Tema 4 Sistema de partculas y slido rgido

Tema 4 – Sistema de partículas y sólido rígido. 4. 1. - Definición y clasificación de sistemas de partículas. 4. 2. - Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. 4. 3. - Momento angular de un sistema de partículas. Variación temporal del momento angular. 4. 4. - Momento angular interno y orbital. 4. 5. - Cinemática del sólido rígido. 4. 6. - Movimiento de traslación de un sólido rígido. 4. 7. - Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. 4. 8. - Movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido. Movimiento de rodadura. 4. 9. - Movimiento giroscópico. 4. 10. - Condiciones de equilibrio. 4. 11. - Energía cinética de un sistema de partículas. 4. 12. - Energía propia, energía total y energía interna de un sistema de partículas. 4. 13. - Energía cinética de un sólido rígido. 4. 14. - Energía total de un sólido rígido. 4. 15. - Colisiones. Bibliografía: Título: Física. Aut. : M. Alonso, E. J. Finn Ed. : Addison-Wesley Año: 1995. Temas: 13 y 14. Título: Guía para un curso de Física General-Mecánica I. Aut. : P. Martel Escobar. Ed. : Servicio de reprografía de la ULPGC. Año: 1994. Temas: 4 y 5. 1

4. 1 – Definición y clasificación de los sistemas de partículas. • ¿Qué es un sistema de partículas? Modelo más complejo que el de la partícula. Considera los objetos como agregados de partículas que interaccionan. Se usa cuando el modelo de partícula no es adecuado y considera las dimensiones del objeto en estudio. • Clasificación de los sistemas de partículas. Discretos nº finito de partículas Continuos distribución continua de materia Deformables Cambia distancia Rígidos No cambia Deformables Cambia forma Rígidos No cambia 2

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. • Centro de masa (CM) Para un sistema de partículas discreto el CM es un punto cuya posición, velocidad y aceleración vienen dadas por • Se puede colocar un sistema de referencia en el CM llamado sistema C (SC), distinto del sistema inercial donde se encuentra el observador que se llama sistema laboratorio o sistema L (SL). SC SL 3

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. • Para un sistema de partículas continuo la posición, velocidad y aceleración del CM vienen dadas por Centro de masa de algunos sistemas de partículas continuos 4

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. • Momento lineal de un sistema de partículas Para un sistema de partículas discreto se define el momento lineal del sistema como Como • Para un sistema de referencia colocado en el CM del sistema de partículas (sistema C) el CM está en reposo (su velocidad es nula). Por tanto en relación con el sistema C el momento lineal del sistema es nulo. Para sistema C Sistema de referencia de momento nulo 5

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. • Fuerzas internas y fuerzas externas • Sistema S S’ Fuerzas externas Fuerzas internas S • Fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema S • Para el sistema S se puede demostrar que Como • Si el sistema S se encuentra aislado El CM de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema y estuviera sujeto a la fuerza externa resultante. El CM de un sistema de partículas aislados se mueve con velocidad constante en relación con cualquier sistema de referencia inercial. 6

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. Trayectoria del CM de un sistema de partículas aislado Trayectoria del CM de sistemas de partículas sometido a fuerzas externas 7

4. 3 – Momento angular de un sistema de partículas. • Para un sistema de dos partículas el momento angular del sistema respecto de un punto O se define como • Y el momento de las fuerzas externas respecto de un punto O se define como • Para el sistema de partículas se puede demostrar que • Si no hay fuerzas externas, o la suma de sus momentos respecto al punto O es nula, entonces 8

4. 4 – Momento angular interno y orbital. • Se define el momento angular interno de un sistema de partículas como el momento angular total calculado con respecto al CM o sistema C • Se define el momento angular orbital de un sistema de partículas como el momento angular del CM calculado con respecto a O o sistema L • Para el sistema de partículas se puede demostrar que • También se puede demostrar que 9

4. 4 – Momento angular interno y orbital. Momentos angulares interno y orbital de algunos sistemas de partículas Una pelota La Tierra Un electrón en un átomo 10

