RESISTNCIA DOS MATERIAIS I Aula 10 Anlise de

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I Aula 10 – Análise de Tensões

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA § Analisar as tensões principais; § Verificar as tensões de cisalhamento máximas; § Reconhecer o Circulo de Mohr para tensões. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ANÁLISE DE TENSÕES PRINCIPAIS • O estado geral de tensão é caracterizado por seis tensões independentes (3 normais e 3 cisalhantes); • O estado geral de tensão não é comum em engenharia; • Engenheiros fazem simplificações e tornam este estado em um plano de tensão, ou seja, um único plano e com três componentes (2 normais e 1 cisalhante). ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO GERAL DE TENSÃO z yz xz xy y x ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL sy txy • z = 0; • yz = 0; • xz = 0. txy sx sx txy sy ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I ESTADO PLANO DE TENSÃO – VISÃO BIDIMENSIONAL Na prática da engenharia, muitas vezes é importante determinar a orientação dos planos para encontrar situações particulares (tensões máxima e mínima). As tensões normais e as tensões de cisalhamento variam continuamente quando os eixos são rotacionados através do ângulo q, nos planos em que as tensões agem. Observe a figura a seguir. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO sy sy’ txy tx'y’ sx' tx'y’ txy q sx sx txy sy' sx' txy sy x x’ y y’ tx'y’ xy x’y’ ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO NO PLANO - EXPRESSÕES Abaixo temos as relações que fazem as transformações x x’ y y’ xy x’y’ ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 O estado plano de tensão em um ponto é representado pelo elemento da figura. Determine o estado de tensão no ponto em outro elemento orientado a 30º no sentido horário em relação à posição mostrada. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 50 MPa 25 MPa 80 MPa q = - 300 ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 Da figura e observando a convenção de sinais temos que: x= - 80 Mpa; y= + 50 Mpa ; xy = - 25 Mpa e q = - 30º ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 1 ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Para determinarmos tais valores devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero: Assim, ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TENSÕES PRINCIPAIS NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp 1 e q = qp 2) onde as tensões normais são máxima e mínima. Fazendo as substituições devidas, teremos: Dependendo do sinal utilizado, determinaremos o valor máximo ou mínimo. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Para determinarmos este valor devemos derivar a seguinte equação e igualar a zero: Assim, ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I TENSÃO DE CISALHAMENTO MÁXIMA NO PLANO Dessa forma foram determinados as orientações do planos (q = qp 1 e q = qp 2) onde a tensão cisalhante é máxima. Os planos para tal condição são aqueles rotacionados de 45º em relação aos planos de tensão principal. Neste plano, ocorre uma tensão normal denominada média e dada por: ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 Suponha que uma torção T seja aplicada a uma barra e produza um estado de cisalhamento puro no material. Determine: a) A tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão média associada; b) As tensões principais. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 • sx = sy= 0 e txy= -t ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 2 • sx = sy= 0 e txy= t q = 450 1 ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 2 • Substituindo 45º e 135º 2 = - q = 450 1 = ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. Neste tópico, é possível mostrar que as equações para transformação da tensão no plano têm uma solução gráfica que muitas vezes é mais conveniente. Além disso, essa abordagem nos permite “visualizar” qual será a variação das componentes de tensão normal e tensão de cisalhamento, à medida que o plano em que agem é orientado em diferentes direções. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. A partir das equações: É possível escrever que: ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I CÍRCULO DE MOHR PARA TENSÕES. (sx – sy)/2 s(+) C txy R smédio A t(+) sx ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Devido a carga aplicada a um cilindro maciço um ponto A fica submentido ao estado de tensão abaixo. Desenhe o círculo de Mohr. 12 MPa 6 MPa ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 Pela convenção: sx = -12 MPa; sy= 0 e txy= -6 MPa • Centro do círculo: • Ponto inicial A: • Raio R: ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I APLICANDO O CONHECIMENTO – EX 3 12 A R 6 2 qp s C 6 t ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: § § As tensões principais; As tensões de cisalhamento máximas; O círculo de Mohr para tensões; Aplicações. ANÁLISE DE TENSÕES – AULA 10