Laplace (TL) e de Fourier (TF). 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 3

Definição de Transformada de Laplace • Para podermos representar um sinal x(t) como uma sobreposição de partes individuais, duas ferramentas matemáticas são requeridas para: – A decomposição do sinal x(t) em partes; – A sobreposição das partes do sinal completo x(t). • A formulação matemática da decompisição leva a definição da Transformada de Laplace. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 4

Definição de Transformada de Laplace • A TL de uma função f(t), t R é definida por: • A função complexa F(s) é chamada TL de x(t). 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 5

• Para reconstruir x(t) a partir de seus termos individuais, a operação reversa para a TL deve ser usada: 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 6

Exemplo 1: Função Exponencial • Considere o sinal onde é real. • Determinar a Transformada de Laplace de x(t). • Porque o somente se ou 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 7

Região de Convergencia • O valor limite da função exponencial para t somente existe se a parte real da função exponencial é negativa, isto é, para os valores de s onde Re{s} > -a. • Para todos os outros valores de s a integral não converge e é dito que a TL não existe. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 8

Exercício 2: Função Exponencial • No segundo exemplo nós consideremos um sinal exponencial que desaparece para t< 0. • Considere o sinal onde é real. Determinar a Transformada de Laplace de x(t). • E obtemos 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 9

Região de Convergencia • Podemos verificar que funções diferentes podem ter a mesma TL, e o mesmo pólo a, porém as regiões de convergência é que serão diferentes. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 10

Exemplo 3: Exponencial Dupla • Determinar a TL de • A TL X(s) tem 2 pólos em s=-1 e s=-2 • • Como X(s) sómente existe se ambas as partes convergem, o pólo com a maior parte real determina a região de convergencia. A ROC fica a direita do pólo mais a direita. ( A ROC não contém qualquer pólo). 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 11

Exemplo 4: TL de uma função pulso • f(t)=A=constante para 0<t<t 0 t > t 0 • f(t)=0 para t<0 e • f(t)=A. u(t) – A. u(t-t 0) • Uso da propriedade do deslocamento, X(s). e-st 0 • f(t)=A/s – A/s. e-st 0 • f(t)=A/s(1 – e-st 0 ) 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 12

Exemplo 5: A TL do Impulso Unitário • Determinar a TL do impulso unitário (t). • Para todo s. A função impulso é o caso especial de uma função pulso. f(t)=limt 0 ->0 A/t 0 para 0<t<t 0 e f(t)=0 para t<0 e t>t 0 £[f(t)]= limt 0 ->0 A/s. t 0. (1 – e-st 0 ) = lim t 0 ->0 d/dt 0[Ax(1 – e-st 0 )] / d(t 0 s) = As/s = A neste caso A=1. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 13

Exemplo 6: A TL do Degrau Unitário • Determinar a TL do degrau unitário u(t). 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 14

Exemplo-7: Função Rampa. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 15

Exemplo 8: T. L. de uma função senoidal f(t)= 0 para t < 0 f(t)= A. sen ωt para t ≥ 0, sejam A e ω constantes. uma vez que ejωt = cos ωt + j. sen ωt e-jωt = cos ωt - j. sen ωt 2 j. sen ωt = ejωt – e-jωt obtemos sen(ωt) = (1/2 j)( ejωt – e-jωt) 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 16

Exemplo 8: T. L. de uma função senoidal portanto: = (A/2 j)[1/(s-jω)] -(A/2 j)[1/(s+jω)] = A. 2 j[(s+jω) – (s-jω)] 2 j(s² + sjω- sjω –j²ω²) = A. 2 j [0+2 jω]/2 j[s²+ω²] = Aω/(s²+ω²) f(t)= A. sen(ωt) F(s) = Aω/(s²+ω²) 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 17

Exemplo 9: T. L. de uma função cosseno • Pode ser obtida de forma análoga ao visto para a função seno. • f(t)= A. cos(ωt) F(s) = As/(s²+ω²) 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 18

Tabela 4. 1: Pares de Transformadas 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 19

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Propriedades das TL • 1) Linearidade • 2) Deslocamento no Tempo. • 3) Deslocamento no Domínio de s. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 21

Propriedades das TL • 4)Mudança de Escala de Tempo • 5)Tempo Negativo 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 22

Propriedades das TL • 6) Diferenciação no domínio do Tempo • 7) Diferenciação no domínio de s 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 23

Propriedades das TL • 8) Integração no domínio do Tempo • 9) Convolução 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 24

Propriedades das Transformadas de Laplace 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 25

Exercícios 1) Determine as TL e a ROC das seguintes funções: 2) Calcule as TL e a ROC dos seguintes sinais, usando a Tabela 1. 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 26

Tabela 1 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 27

Resposta-1 • 1(a) • 1(b) 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 28

Resposta 2 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 29

Resposta 2 6/3/2021 PC - Aula Teórica 6 - RCBETINI 30