4. 5 – Cinemática del sólido rígido. • Un sólido rígido puede presentar los siguientes movimientos • Movimiento de traslación Todas las partículas describen trayectorias paralelas. En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad y aceleración. • Movimiento de rotación (alrededor de un eje) Todas las partículas describen trayectorias circulares alrededor de una línea llamada eje de rotación. En un instante dado todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad y aceleración angular. 11

4. 5 – Cinemática del sólido rígido. • Movimiento general Este movimiento siempre puede considerarse como una combinación de una traslación y una rotación. Rotación Traslación 12

4. 6 – Movimiento de traslación de un sólido rígido. • Ecuación del movimiento para la traslación de un sólido rígido. • Como todas las partículas del sólido se mueven con la misma velocidad y aceleración, el estudio del movimiento de traslación del sólido se puede llevar a cabo analizando el movimiento de su CM. • El movimiento del CM viene dado por Traslación • Por tanto, tomando el CM y usando los métodos explicados en el tema anterior para la dinámica de la partícula, se puede analizar el movimiento de traslación del sólido rígido. 13

4. 7 – Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. • Momento angular y momento de inercia. • Considérese una placa delgada sólida que rota alrededor de un eje de rotación fijo. Z • El momento angular del elemento Ai de la placa respecto O es • El momento angular de toda la placa respecto al punto O es O Ri Ai Como la velocidad angular es la misma para todos los puntos del sólido Z’ • Definiendo el momento de inercia para el eje ZZ’ que pasa por O como se tiene Ecuación vectorial. El momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular para un sólido plano. 14

4. 7 – Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. • Considérese ahora un sólido rígido de forma arbitraria rotando alrededor de un eje fijo. Z • El momento angular del punto Ai del sólido respecto a O es El momento angular del punto tiene una dirección distinta a la velocidad angular. Es perpendicular a y. • El momento angular total del sólido respecto al punto O es Ri Ai O Z’ El momento angular total del sólido puede tener una dirección distinta a la de • No obstante se cumple siempre que la componente del momento angular a lo largo del eje de rotación Z es Ecuación escalar. Válida independientemente de la forma del cuerpo. • Sin embargo para cada cuerpo independientemente de su forma se verifica que existen al menos tres direcciones mutuamente perpendiculares para las que el momento angular es paralelo al eje de rotación. • Estos son los tres ejes principales de inercia (XO, YO, ZO) y sus correspondientes momentos de inercia se conocen como momentos principales de inercia (I 1, I 2, I 3). Si el eje de giro coincide con una de estas direcciones se cumple Válida cuando el sólido gira alrededor de un eje principal de inercia. 15

4. 7 – Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. • Cuando el cuerpo posee algún tipo de simetría, los ejes principales coinciden con los ejes de simetría. ZºO ZO ZO YO XO YO YO XO XO • Dos teoremas importantes relacionados con el cálculo del momento de inercia son: Teorema de Steiner Teorema de los ejes paralelos Z’ Z Z d CM X’ X O y. CM Y’ d O Y x. CM Y X 16

4. 7 – Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. • Hemos visto que el momento de inercia para un sistema de partículas discreto se define • Para un objeto continuo el sumatorio anterior se reemplaza por una integral Varilla delgada Cilindro L L Anillo R R L R c b R R Placa rectangular Paralelepípedo a Disco b a a Esfera R b 17

4. 7 – Movimiento de rotación en torno a un eje fijo de un sólido rígido. • Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido que gira en torno a un eje fijo (que es principal de inercia). • El momento de las fuerzas exteriores para un sólido rígido que gira alrededor de un eje principal de inercia que pasa por O se expresa Como es principal Z Rotación en torno a un eje O Z’ 18

