Tcnicas de Processamento Imagens Fourier 1 D e

Técnicas de Processamento Imagens Fourier 1 D e 2 D Material melhorado pelo prof. Ricardo J. Ferrari

Agenda n n Motivação / Introdução Revisão de conceitos matemáticos Série de Fourier Transformada de Fourier – 1 D & 2 D – Contínua & discreta n Principais propriedades

Motivação n Sinais são interpretados pelos nossos sentidos e enviados para o nosso sistema nervoso – percepção cor & sons n Sinais são representados por funções que se caracterizam pela sua freqüência (cor vermelha, verde, azul; sons graves/agudos) n Bom começo para analisar tais funções é o estudo de sua freqüência

O que é freqüência de uma função ? n Fácil de ser entendido no caso de funções periódicas n A = amplitude da função (valores max e min assumidos) = indica o número de ciclos completos de período existentes no intervalo [0, 1] n

O que é freqüência de uma função ? a b

O que é freqüência de uma função ? Qual a região contém mais componentes de alta freqüência ?

Objetivos desta aula n n Entender os princípios mais importantes da transformada de Fourier Contextualização em imagens. Exemplos:

Introdução n n Matemático francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 -1830) Teoria publicada em 1822 n Qualquer função periódica pode ser representada como uma soma de senos e/ou cossenos de diferentes frequencias, cada uma multiplicada por um coef. diferente (Série de Fourier) n Funções não periódicas (porém tendo um valor finito de área sob a curva) podem também ser representadas por integrais de senos e/ou cossenos multiplicadas por uma função peso (Transformada de Fourier) n Ambas representações podem ser reconstruídas completamente por um processo inverso sem perda de informação

Introdução: Representação de sinais complexos

Série de Fourier Resta achar uma forma de calcular os coeficientes Site interessante: www. fourier-series. com

Série de Fourier – Valores médios de uma função S=AY <Y> = (S 1 -S 2)/A = 0

Série de Fourier – Calculando coeficientes f(x) = a 0+ a 1 sen(x) +a 2 sen(2 x) +a 3 sen(3 x)+. . . + b 1 cos(x) + b 2 cos(2 x) +. . . Vamos calcular a 3. Multiplicando os dois lados por sem(3 x) f(x)sen(3 x) = a 0 sen(3 x) + a 1 sen(x) sen(3 x) + a 2 sen(2 x) sen(3 x) + a 3 sen 2(3 x) +. . . + b 1 cos(x) sen(3 x)+. . . Tomando as médias de cada termo da equação: ) < f(x)sen(3 x) > = < a 0 sen(3 x) > + < a 1 sen(x) sen(3 x) > +< a 2 sen(2 x) sen(3 x) > + < a 3 sen 2(3 x) > +. . . + < b 1 cos(x) sen(3 x) > +. . . a 0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = a 0+ a 1 sen(x) +a 2 sen(2 x) +a 3 sen(3 x)+. . . + b 1 cos(x) + b 2 cos(2 x) +. . . a 0 = < f(x) > = média de f(x). an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx). f(x) = 1 (de 0 a ) f(x) = 0 (de a 2) a 0 = 1/2

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada a 1 = 2 < f(x) sen(x) > = 2/π a 2 = 0 a 3 = 2 < f(x) sen(3 x) > = 2/3π a 0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR; an = 2/n π - para todo n ÍMPAR.

Série de Fourier – Exemplo Onda Quadrada f(x) = 1/2 + (2/ π) sen(x) + (2/(3 π)) sen(3 x) + (2/(5 π)) sen(5 x) + (2/(7 π)) sen(7 x) +. . . Onda quadrada: 5 termos Onda quadrada: 15 termos

Definições matemáticas importantes n Número complexo n Conjugado complexo n Módulo n Fase

Definições matemáticas importantes n Fórmula de Euler n Função impulso (delta de Dirac) Interpretação física: pulse de amplitude infinita e duração zero

Definições matemáticas importantes n Função impulso (propriedades) 1/a -a/2

Definições matemáticas importantes n Função impulso : Propriedade Sift A 1/a -a/2

Definições matemáticas importantes n Trem de impulsos

Série de Fourier

Série de Fourier n f(x) é periódica de período T se – f(x) = f(x +n. T), para qualquer n inteiro e positivo n Seja f(x) uma função periódica de período 2 n. A série de Fourier para esta função é dada como: – n Observe que b 0 não é indicado pois

Série de Fourier n Casos particulares – f(x) = função par, isto é, f(-x) = f(x), então os coeficientes bk são nulos – f(x) = função ímpar, isto é, f(-x) = -f(x), então os coeficientes ak são nulos

Série de Fourier n n n Na prática utiliza-se um número finito de componentes (sin/cos) para a representação das funções Ex. : representação de uma onda quadrada Com apenas 5 componentes já se consegue uma boa approximação

‘Série de Fourier

Série de Fourier n 1 a. componente: constante. Se não existisse (se fosse nula), o sinal estaria centrado no zero do eixo y. Em Eng. Elétrica esse termo corresponderia a componente de corrente contínua. n 2 a. componente: (4 sinx) tem o mesmo período ( Portanto, é chamado de oscilação fundamental n As demais parcelas correspondem as oscilações harmônicas do sinal n Os coeficientes ak e bk são, na realidade, as amplitudes de cada harmônico ) do sinal.

Transformada de Fourier (sinal contínuo 1 D)

Transformada de Fourier (sinal contínuo) – Onde s é a função no espectro e t no tempo n Inversa Observe que estamos trabalhando com números complexos!!!

