PROCESOS RADIATIVOS Clase 1 Fundamentos de la teoria

PROCESOS RADIATIVOS Clase 1. Fundamentos de la teoria de la radiacion 1. Definiciones basicas de la radiacion 1. 1 Intensidad especifica o brillo La cantidad de energia d. E que fluye a traves del area d. A, en el intervalo de tiempo dt, ancho de banda d , y angulo solido d , la expresamos como: Esta relacion define la intensidad especifica I. Note que 20 de Marzo, 2006

En el vacio, I es una propiedad invariante de un campo electromagnetico. Sean d. A y d. A´ dos elementos de area separados por una distancia R. Considere todos los rayos que pasan a traves de ambas superficies. Energia que fluye a traves de d. A en el angulo solido proyectado por d. A´: Energia que fluye a traves de d. A´ en el angulo solido proyectado por d. A: Del principio de la conservacion de la energia: Ademas, y I es independiente de la distancia entre la fuente y el observador.

1. 2 Densidad de flujo La cantidad de energia d. E que fluye a traves del area d. A, en el intervalo de tiempo dt, y ancho de banda d , la expresamos como: Esta relacion define la densidad de flujo F. Usando la definicion de la intensidad especifica, tenemos 1. 2. 1 Casos particulares : A. Densidad de flujo de una fuente que emite radiacion isotropicamente: La densidad de flujo depende de la distancia entre la fuente y el observador.

B. Flujo en un punto en el cual la intensidad de la radiacion es isotropica: F = 0. 1. 3 Presion de radiacion Momentum del foton a lo largo del rayo L es: Presion = momentum normal a d. A por unidad de tiempo y de area 1. 4 Densidad de energia radiativa, u u : energia por unidad de volumen y por unidad de frecuencia.

Definimos la energia u I ( ) por unidad de volumen d. V, por unidad de frecuencia d , y unidad de angulo solido d , como: Consideremos un cilindro de largo cdt en la direccion de un rayo. 1. Energia contenida en el cilindro en un angulo solido d : 2. En el intervalo de tiempo dt toda la radiacion contenida en el cilindro pasara a traves de d. A , de manera que Por lo tanto,

Integrando sobre el angulo solido, se encuentra que donde es la denominada intensidad media. Si la radiacion es isotropica, se tiene que Jν= Iν. En este caso la presion de radiacion es:

Clase 2. Transferencia de la radiacion 2. 1 Emision Coeficiente de emision espontanea : Se define que la cantidad de energia emitida por unidad de tiempo, angulo solido, volumen y frecuencia es: Considere un haz de rayos con un angulo solido d y de seccion recta d. A , que recorre una distancia ds. Sean I e I ´ las intensidades a la entrada y salida del cilindro, respectivamente. • Energia agregada al haz por emisiones espontaneas: 20 de Marzo, 2006

• Energia que entra al volumen: • Energia que sale del volumen: De la conservacion de energia: 2. 2 Absorcion Se define el coeficiente de absorcion k la perdida de intensidad de un haz al viajar la distancia ds esta dada por

Esta relacion fenomenologica se puede entender de la siguiente manera. Consideremos un medio absorbente n : densidad de particulas : area eficaz de absorcion (o seccion recta) de cada particula Veamos el efecto de este medio en la radiacion que pasa a traves de d. A dentro del angulo solido d : Numero de absorbentes en el volumen considerado: nd. Ads Area total presentada por los absorbentes n d. A ds Energia absorbida del haz: :

2. 3 Ecuacion de la transferencia de la radiacion El cambio de la intensidad de un rayo al pasar por un medio absorbente y emisor esta dada por: k y j dependen de los procesos fisicos en el medio bajo consideracion. Soluciones: Caso en el que hay solo emision (k =0) El crecimiento en el brillo es igual al coeficiente de emision integrado a lo largo de la linea de la visual.

