Signali i sustavi Vremenski diskretni linearni sustavi Sadraj

  • Slides: 59
Download presentation
Signali i sustavi Vremenski diskretni linearni sustavi

Signali i sustavi Vremenski diskretni linearni sustavi

Sadržaj § Model sustava s ulazno-izlaznim varijablama § Rješavanje jednadžbe diferencija § Frekvencijske karakteristike

Sadržaj § Model sustava s ulazno-izlaznim varijablama § Rješavanje jednadžbe diferencija § Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Jedinični odziv diferencijskog sustava § Konvolucijska sumacija § Dekonvolucija 2

Model sustava s ulazno- izlaznim varijablama § Opis linearnog sustava jednadžbom diferencija any(k +

Model sustava s ulazno- izlaznim varijablama § Opis linearnog sustava jednadžbom diferencija any(k + n) + an - 1 y(k + n - 1) + … + a 0 y(k) = bmu(k + m) + bm - 1 u(k + m - 1) + … + b 0 u(k) u - jedan ulaz y - jedan izlaz an ¹ 0, a 0 ¹ 0 § Vremenski stalan sustav ® koeficijenti {ai} i {bi} konstante § Sustav promjenjiv po koraku ® koeficijenti {ai} i {bi} funkcije koraka k 3

Model sustava s ulaznoizlaznim varijablama § Jednadžbe diferencija često se pišu pomoću operatora pomaka

Model sustava s ulaznoizlaznim varijablama § Jednadžbe diferencija često se pišu pomoću operatora pomaka E ili q (an. En + … + a 0)y = (bm. Em + … + b 0)u ili A(E)y = B(E)u, gdje je: ili 4

Model sustava s ulaznoizlaznim varijablama § Red diferencijske jednadžbe ® razlika najveće i najmanje

Model sustava s ulaznoizlaznim varijablama § Red diferencijske jednadžbe ® razlika najveće i najmanje potencije operatora E ili q § Prikaz linearnog sustava blokom § Prikaz jednadžbe sustava preko linearne kombinacije pobude u i izlaza y c 0 y(k) + c 1 y(k - 1) + … + cny(k - n) = d 0 u(k) + d 1 u(k - 1) + … + dnu(k - n) 5

Rješavanje jednadžbe diferencija § Rješavanje korak po korak (numerički) uz poznavanje n početnih uvjeta

Rješavanje jednadžbe diferencija § Rješavanje korak po korak (numerički) uz poznavanje n početnih uvjeta y(-1), y(-2), … , y(-n). § Rješavanje jednadžbe diferencija analitički 6

Rješavanje jednadžbe diferencija analitički § Rješenje linearne jednadžbe dobiva se kao rješenje homogene jednadžbe

Rješavanje jednadžbe diferencija analitički § Rješenje linearne jednadžbe dobiva se kao rješenje homogene jednadžbe yh(k) anyh(k + n) + an - 1 yh(k + n - 1) + … + a 0 yh(k) = 0 i partikularnog rješenja yp(k) koje ovisi o funkciji pobude f(k) = bmu(k + m) + bm - 1 u(k + m - 1) + … + b 0 u(k) 7

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Najopćenitije rješenje homogene jednadžbe je linearna kombinacija od n

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Najopćenitije rješenje homogene jednadžbe je linearna kombinacija od n posebnih linearno nezavisnih rješenja y 1(k), y 2(k), … , yn(k) s proizvoljnim konstantama yh(k) = C 1 y 1(k) + C 2 y 2(k) + … + Cnyn(k) § Linearnu jednadžbu diferencija zadovoljava niz eak ili bolje y(k) = qk gdje je qÎC 8

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Uvrštenjem dobivamo anqk + n + an - 1

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Uvrštenjem dobivamo anqk + n + an - 1 qk + n - 1 + … + a 0 qk = 0 (anqn + an - 1 qn - 1 + … + a 0) qk = 0 § Netrivijalno rješenje traži da bude anqn + an - 1 qn - 1 + … + a 0 = 0 § Ovo je karakteristični polinom jednadžbe diferencija s n korjena q 1, q 2, … , qn § Jednadžbu dakle zadovoljavaju funkcije oblika q 1 k, q 2 k, … , qnk 9

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Za različite korjene dobivamo rješenje oblika yh(k) = C

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Za različite korjene dobivamo rješenje oblika yh(k) = C 1 q 1 k + C 2 q 2 k + … + Cnqnk § Za višestruke korjene (npr. q 1 višestrukosti m) y(k) = C 1 q 1 k + C 2 kq 1 k + … + Cmkm - 1 q 1 k + Cm + 1 qm + 1 k + … + Cnqnk 10