4. 8 – Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura. • Ecuaciones del movimiento de traslación y rotación combinados de un sólido rígido. • Para un sólido rígido que se traslada y que gira alrededor de un eje que pasa por su CM, las ecuaciones del movimiento son Traslación Rotación en torno a un eje • Tipos de movimientos de un sólido rígido de forma cilíndrica que se mueve sobre una superficie plana • El cilindro desliza P P SCM • El mismo punto del sólido permanece en todo momento en contacto con la superficie. • El cilindro tiene un movimiento de traslación. • Todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad para cualquier instante de tiempo. 19

4. 8 – Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura. • El cilindro rueda sin deslizar. Movimiento de rodadura. CM • Un punto distinto del sólido en cada instante permanece en contacto con la superficie verificándose. S P j CM P CM R SCM • El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados. + Traslación Rotación • La velocidad del punto de contacto con la superficie es nula. • Si existe fuerza de rozamiento ésta es estática. 20

4. 8 – Movimiento de traslación y rotación combinados. Movimiento de rodadura. • El cilindro rueda y desliza. • Al rodar y deslizar en este caso se tiene que • El cilindro tiene un movimiento de traslación y rotación combinados, pero la velocidad del punto de contacto no es nula. • Si existe fuerza de rozamiento ésta es dinámica. 21

4. 9 – Movimiento giroscópico. • Un giroscopio (o giróscopo) es un dispositivo en el que el eje de rotación puede cambiar libremente de dirección. Un ejemplo se ilustra en la siguiente figura. • Si la rueda gira libremente alrededor del eje de simetría AB de forma que respecto a O el momento de fuerzas es nulo, entonces, • Si se mueve el giroscopio alrededor de una habitación el eje de simetría AB apuntará siempre en la misma dirección. • Si el eje del giroscopio se coloca de modo que AB sea horizontal y apunte en la dirección este-oeste, debido a la rotación terrestre el eje se inclinará y después de seis horas está en posición vertical. N • Esta característica de los giroscopios a mantener su eje de rotación fijo, hace que tenga una gran aplicación como sistema de nivelación y estabilizador (en aviones, barcos y sondas espaciales). 22

4. 9 – Movimiento giroscópico. • Si el giroscopio ahora se encuentra apoyado en un extremo O entonces el momento de las fuerzas respecto O no es nulo y se tiene • Si en primer lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda desprovista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda caerá girando alrededor de un eje horizontal que pasa por O. • Este giro se debe a que el momento de las fuerzas z externas respecto a O no es nulo (debido al peso de la y rueda), actuando en la dirección horizontal y. x • Inicialmente el momento angular es nulo al no haber rotación. • Después de un cierto intervalo de tiempo se produce un cambio en éste que viene dado por y x 23

4. 9 – Movimiento giroscópico. • Si en segundo lugar el eje se mantiene horizontal con la rueda provista de giro y se deja en libertad, entonces la rueda no caerá sino que el eje de rotación de la rueda se desplazará en el plano horizontal en la dirección del eje y, describiendo un movimiento circular. A este movimiento se le denomina precesión. • En este caso el momento angular inicial no es z y nulo, y tiene un valor igual a x • La variación del momento angular (en la dirección del momento de fuerzas) será en la dirección perpendicular a la del momento angular. • Esto da lugar a que el momento angular cambie en dirección y no en módulo describiendo un movimiento circular. y x 24

4. 9 – Movimiento giroscópico. • La velocidad angular de precesión se puede calcular teniendo en cuenta que el cambio del momento angular en un tiempo infinitesimal es • El ángulo barrido por el eje en su movimiento es • Y la velocidad angular de precesión es por tanto • Además del movimiento de precesión, el eje de la rueda realiza una pequeña oscilación hacia arriba y hacia abajo. Este movimiento se llama de nutación. 25

4. 9 – Movimiento giroscópico. • Otro ejemplo de movimiento giroscópico lo realiza un trompo o peonza. • La Tierra también realiza un movimiento de precesión y nutación (precesión de los equinoccios). • El plano del Ecuador forma un ángulo de 23º 27’ con el plano de la órbita terrestre alrededor del Sol (eclíptica). La intersección de ambos se llama línea de equinoccios. • Debido a esta inclinación y a que la Tierra no es una esfera (elipsoide), hay un momento de fuerzas (debido al Sol y la Luna), en la dirección perpendicular al eje de rotación de la Tierra (que pasa por los Polos), que hace que éste tenga un movimiento de precesión y nutación. Precesión: 27725 años Nutación: 19 años 26