Caso en el que hay solo absorcion (j =0) Integrando, 2. 4 Profundidad optica y funcion de la fuente Se define la profundidad optica tal que : o bien

Cuando > 1 : medio es opticamente grueso. Cuando < 1 : medio es opticamente delgado. En funcion de la ecuacion de la transferencia toma una forma mas sencilla: donde es la denominada funcion de la fuente. La ecuacion (1) tiene una solucion del tipo: donde f( ) es una funcion por determinar. Reemplazando (2) en (1) se encuentra que

Substituyendo en (1), Primer termino derecha : Intensidad inicial disminuida por absorciones. Segundo termino derecha : Funcion de la fuente disminuida por la absorcion integrada a lo largo de la visual. Caso particular: S ( )=constante= S • Cuando ∞, I S. • Si I > S d. I /d < 0, I tiende a decrecer a lo largo del rayo. • Si I < S d. I /d > 0, I tiende a crecer a lo largo del rayo.

2. 5 Temperatura de brillo Se suele caracterizar la intensidad specifica de la radiacion a una cierta frecuencia por la temperatura del cuerpo negro que emite la misma intensidad a esa frecuencia: I = B (Tb). La temperatura de brillo tiene la ventaja de que esta asociada con las propiedades fisicas del emisor. En el limite de bajas frecuencias: 2. 6 Camino libre medio Se define el camino libre medio como la distancia promedio que un foton puede viajar a traves de un medio absorbente sin ser absorbido. De la ley exponencial para la absorcion:

se tiene que la probabidad de que un foton viaje al menos una profundidad optica es e - La profundidad optica promedio que viaja el foton es: De manera que < > =1. La distancia fisica promedio recorrida por el foton en un medio es definida como el camino libre medio l ,

Clase 3. Radiacion termal La radiacion termal corresponde a radiacion emitida por materia en equilibrio termodinamico. 3. 1 Radiacion de cuerpo negro Radiacion que esta en equilibrio termico con la materia. Propiedades: La intensidad de un cuerpo negro es independiente de las propiedades del recipiente y solo depende de la temperatura. Considere dos recipientes arbitrarios a temperatura T separados por un filtro que solo deja pasar energia a una determinada frecuencia . Si I I’ , energia fluira espontaneamente de un recipiente a otro lo que viola la segunda ley de la termodinamica. I = B (T) : Funcion de Planck 27 de Marzo, 2006

3. 2 Leyes de Kirchhoff para la emision termal. Considere material que emite a la temperatura T. En este caso la emision depende de T y de las propiedades internas del material. Sea S la funcion de la fuente. Pongase el cuerpo en recipiente de cuerpo negro. De la ecuacion de la transferencia: La nueva configuracion es tambien un cuerpo negro a la temperatura T. Ley de Kirchhoff

Es importante distinguir entre la radiacion de cuerpo negro [I =B (T)] y la radiacion termal [S =B (T)]. 3. 3 Funcion de Planck Haremos la derivacion en dos etapas: A. Densidad de estados de fotones en una cavidad de cuerpo negro. B. Energia promedio de cada estado del foton. A. Considere un foton con frecuencia que se propaga en la direccion n dentro de una caja (Lx, Ly, Lz). Vector de onda del foton: Si << L, el foton puede ser considerado como una onda estacionaria. Numero de nodos de la onda en la direccion x :

La onda cambia de estado de una manera distinguible cuando el numero de nodos en una direccion dada cambia por uno o mas. n mide el numero de estados. El numero de cambio de nodos en el intervalo de numero de onda kx es: Por lo tanto el numero de estados en el elemento 3 -D de onda kx ky kz d 3 k es: “ 2” dos estados por cada vector de onda debido a las diferentes polarizaciones. Por otro lado,

El numero de estados por unidad de volumen, angulo solido y frecuencia, es entonces: B. Energia promedio de cada estado del foton. • Foton con frecuencia tiene energia h . • Cual es la energia promedio del estado que tiene la frecuencia ? Cada estado puede contener n fotones de energia h , (n=0, 1, 2, …. . ). La energia del estado con n fotones es : En = n h . De la mecanica estadistica sabemos que la probabilidad de un estado de energia En es proporcional a exp(- En), donde = 1/k. T. Energia promedio E:

estadistica de Bose-Einstein para un numero ilimitado de particulas. Esta ecuacion dice que el numero promedio de fotones con frecuencia , n , es La energia por unidad de angulo solido, volumen y frecuencia, u (Ω), es entonces: Recordando que u (Ω) = I /c, y que en este caso I = B , encontramos que

Disgresion acerca de angulos solidos • 2 -Dimensiones Angulo: Distancia en un circulo de radio unitario. • 3 -Dimensiones Angulo solido: Area en una esfera de radio unitario