STATIKI NEODR SUSTAVI KONCEPT METODA PRORAUNA TONA METODA

STATIČKI NEODR. SUSTAVI

KONCEPT METODA PRORAČUNA

TOČNA METODA POMAKA • Pri proračunu statički neodređenih konstrukcija, kao nepoznanice uzimamo pomake čvorova; • Pomaci čvora- kutni i linearni(translacijski). Ravninski čvor i ima dva translacijska pomaka i jedan rotacijski pomak. • U točnoj metodi pomaka sva se tri pomaka čvora nepoznanice. • Metodom pomaka mogu se proračunavati i statički određeni i statički neodređeni sistemi. Unutarnje sile u štapovima funkcije su fizikalnih i geometrijskih karakteristika, opterećenja i pomaka krajeva štapova; štapova

METODA POMAKA usporedba s metodom sila Metoda sila (fleksibilnosti) - Nepoznanice: prekobrojne sile X - Matrica fleksibilnosti D - Pomak zbog sile X (nepoznanice) δ(X=1)*X - Pomak zbog opterećenja = δo Metoda pomaka(krutosti) Nepoznanice: pomaci d ( , Δ= ) -Matrica krutosti K -Sila zbog pomaka d (nepoznan. ) K(u=1) * d -Sila zbog opterećenja = Ro - Za kompatibilnost pomaka treba: δ o + δ*X = 0 - rješenje prekobrojne sile X Suvišna ograničenja –veze su otpuštene, računaju se nastali pomaci na mjestima istih-od zadanog opterećenja i suvišnih oslobođenih sila. Ove suvišne veličine-sile nastoje vratiti kontinuitet –podudaranje pomaka na mjestu raskinutih veza, koji je dobiven skidanjem suvišnih veza. -Jednadžbe ravnoteže: Ro + K*d = 0 -Rješenje pomaci : d Dodatna pridržanja se dodaju i računaju se vrijednosti sila u njima –reakcije od vanjskog opt. (O. S. ) Uklanjaju se pridržanja kako bi se omogućila deformacija i vratila ravnoteža-daju se početni pomaci koji uzrokuju reakcije koje uravnotežuju iste od vanjskih djelovanja. Iz jednadžbi ravnoteže se dobiju pomaci i nakon toga su određuju sile.

METODA POMAKA algoritam i vrsta metode -Baza MKE -rač. programi

METODA POMAKA POSMATRA SUSTAV PREKO RAŠČLANJENIH ELEMENATA =sve računamo na kraju elementa i u čvoru 1. NUMERIRAMO ČVOROVE I ELEMENTE SUSTAVA • ČVOR – karakteristična točka u kojoj se sastaju štapovi; oslonački, kutni, kolinearni. . • oblik ravnog štapa može biti prav ili zakrivljen i uvijek spaja dva čvora; ELEMENT Početni čvor krajnji čvor slobodni un. čvorovitu nepoznanice Ležajni čvorovi

METODA POMAKA x x y x • uvode se lokalni i globalni koordinatni sustav. Globalni koordinatni sustavu definira: geometriju konstrukcije, mjeri pomake nakon opterećenja, opterećenja konstrukcije. Lokalni koordinatni sustav se za svaki štap definira. Ishodište sustava -u početnom čvoru, lokalna os x podudarna s osi štapa. Unutarnje sile se izražavaju u lokalnom sustavu, kao i veza sila-pomak.

METODA POMAKA • Za mnoge sisteme jednostavnija i brža od MS jer rješava mnogo manji broj nepoznanica nego MS. Pogodna za okvirne sisteme. MS-9 nepoznanica MP-3 nepoznanice • ČVOR – karakteristična točka u kojoj se sastaju štapovi; • oblik ravnog štapa može biti prav ili zakrivljen i uvijek spaja dva čvora;

METODA POMAKA • U metodi pomaka sve se svodi na posmatranje elemenata i čvorova. • uvode se lokalni i globalni koordinatni sustav. • u globalni koordinatni sustavu se definiraju: i geometrija konstrukcije u projektiranom obliku mjere pomaci nakon opterećenja, opterećenja konstrukcije. Lokalni koordinatni sustav se za jedan štap definira tako da se ishodište sustava nalazi u početnom čvoru a lokalna os x prolazi kroz krajnji čvor štapa. • unutarnje sile se izražavaju u lokalnom koord. sustavu

METODA POMAKA Primjer: skup štapova spojenih u jedan čvor i na nepomičnu podlogu, opterećen silom P 1. - n štapova (n-2) puta statički neodređen sustav - metodom sila treba izračunati (n-2)(n-1)/2 elemenata matrice popustljivosti i riješiti sustav od (n-2) linearnih jednadžbi - jednostavnije: određivanje pomaka čvora (1) te izračun sila u 1. se uspostavlja veza unutarnjih sila i pomaka u M. P. štapovima koje su linearne funkcije pomaka čvora.

METODA POMAKA 2. se postavljaju jednadžbe ravnoteže čvora (1): - Jednadžbe ravnoteže samo s dvije nepoznanice U 1 i V 1 čijim rješenjem dobivamo pomake a nakon toga i sile u svim štapovima. metoda pomaka.