4. 10 – Condiciones de equilibrio. • Para el equilibrio de un sólido rígido es necesario considerar el equilibrio con respecto tanto a la traslación como a la rotación. Las condiciones han de ser: Equilibrio de traslación Equilibrio de rotación • Esta situación implica que • Por tanto, para que un sólido rígido en equilibrio esté quieto, es necesario que en el instante inicial se encuentre en reposo. 27

4. 11 – Energía cinética de un sistema de partículas. • La energía cinética de un sistema de partículas (respecto un SRI o sistema L) se define Un término para cada partícula • Teniendo en cuenta que el trabajo total lo podemos separar en el trabajo de las fuerzas externas y las internas, es posible expresar el trabajo total como • Con lo cual el teorema del trabajo y la energía cinética para un sistema de partículas se expresa como • Se define la energía cinética interna como la energía cinética referida a un sistema de referencia situado en el CM o sistema C. • La relación entre la energía cinética referida a un sistema C y un sistema L viene dada por: Teorema de Koening 28

4. 12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas. • Si las fuerzas internas que actúan en un sistema de partículas son conservativas entonces hay definida una energía potencial interna y • Hay definido un término de energía potencial interna para cada par de partículas Un término para cada par de partículas • La energía potencial interna depende de la posición relativa de las partículas y cambia según varía la posición relativa de las partículas durante el movimiento. Si las fuerzas son centrales la energía potencial interna sólo depende de la distancia que separa a cada par de partículas. • Definiendo la energía propia como • Si el sistema de partículas se encuentra aislado o el trabajo de las fuerzas externas es nulo • Se define la energía interna como 29

4. 12 – Energía propia, energía interna y energía total de un sistema de partículas. • Si las fuerzas externas que actúan sobre el sistema son conservativas entonces hay definida una energía potencial externa y Si las fuerzas internas son conservativas • Definiendo la energía total como Si todas las fuerzas son conservativas • Hay definido un término de energía potencial externa para cada partícula del sistema Un término para cada partícula 30

4. 13 – Energía cinética de un sólido rígido. • Sea un sólido rígido que tiene un movimiento de traslación. • Como todas las partículas del sólido se mueven con idéntica velocidad, que será igual a la de su CM y su energía cinética será Traslación • Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo. • Como las partículas del sólido describen un movimiento circular alrededor del eje, su energía cinética será Z Como Ri Ai O Rotación en torno a un eje Z’ 31

4. 13 – Energía cinética de un sólido rígido. • Sea un sólido rígido que gira alrededor de un eje que pasa por su CM y al mismo tiempo tiene un movimiento de traslación respecto a un observador inercial. • La energía cinética respecto a un observador inercial es CM O • Y como el único movimiento de las partículas respecto a un eje que pasa por el CM es de rotación, la energía cinética interna será de rotación y por tanto 32

4. 14 – Energía total de un sólido rígido. • Para un sólido rígido ya que es indeformable y la distancia relativa entre las partículas que lo constituyen no varía con el tiempo, se tiene que su energía potencial interna es constante y por tanto, • De este modo, la energía total para un sólido rígido se reduce a Y si tiene un movimiento de traslación y rotación combinados. • Para un sólido rígido que rueda sin deslizar sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es estática, se tiene que, • Para un sólido rígido que rueda y desliza sobre una superficie, ya que si existe fuerza de rozamiento ésta es dinámica, se tiene que, 33

4. 2 – Centro de masas. Movimiento del centro de masas de un sistema de partículas. • Para un sistema de partículas continuo la posición, velocidad y aceleración del CM vienen dadas por Centro de masa de algunos sistemas de partículas continuos 34