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Kompleksni korjeni u jednadžbi s realnim koeficijentima dolaze u

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Kompleksni korjeni u jednadžbi s realnim koeficijentima dolaze u konjugiranim parovima te uz realnu sekvenciju za yh(k) vrijedi: yh(k) = C 1 q 1 k + C 2 q 2 k, q 1 = r ejq ® q 2 = r e-jq, C 1 = C ejf ® C 2 = C e-jf. § Rješenje se može zapisati u obliku: yh(k) = C rk ejf ejkq + C rk e-jf e-jkq = 2 C rk cos(k q + f) § Korijen q = 0 se ne uzima obzir jer on samo smanjuje red jednadžbe za jedan, odnosno za m 11

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Predstavljanje korjena u kompleksnoj q-ravnini 12

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija § Predstavljanje korjena u kompleksnoj q-ravnini 12

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija 13

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija 13

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija 14

Rješavanje homogene jednadžbe diferencija 14

MATLAB primjer Odziv sustava u ovisnosti o položaju korjena u kompleksnoj ravnini 15

MATLAB primjer Odziv sustava u ovisnosti o položaju korjena u kompleksnoj ravnini 15

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Određivanje partikularnog rješenja § Lagrange-ova metoda varijacije parametara §

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Određivanje partikularnog rješenja § Lagrange-ova metoda varijacije parametara § rješenje se dobiva u eksplicitnom obliku § primjena rezultira složenim sumacijama § Metoda neodređenog koeficijenta § ograničena na pobude oblika polinoma i eksponencijalnih sekvenca § veliki broj pobuda može se aproksimirati gore navedenim sekvencijama ili nizovima § češće se upotrebljava u analizi sustava 16

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Pobuda polinomom oblika f(k) = d 0 + d

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Pobuda polinomom oblika f(k) = d 0 + d 1 k + … + dmkm, dati će partikularno rješenje u obliku polinoma m - tog stupnja yp(k) = C 0 + C 1 k + … + Cmkm. § Rješenje se uvijek pretpostavlja u obliku kompletnog polinoma tj. sa svim potencijama, bez obzira da li polinom pobude ima sve članove 17

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Pobuda eksponencijalom oblika u(k) = U eek = U

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Pobuda eksponencijalom oblika u(k) = U eek = U zk | z, e Î C § Ovo je najzanimljivija pobuda, jer linearni sustavi daju vlastito titranje u oblicima qik § Partikularno rješenje možemo napisati u obliku yp(k) = Y zk § U i Y nazivaju se kompleksne amplitude pobude odnosno odziva 18

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Uvrštenjem pretpostavljenog rješenja Yzk u jednadžbu (anzn + an

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Uvrštenjem pretpostavljenog rješenja Yzk u jednadžbu (anzn + an - 1 zn - 1 + … + a 0) Y zk = (bmzm + bm - 1 zm - 1 + … + b 0) U zk A(z) Y zk = B(z) U zk izlazi kompleksna amplituda odziva: § H(z) je prijenosna funkcija 19

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Prijenosna ili transfer funkcija daje odnos kompleksnih amplituda prisilnog

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Prijenosna ili transfer funkcija daje odnos kompleksnih amplituda prisilnog odziva i pobude, kad je pobuda zk § Transfer funkcija se može lako napisati iz jednadžbe diferencija formalno zamjenom operatora E s brojem z. 20

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Partikularno rješenje (prisilni odziv) yp(k) = H(z)Uzk § Ovisno

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Partikularno rješenje (prisilni odziv) yp(k) = H(z)Uzk § Ovisno o z, partikularni niz može biti § rastući ili padajući aperiodičan ili valovit § stalan ili periodičan § Linearna kombinacija eksponencijala može dati realni kosinusni niz rejqk + re-jqk = 2 r cos qk 21

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Za sinusnu pobudu imamo (r = 1) § Odziv

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Za sinusnu pobudu imamo (r = 1) § Odziv je također superpozicija dvije konjugirane eksponencijale yp = H(ejq)Uejqk + H(e-jq)U*e-jqk § Aperiodočan niz je konstantan za z = 1 ili alternirajuće konstantan za z = -1 yp = H(1)U ili yp = H(-1)U 22

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Trajnu pobudu imamo kad je z na jediničnoj kružnici

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Trajnu pobudu imamo kad je z na jediničnoj kružnici ® prisilni odziv je trajan ili nula § Za pobudu nizom u(k) = km - 1 partikularno rješenje je polinom u varijabli k istog stupnja 23

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Transfer funkcija se često upotrebljava u obliku produkta korjenih