METODA POMAKA • • U MP se uvode pretpostavke i konvencije. Pretpostavke: pretpostavke štapne mehanike. Vrijedi princip superpozicije. • Konvencije • Čvor se ponaša kao kruti disk-štapovi koji su u čvoru kruto spojeni imaju jednake pomake. Kutevi pod kojima su štapovi priključeni u čvoru ostaju nepromjenjeni. • Uvodi se konvencija predznaka sila u čvorovima.

METODA POMAKA • Nepoznanice u, v, • Osnovni –proračunski sustav • : u, v, • Reakcije u dod. • Stanje upetosti vezama • pomaci u dod. vezama • Vanjsko opter. • Stanje slob. pomaka • Reakcije u dod. vezama • Prisilni pomaci • Stanje upetosti + Stanje slob. pomaka = Stanje izvornog sustava

METODA POMAKA Posmatra se razuporni sistem. 1. numeracija čvorova Nepoznanice: u 2; v 2; φ2 u 3; v 3; φ3 broj slob. čvorova*3 Unutarnje sile dobiju se superpozicijom dva stanja u dva proračunska koraka.

METODA POMAKA I) STANJE UPETOSTI Osnovni sistem metode pomaka nastaje dodavanjem veza koje sprečavaju pomake čvorova. Sistem se raspada na sistem greda koji maksimalno 3 x neodređene, opterećene vanjskim silama, temperaturom, slijeganjem ležaja. 1. Sile na kraju elemenata se dobiju MS ili gotovim izrazima-tablicama za max 3 puta statički neodređen sustav, ovisnih o tipu opterećenja na istim

METODA POMAKA Uspostavimo uvjete ravnoteže za svaki slobodni čvor za stanje spriječenih pomaka : -sile upetosti na krajevima štapa -sile u pridržajnim vezama; Pix; Piy i Miz-zadane sile Reakcije-u dodanoj vezi

METODA POMAKA II) STANJE SLOBODNIH POMAKA ČVOROVA Kako bi osn. sistem doveli u meh. stanje u kojem izvorni sistem, njegovi čvorovi se prisilno zaokreću i pomiču po pravcima zamišljenih veza. Reakcije koje se zbog prisilnih pomaka razviju u zamišljenim vezama moraju poništiti reakcije izazvane zadanim djelovanjima u prethodnom koraku. 2. Un. sile se određuju kao f-je pomaka krajeva štapova

METODA POMAKA Uvjet ravnoteže sila i momenata u čvorovima: -sile pridržanja ili reakcije u čvorovima -sile na krajevima štapova priključenih u čvor-f-je su pomaka krajeva

METODA POMAKA Konačne sile na krajevima svake grede dobivaju se superponiranjem sila od zadanog opterećenja (sila upetosti) na obostrano upetoj gredi (stanje spriječenih pomaka čvorova) i sila od pomaka čvorova izvornog sistema, opterećenog samo silama upetosti, nakon `otpuštanja' dodanih veza (stanje slobodnih pomaka čvorova). POSTAVLJAJU SE JEDNADŽBE RAVNOTEŽE SILA U ČVOROVIMA u kojima su pomaci nepoznanice Broj jednadžbi= broj slobodnih čvorova*3 U matričnom obliku te jednadžbe izgledaju kao:

METODA POMAKA UNUTARNJE SILE ZA STANJE SLOBODNIH POMAKA Veza sila i pomaka na krajevima neopterećenog štapa - promatramo pravi ravni neopterećeni štap u lokalnom koordinatnom sustavu; Treba riješiti sile na krajevima. - Može se M. S. ili diferencijalnim jednadžbama 1) O. s. • 1. korak zadani pomaci φi, φj; Δuij=ui-uj

METODA POMAKA

METODA POMAKA 2. korak Zadan rel. vertikalni pomak krajeva štapa Δvij=vi-vj 2) • Zaokreće se štap, a ne čvorovi.

METODA POMAKA Superpozicijom se nađe ukupno rješenje odnosno veza sila i pomaka krajeva štapa za stanje slobodnih pomaka. 1+2) Štap neopterećen. Samo M na kraju štapa-T iz stat. uvjeta. ZA ŠTAP KONSTANTNOG POPR. PRESJEKA Samo za štapove konst. popr. presjeka

METODA POMAKA • UKUPNE SILE NA KRAJEVIMA ŠTAPA: Izražavaju vezu pomaka i sila • Postavljanjem jednadžbi ravnoteže za svaki čvorodrede se nepoznati pomaci i zaokreti.

METODA POMAKA STATIČKA KONDENZACIJA Mogućnost smanjivanja broja nepoznanica iz poznatih statičkih rubnih uvjeta. Time se smanjuje i broj jednadžbi ravnoteže čvorova. 1. Jednostrana zglobno upeta greda. Zadan j. Mji=? Mij=0

METODA POMAKA 2. Zadan vik. Mij=? Mji=? 3. Slučaj simetrije (upeto pomični ležaj) Zadan Mj. Mij=? Mji=?

METODA POMAKA RAVNINSKE KONSTRUKCIJE Proračun unutarnjih sila Jedn. ravnoteže čvora Vektor sila i vektor pomaka na krajevima štapa (m) Matrica koeficijenata uz pomake štapa (m) Matrica k(m) naziva se lokalna matrica krutosti štapa (m) a njeni elementi koji sadržavaju geometrijske i fizikalne karakteristike štapa predstavljaju generalizirane sile na krajevima izazvane jediničnim pomacima krajeva u smjeru i na pravcima lokalnih koodinatnih osi.