Transformada de Fourier n Nota 1) A FT existe se f(t) for contínua e integrável e F(s) for integrável. Essas duas condições são quase sempre satisfeitas na prática n Nota 2) da linearidade da integral, segue que a FT também é um operador linear, ou seja, FT(f+g) = FT(f) + FT(g) ; FT( f) = FT(f)

Transformada de Fourier n Como conseqüência da Nota 3, - teorema de Plancherel A energia da função é preservada na transformação.

Transformada de Fourier

Transformada de Fourier

Exemplos:

Onda quadrada - Pulso

Algumas propriedades da FT n Linearidade x(t) + y(t) X(f) + Y(f)

Deslocamentos no tempo e na freqüência n Deslocamentos no tempo (fase) h(t-t 0) H( f )e-j 2 ft 0

Deslocamentos causam mudança apenas na fase e não na mag.

Deslocamento na freqüência h(t) ej 2 f 0 H( f -f 0)

Convolução n Uma das propriedades mais importante da FT h(t) H( f ) e g(t) (h*g)(t) H( f )G( f ) h(t)g(t) (H * G)( f ) G( f )

Convolução

Conservação da energia n Teorema de Parseval

Amplitude e Fase n O espaço FT pode ser visualizado diretamente através das suas componentes (real e imaginária) n Ou através da fase e amplitude do spectro

Calculando a fase e a amplitude n Amplitude é determinada pelo módulo: – seja z um número complexo definido como: z = x + yi – z = |z| = x 2 + y 2 – | H(f) | = Re[H(f)]2 + Im[H(f)]2 n Fase é dada por:

Transformada de Fourier (sinal contínuo 2 D)

Transformada de Fourier 2 D n O par de transformada de Fourier para função f(x, y) de duas variáveis:

Transformada de Fourier 2 D

Transformada Discreta de Fourier 1 D-DFT

Transformada Discreta de Fourier n A função contínua f(x) é discretizada numa seqüência:

Transformada Discreta de Fourier n Onde t assume valores discretos (0, 1, 2, …, N-1), então n A seqüência {f(0}, f(1), f(2), …, f(N-1)} denota qualquer amostragem de N valores uniformemente espaçados de uma função contínua correspondente

Transformada Discreta de Fourier n O par de transformadas discretas de Fourier que se aplica a funções amostradas é dado por:

Transformada Discreta de Fourier n Para calcular F(u), substituímos u=0 no termo exponencial e somamos para todos os valores de t n Repetimos para todos os N valores de u n Teremos então Nx. N adições e multiplicações. Então a complexidade computacional é de ordem O(N 2)

DFT - shifting n Quando realizado a DFT de uma onda quadrada obtemos: Observe houve um deslocamento

DFT – shifting, (fftshift-matlab) n n n A FT é centralizada na origem, mas a DFT é centralizada em N/2 É necessário realizar um deslocamento para corrigir o resultado.

DFT – shifting, (fftshift-matlab) n Lembrando que: e fazendo h(t) ej 2 u 0 H(f -u 0)

DFT – shifting, (fftshift-matlab)

Transformada Discreta de Fourier 2 D-DFT

Transformada Discreta de Fourier n No caso de duas variáveis, o par DFT é:

Transformada Discreta de Fourier n A amostragem de uma função contínua agora é feita em uma grade bidimensional, com divisões de largura x e y nos eixos x e y, respectivamente n Como no caso unidimensional, a função discreta f(x, y) representa amostras da função para x = 0, 1, 2, …, M-1 e y = 0, 1, 2, …, N-1

Trem de pulso usado para amostragem puntual

Aliasing fenômeno em imagem

Ajuste da escala dinâmica do espectro de Fourier

Algoritmo 2 D de 1 D Matriz A Matriz Separar em linhas Separar em colunas FFT 1 D para cada linha Compor linhas em matriz FFT 2 D de A FFT 1 D para cada coluna

Amplitude e Fase |F(u, v)| amplitude fase original F(u, v)

DFT aplicada na detecção de defeitos SEM = Scanning Electron Microscope

Transformada de Fourier discreta - 2 D

Propriedades DFT - Translação

Propriedades DFT - Translação |F(u, v)| F(u, v)

Rotação

Combinação Linear (soma) + + = =

Expansão

Relação de freqüência espaço/espectro

Alguns pares. . .

Combinando Amplitude e Fase As funções complexas podem ser decompostas em suas magnitudes e fases. f(t) pode ser escrita: Do mesmo modo, f(t) = Mag{f(t)} exp[ i Phase{f(t)}] F(w) = Mag{F(w)} exp[ i Phase{F(w)}] Com estas propriedades podemos combinar a amplitude e a fases em imagens.

Combinando Amplitude e Fase Rick Linda Pictures reconstructed using the Fourier phase of another picture Mag{Linda} Phase{Rick} Mag{Rick} Phase{Linda} The phase of the Fourier transform is much more important than the magnitude in reconstructing an image.

Próxima aula: Filtragem no domínio da freqüência

Bibliografia n Digital Image Processing, 3 rd. Edition, Rafael C. Gonzalez, Richard E. Woods, 2008 n Digital Image Processing, Kenneth R. Castleman, 1996 n 21 o. Colóquio Brasileiro de Matemática, Wavelets: Teoria, Software e Aplicações, Jonas Gomes, Luiz Velho, Siome Goldenstein, 1997