Rješavanje nehomogene jednadžbe diferencija § Transfer funkcija se često upotrebljava u obliku produkta korjenih faktora B(zi) = 0 ® nultočke A(qi) = 0 ® polovi § Ako postoji koincidencija z = qi pretpostavljamo partikularno rješenje u obliku yp(k) = k Yzk, a ako je qi m-terostruki onda je yp(k) = km. Yzk § Cjeloviti odziv nehomogene jednadžbe diferencija uz pobudu u(k) = Uzk izlazi: y(k) = yh(k) + yp(k) = C 1 q 1 k + C 2 q 2 k + … + Cnqnk + H(z)Uzk. 24

Rješavanje jednadžbe diferencija § Primjer: Rješiti jednadžbu diferencija y(k + 2) + y(k +

Rješavanje jednadžbe diferencija § Primjer: Rješiti jednadžbu diferencija y(k + 2) + y(k + 1) + 0. 21 y(k) = (-1)k uz početne uvjete y(0) = 0 i y(1) = 0 § Rješenje homogene jednadžbe y(k + 2) + y(k + 1) + 0. 21 y(k) = 0 yh(k) = qk q 2 + q + 0. 21 = 0 25

Rješavanje jednadžbe diferencija § Korijeni su q 1 = -0. 7 i q 2

Rješavanje jednadžbe diferencija § Korijeni su q 1 = -0. 7 i q 2 = -0. 3 pa izlazi yh(k) = C 1(-0. 7)k + C 2(-0. 3)k § Partikularno rješenje oblika yp(k) = Y(-1)k § Kompletno rješenje je 26

Rješavanje jednadžbe diferencija § Uvrštenjem početnih uvjeta: 0 = C 1 + C 2

Rješavanje jednadžbe diferencija § Uvrštenjem početnih uvjeta: 0 = C 1 + C 2 + 1 / 0. 21, 0 = (-0. 7) C 1 + (-0. 3) C 2 - 1 / 0. 21 , dobivamo: y(k) = -8. 33(-0. 7)k + 3. 5(-0. 3)k + 4. 76(-1)k. 27

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Pobuda sustava sinusnim nizom daje odziv yp(k) =

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Pobuda sustava sinusnim nizom daje odziv yp(k) = Re{Yej. Wk} gdje je Y dobiven iz odziva na Uej. Wk. § To se može pokazati s uvrštenjem u jednadžbu diferencija u(k) = Uej. Wk = Re {Uej. Wk } + j Im {Uej. Wk } 28

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Partikularno rješenje dobiva se u obliku yp(k) =

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Partikularno rješenje dobiva se u obliku yp(k) = Yej. Wk = Re {Yej. Wk} + j Im {Yej. Wk} rješenje realnog dijela pobude Re {Uej. Wk } A(E)y = B(E)u + pobuda ej. Wk } H(ej. W) funkcija od ej. W = ej(W + 2 pi) } vrijednost transfer funkcije za z = ej. W je periodična s 2 p 29

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Radi periodičnosti karakteristike, dovoljno je promatrati interval (-p,

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Radi periodičnosti karakteristike, dovoljno je promatrati interval (-p, p) ili čak (0, p) 30

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Frekvencijska karakteristika H(ej. W) daje stacionarno stanje sustava

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Frekvencijska karakteristika H(ej. W) daje stacionarno stanje sustava yp = H(ej. W)U u ovisnosti o frekvenciji W pobudnog sinusnog signala § Zapis karakteristike H(ej. W) : H(ej. W) = Hr(ej. W) + Hi(ej. W) A(W) = |H(ej. W)| = A(W)ejj(W) = arg(H(ej. W)) Koeficijent {ai} i {bi} su realni te vrijedi Hr(ej. W) i A(W) parne funkcije od W -j. W * j. W H(e ) = H (e ) j. W Hi(e ) i j(W) neparne funkc. od W 31

Frekvencijska karakteristika sustava prvog reda Primjer: y(k) - ay(k - 1) = Uzk ,

Frekvencijska karakteristika sustava prvog reda Primjer: y(k) - ay(k - 1) = Uzk , UÎR y(k) = Yzk 33

Frekvencijska karakteristika sustava prvog reda nisko-propusni filtar visoko-propusni filtar 34

Frekvencijska karakteristika sustava prvog reda nisko-propusni filtar visoko-propusni filtar 34

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda § Transfer funkcija: z = ej. W 35

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda § Transfer funkcija: z = ej. W 35

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda Primjer: q 1 = 0. 9 ejp/4 q 2

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda Primjer: q 1 = 0. 9 ejp/4 q 2 = 0. 9 e-jp/4 } r = 0. 9 r » 1, r < 1, W 0 = p/4 36

