RESISTNCIA DOS MATERIAIS I Aula 8 Energia de

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 8 -Energia de Deformação

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA § Trabalho de uma força; § Energia de deformação – carga axial; § Energia de deformação cisalhante; § Energia de deformação torção; ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRABALHO DE UMA FORÇA Em mecânica, uma força realiza trabalho quando ocorre um deslocamento. O trabalho realizado é um escalar definido por: Se o deslocamento for x, teremos: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRABALHO DE UMA FORÇA ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRABALHO DE UMA FORÇA Suponha que na figura anterior a força F aumenta gradualmente de 0 até P e que o deslocamento final da barra seja x. Considerando um material comportamento linear, a força é proporcional à deformação. Dessa forma: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRABALHO DE UMA FORÇA Substituindo a expressão para F na integral do trabalho, e integrando de 0 a x, temos que: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO Cargas aplicadas num corpo provocam deformações. Não havendo dissipação de energia na forma de calor, o trabalho externo realizado pelas cargas será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação. Essa energia é sempre positiva e é provocada pela ação da tensão normal ou da tensão de cisalhamento ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I sz ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL Considere o elemento dx de volume da figura. Se este elemento for submetido a uma tensão normal s. Z, a força dy dz criada nas faces superior e inferior é: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL Se a carga varia gradualmente de 0 a d. F o elemento sofrerá um deslocamento Z= ez. dz. Assim, o trabalho realizado por d. F é d. Ui Mas, d. V = dx. dy. dz ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL Assim, se o corpo está sujeito a uma tensão normal s, a energia de deformação será: Comportamento linear elástico Lei de Hooke (s = E. e). A energia de deformação será: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CARGA AXIAL Considere uma barra de comprimento L, seção transversal constante A e com esforço axial N, teremos que s = N/A. Substituindo s na integral da energia de deformação, temos que: Mas d. V = A. dx, portanto: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Uma haste de aço tem seção transversal quadrada 10 mm x 10 mm e comprimento de 2 m. Calcule a energia de deformação quando uma tensão de 400 MPa é aplicada, tracionando-a axialmente. Considere que para este aço o módulo de Young seja 200 GPa ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 SOLUÇÃO: Energia de deformação (carga axial): Como s e E são constantes • Área: 10 mm = 10. 10 -3 m A = (10. 10 -3)2 m 2 = 10 -4 m 2 • Volume: V = 2. 10 -4 m 3 • Tensão = 400. 106 Pa Assim, U = [(400. 106)2. 2. 10 -4]/(2. 200. 109)= 80 J ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO Uma expressão de energia de deformação semelhante à da tensão normal também poderá ser estabelecida para o material, quando ele é submetido à tensão de cisalhamento. Considere um elemento de volume sob a ação de uma tensão cisalhante provocando uma deformação do elemento. ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO t dx g. dz dy dz g ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO No caso apresentado, a tensão de cisalhamento provoca a deformação gdz do elemento tal que: A energia de deformação do elemento será: Integrando: (Lei de Hooke) ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – CISALHAMENTO Vamos considerar um elemento estrutural particular, uma viga de seção retangular constante e dimensões b e h. A energia de deformação decorrente do cisalhamento V depende de f. S, fator de forma, e é dada por: Para este elemento estrutural f. S = 6/5 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Determinar a energia de deformação na viga em balanço decorrente de cisalhamento, considerando uma seção transversal quadrada e a carga distribuída uniforme. DADOS: W = 2 k. N/m; G = 200 GPa ; a = 50 cm e L = 2 m ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Inicialmente devemos analisar o diagrama do corpo livre w. x V M x ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Solução: W = 2000 N/m; 200. 109 Pa; a = 0, 5 m (A = 0, 25 m 2) e L = 2 m DCL - equilíbrio em y: V – w. x = 0 V = w. x f. S = 6/5 (seção retangular) ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Solução: Como f. S , G e A são constantes, temos que: Substituindo V = w. x na integral, temos que: Substituindo os valores apresentados no exercício, temos que: Ui = 0, 128 m. J ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO Consideremos um eixo cônico. A seção do eixo a uma distância x de uma extremidade fica submetida a um torque interno T. A tensão de cisalhamento que provoca T varia linearmente ao longo do raio da seção. Num elemento dx com área d. A, a tensão é dada por t = T. r/J (fórmula da torção) ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – TORÇÃO A energia de deformação armazenada no eixo será: Note que a última integral é o momento polar de inércia. Assim, No caso de uma barra de seção constante, J é constante e, portanto: ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 O eixo tubular da figura (a) está engastado na parede e submetido a dois torques. Determine a energia de deformação armazenada no eixo. considere G = 75 GPa ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: § Trabalho de uma força; § Energia de deformação – carga axial e aplicações; § Energia de deformação cisalhante e aplicações; § Energia de deformação em torção e aplicações; ENERGIA DE DEFORMAÇÃO – AULA 8