TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof Marcelo de Oliveira Rosa

TRANSFORMADA DE LAPLACE Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Transformada de Laplace Análise de comportamento de sistemas � Extensão natural da transformada de Fourier � Novo domínio � s = σ + jΩ � Transformada Autofunção de Fourier de senóides/cossenóides � Transformada de Laplace Autofunção de exponenciais complexas

Transformada de Laplace Autofunção e autovalor � Convoluindo x(t) com um sistema LTI h(t)

Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier � e-σt é um fator de convergência Usado para lidar com sinais descontínuos em FT Lembrar fator de convergência é e-|σ|t Deve-se aplicar o limite σ� zero � Quando σ = zero, zero temos a FT de x(t)

Transformada de Laplace Definição �A partir da definição da FT Em que situações as integrais convergem?

Transformada de Laplace Região de convergência (ROC) � Define a existência da integral envolvida na transformada de Laplace no plano s Quais os valores de s que garantem existência de X(s) � Convergência Considere absoluta que |ejΩt|=1 para todo t

Transformada de Laplace Exemplos � Lembrando Funções de duração finita sempre convergem ROC = todo o plano s

Transformada de Laplace Relação com Transformada de Fourier � Se ROC de X(s) contém {σ = zero} x(t) possui FT

Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace � Restrição de funções nulas para t<zero t=0 - � X(s) considera o comportamento de x(t) em t=0 ROC sempre estará a direita de todos os pólos finitos de X(s) �x(t) é causal

Transformada de Laplace Transformada unilateral de Laplace � Exemplos

Transformada de Laplace Propriedades � Linearidade

Transformada de Laplace Propriedades � Deslocamento tempo t 0>0 para garantir causalidade de y(t) � Deslocamento em s

Transformada de Laplace Propriedades � Escala no tempo a>0 para garantir causalidade de x(t) � Escala em s

Transformada de Laplace Propriedades � Modulação � Convolução

Transformada de Laplace Propriedades � Diferenciação Para o caso de TL bilateral:

Transformada de Laplace Propriedades � Diferenciação sucessiva Para o caso de TL bilateral:

Transformada de Laplace Propriedades � Diferenciação complexa � Integração

Transformada de Laplace Propriedades � Teorema do valor inicial � Teorema do valor final Desde que todos os pólos de s. X(s) localizem-se no semiplano esquerdo do plano s �garantia de convergência

Transformada de Laplace Frações parciais � Representação � Fatorando dos sinais por funções racionais de s o denominador �raízes de G(s) Determinação dos pólos de G(s)

Transformada de Laplace Frações parciais � Fatorando o denominador �raízes de G(s) Determinação Esta dos pólos de G(s) forma de G(s) depende de N>M Ordem do denominador > ordem do numerador Questões: Como encontrar pi? Como encontrar Ki?

Transformada de Laplace Frações parciais � Para pólos pi, sem repetição Multiplicidade unitária - 1 � No tempo, temos:

Transformada de Laplace Frações parciais � Para pólos pi, com m repetições Multiplicidade m Para j=1, 2, . . . , m

Transformada de Laplace Frações parciais � Para pólos pi, com m repetições Multiplicidade m � No tempo, temos:

Transformada de Laplace Frações parciais �O que fazer quando ordem do numerador é maior ou igual à ordem do denominador (N≥M)? Divisão de polinômios Quociente �funções descontínuas no tempo Resto/Denominador �método das frações parciais G(s) = Quociente(s) + Resto(s) / Denominador(s)

Transformada de Laplace Frações parciais � Exemplos