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda r = 0, 9 W 0 = p /

Frekvencijska karakteristika sustava drugog reda r = 0, 9 W 0 = p / 4 Q = 1 / (1 - r) = 10 § rezonator na frekvenciji W 0 § pojasno - propusni filter 37

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Frekvencijska karakteristika se može odrediti grafički iz: praćenjem

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Frekvencijska karakteristika se može odrediti grafički iz: praćenjem apsolutne vrijednosti |H(ej. W)| i argumenta H(ej. W) transfer funkcije na jediničnoj kružnici z = ej. W ravnine z 38

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Svaki korijeni faktor transfer funkcije daje svoj individualni

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Svaki korijeni faktor transfer funkcije daje svoj individualni doprinos veličini (multiplikativno) i fazi (aditivno). 39

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Grafički prikaz u polarnom koordinatnom sustavu Korjeni faktori

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Grafički prikaz u polarnom koordinatnom sustavu Korjeni faktori ® vektori 40

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Vrijednost transfer funkcije na frekvenciji W {di} -

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Vrijednost transfer funkcije na frekvenciji W {di} - udaljenost točke na kružnici ej. W do nultočki {zi} {li} - udaljenost točke na kružnici ej. W do polova {qi} § Fazni kut transfer funkcije ji = arg(ej. W) - arg(zi) i = arg(ej. W) - arg(qi) 41

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Primjer: arg H(ej. W) = j 1 -

Frekvencijske karakteristike vremenski diskretnog sustava § Primjer: arg H(ej. W) = j 1 - ( 1 + 2) 42

Primjer § Quick. Time: 9, 11 i 12. § MATLAB: freqz 3 d 43

Primjer § Quick. Time: 9, 11 i 12. § MATLAB: freqz 3 d 43

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Specijalni tipovi pobuda § Kroneckerov ili delta niz {d

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Specijalni tipovi pobuda § Kroneckerov ili delta niz {d (k)} ® jedinični impuls § Heavisideov niz {m(k)} ® stepenica § Odzivi na ove pobude § {d (k)} ® {h(k)} § {S(k)} ® {g(k)} § Poznavanje ovih odziva može poslužiti za određivanje odziva na bilo koji oblik pobude 44

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Određivanje odziva sustava na jedinični impuls any(k + n)

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Određivanje odziva sustava na jedinični impuls any(k + n) + an - 1 y(k + n - 1) + … + a 0 y(k) = bnu(k + n) + bn - 1 u(k + n - 1) + … + b 0 u(k) = d (k) y(k) = 0 za k < 0 any(k + n) + an - 1 y(k + n - 1) + … + a 0 y(k) = bnd (k + n) + bn - 1 d (k + n - 1) + … + b 0 d (k) za k > 0 je desna strana nula ® jedinični odziv za k > 0 je rješenje homogene jednadžbe 45

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Rješenje je tada linearna kombinacija h(k) = C 1

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Rješenje je tada linearna kombinacija h(k) = C 1 y 1 (k) + C 2 y 2 (k) + … + Cnyn (k) za k > 0, n nepoznanica {Ci} ® potrebno je n početnih uvjeta: h(1), h(2), …, h(n). § Uvjeti proizlaze iz jednadžbe diferencija i svojstva d niza d (k + i) = 1, za k = -i, d (k + i) = 0, za k ¹ -i. 46

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Iz jednadžbe diferencija s u(k) = d (k) i

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Iz jednadžbe diferencija s u(k) = d (k) i kÎ[-n, 0] možemo dobiti n + 1 jednadžbu k = -n ® anh(0) + an - 1 h(-1) + … + a 0 h(-n) = bn k = -n + 1 ® anh(1) + an - 1 h(0) + … + a 0 h(-n + 1) = bn - 1 k = -n + 2 ® anh(2) + an - 1 h(1) + … + a 0 h(-n + 2) = bn - 2 . . . k = -1 ® anh(n - 1) + an - 1 h(n - 2) + … + a 0 h(-1) = b 1 k = 0 ® anh(n) + an - 1 h(n - 1) + … + a 0 h(0) = b 0 47

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Budući je sustav miran, h(k) = 0, za k

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Budući je sustav miran, h(k) = 0, za k < 0 § Rješenje za {h(k)}, kÎ[0, n] može se dobiti inverzijom matrice A 48

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Za različite korijene karakteristične jednadžbe q 1, q 2,

Jedinični odziv diferencijskog sustava § Za različite korijene karakteristične jednadžbe q 1, q 2, … qn h(k) = C 1 q 1 k + C 2 q 2 k + … + Cnqnk , k = 1, 2, … , n § Zapisano pomoću matrice § Rješenje QC = h, je C = Q-1 h 49

Određivanje jediničnog odziva § Primjer: § Odrediti impulsni odziv sustava y(k + 2) -

Određivanje jediničnog odziva § Primjer: § Odrediti impulsni odziv sustava y(k + 2) - 3 y(k + 1) + 2 y(k) = 2 u(k + 1) - 2 u(k) za u(k) = d (k) ® y(k) = h(k) k = -2 k = -1 k = 0 ® h(0) - 3 h(-1) + 2 h(-2) = 0 - 0 h(0) = 0 ® h(1) - 3 h(0) + 2 h(-1) = 2 h(1) = 2 ® h(2) - 3 h(1) + 2 h(0) = 0 - 2 h(2) = 3 · 2 - 2 = 4 50

Određivanje jediničnog odziva § Karakteristična jednadžba q 2 - 3 q + 2 =

Određivanje jediničnog odziva § Karakteristična jednadžba q 2 - 3 q + 2 = 0 ® q 1 = 1, q 2 = 2 h(k) = C 1· 1 k + C 2· 2 k , za k > 0 h(1) = C 1· 1 + C 2· 2 = 2 · 2 + h(2) = C 1· 1 + C 2· 4 = 4 C 1 = 0, C 2 = 1 51

Konvolucijska sumacija § Linearni sustav karakteriziran je svojstvom H(E)[a{u 1(k)} + b{u 2(k)}] =

Konvolucijska sumacija § Linearni sustav karakteriziran je svojstvom H(E)[a{u 1(k)} + b{u 2(k)}] = = a H(E) {u 1(k)} + b H(E) {u 2(k)} odnosno za jedinični odziv vrijedi {h(k)} = H(E) {d (k)}; H(E) {cd (k)} = {ch(k)} § Za vremenski promjenljiv sustav vrijedi H(E) {d (k - i)} = {h(k, i)} § Za vremenski nepromjenljiv sustav vrijedi H(E) {d (k - i)} = {h(k - i)} 52

Konvolucijska sumacija § Pretpostavimo proizvoljni signal oblika u = … u( - 1) {d

Konvolucijska sumacija § Pretpostavimo proizvoljni signal oblika u = … u( - 1) {d (k + 1)} + u(0) {d (k)} + + u(1) {d (k - 1)} + u(2) {d (k - 2)} + … u(i) {d (k - i)} ® u(i) {h(k - i)} § Odziv na niz u je y = … u( - 1) {h(k + 1)} + u(0) {h(k)} + + u(1) {h(k - 1)} + u(2) {h(k - 2)} + … § Obje sekvence se mogu napisati kraće u obliku tzv. konvolucijske sumacije 53

Konvolucijska sumacija u = u*d § Za vremenski promjenjiv sustav § k - ti

Konvolucijska sumacija u = u*d § Za vremenski promjenjiv sustav § k - ti uzorak ove sekvence je dan s 54

Konvolucijska sumacija § Za vremenski stalan sustav je y = u*h ili § Konvolucijska

Konvolucijska sumacija § Za vremenski stalan sustav je y = u*h ili § Konvolucijska sumacija omogućuje određivanje odziva na bilo kakvu pobudu kad je poznat odziv na d niz 55

Konvolucija dvaju signala § Primjer: 56

Konvolucija dvaju signala § Primjer: 56

Konvolucija dvaju signala § Primjer: y(k) u(i) 10 0 1 2 3 4 i

Konvolucija dvaju signala § Primjer: y(k) u(i) 10 0 1 2 3 4 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i 5 h(k-i) -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 k 57

Konvolucija dvaju signala § Primjer: u(i) h(k-i) i -1 0 1 2 3 4

Konvolucija dvaju signala § Primjer: u(i) h(k-i) i -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 i y(k) k 58

Dekonvolucija § Postupak dobivanja nepoznate pobude {u(k)}, ako je poznat odziv sustava {y(k)} §

Dekonvolucija § Postupak dobivanja nepoznate pobude {u(k)}, ako je poznat odziv sustava {y(k)} § Izraz za konvoluciju (diskretni oblik) je što vodi na jednostavnu rekurzivnu formulu 59

Dekonvolucija § Za uzorak u(k) koriste se prethodni uzorci u(0), u(1), … u(k -

Dekonvolucija § Za uzorak u(k) koriste se prethodni uzorci u(0), u(1), … u(k - 1) § Ukoliko je {u(k)}*{v(k)} = {d (k)} {v(k)} = {u(k)}-1 § nizovi su međusobno inverzni 60