Poglavlje 20 Minimiziranje trokova Minimiziranje trokova Firma minimizira

Poglavlje 20 Minimiziranje troškova

Minimiziranje troškova Firma minimizira troškove ako proizvodi bilo koji nivo autputa y ³ 0 uz najmanje moguće ukupne troškove. c(y) označava najmanje moguće troškove firme kada proizvodi y jedinica autputa. c(y) je funkcija ukupnih troškova.

Kada je firma suočena sa zadatim cenama inputa w = (w 1, w 2, …, wn) funkciju ukupnih troškova pišemo kao c(w 1, …, wn, y)

Problem minimiziranja troškova Razmotrimo firmu koja koristi dva inputa da bi napravila jedan autput. Proizvodna funkcija je y = f(x 1, x 2) Neka je zadat nivo proizvodnje y ³ 0. Za zadate cene inputa w 1 i w 2, troškovi korpe inputa (x 1, x 2) iznose w 1 x 1 + w 2 x 2.

Za zadate vrednosti w 1, w 2 i y, problem minimiziranja troškova sastoji se u rešavanju uz ograničenje

Nivoi x 1*(w 1, w 2, y) i x 2*(w 1, w 2, y) u najjevtinijoj korpi inputa firme predstavljaju uslovne tražnje za inputima 1 i 2. Zbog toga su najmanji mogući ukupni troškovi kod proizvodnje y jedinica autputa

Uslovne tražnje za inputima Za zadate vrednosti w 1, w 2 i y, na koji način locirati najjevtiniju korpu inputa? Na koji način odrediti funkciju ukupnih troškova?

Izotroškovne krive Kriva koja sadrži sve korpe inputa koje jednako koštaju naziva se izotroškovna kriva. Npr. , za zadate vrrdnosti w 1 i w 2, izotroškovna linija za $100 data je jednačinom

U opštem slučaju, za zadate vrednosti w 1 i w 2, jednačina za izotroškovnu liniju od $c je Nagib je - w 1/w 2.

x 2 c” º w 1 x 1+w 2 x 2 c’ < c” x 1

x 2 nagibi = -w 1/w 2. c” º w 1 x 1+w 2 x 2 c’ < c” x 1

Izokvanta za y’ jedinica autputa x 2 Sve korpe inputa daju y’ jedinica autputa. Koja korpa je najjevtinija? f(x 1, x 2) º y’ x 1

x 2 Sve korpe inputa daju y’ jedinica autputa. Koja korpa je najjevtinija? f(x 1, x 2) º y’ x 1

x 2 Sve korpe inputa daju y’ jedinica autputa. Koja korpa je najjevtinija? f(x 1, x 2) º y’ x 1

x 2 Sve korpe inputa daju y’ jedinica autputa. Koja korpa je najjevtinija? f(x 1, x 2) º y’ x 1

x 2 Sve korpe inputa daju y’ jedinica autputa. Koja korpa je najjevtinija? x 2* f(x 1, x 2) º y’ x 1* x 1

x 2 U unutrašnjoj tački kod korpe inputa važi: (a) i (b) nagib izotr. linije = nagib izokvante, tj. x 2* f(x 1, x 2) º y’ x 1* x 1

Kob – Daglasova proizvodna funkcija Neka je Kob – Daglasova proizvodna funkcija firme Cene inputa su w 1 i w 2. Koje su uslovne funkcije tražnje firme za inputima?

U tački (x 1*, x 2*) za koju je obezbeđen minimum troškova u proizvodnji y jedinica autputa (a) i (b)

(a) (b) Iz (b), Sada zamenite ovaj izraz u (a), pa dobijate Dakle, predstavlja uslovnu tražnju firme za inputom 1

Pošto je a predstavlja uslovnu tražnju firme za inputom 2

Na taj način, najjevtinija korpa inputa koja daje y jedinica autputa je

Uslovne krive tražnje za inputima fiksno w 1 i w 2.

fiksno w 1 i w 2.

fiksno w 1 i w 2.

fiksno w 1 i w 2.

fiksno w 1 i w 2. ekspanziona putanja autputa

fiksno w 1 i w 2. Uslovna tražnja za inputom 2 ekspanziona putanja autputa Uslovna tražnja za inputom 1

Za proizvodnu funkciju najjevtinija korpa inputa koja daje y jedinica autputa je

Zato je funkcija ukupnih troškova firme koja proizvodi y jedinica autputa

Primer savršenih komplemenata Proizvodna funkcija je oblika Cene inputa w 1 i w 2 su zadate. Kakve su uslovne funkcije tražnje za inputima 1 i 2? Kakva je funkcija ukupnih troškova?

x 2 4 x 1 = x 2 min{4 x 1, x 2} º y’ x 1

x 2 4 x 1 = x 2 min{4 x 1, x 2} º y’ x 1

x 2 4 x 1 = x 2 Gde se nalazi najjevtinija korpa inputa koja daje y’ jedinica autputa? min{4 x 1, x 2} º y’ x 1

x 2 4 x 1 = x 2 Gde se nalazi najjevtinija korpa inputa koja daje y’ jedinica autputa? min{4 x 1, x 2} º y’ x 2* = y x 1* = y/4 x 1

Proizvodna funkcija firme je a uslovne tražnje za inputima su i Funkcija ukupnih troškova biće

Prosečni ukupni troškovi Za pozitivne nivoe autputa y, prosečni ukupni troškovi firme koja proizvodi y jedinica su

Prinosi na obim ulaganja i prosečni ukupni troškovi Osobine prinosa na obim ulaganja determinišu na koji način se menjaju prosečni troškovi usled promena nivoa autputa. Neka firma trenutno proizvodi y’ jedinica autputa. Na koji način se menjaju prosečni troškovi firme ako ona odluči da proizvede 2 y’ jedinica autputa?

Konstantni prinosi i prosečni ukupni troškovi Ako tehnologija pokazuje konstantne prinose, onda će udvostručenje nivoa autputa sa y’ na 2 y’ zahtevati dupliranje nivoa svih inputa. Ukupni troškovi proizvodnje će se udvostručiti. Prosečni troškovi neće se promeniti.

Rastući prinosi i prosečni ukupni troškovi Ako tehnologija pokazuje rastuće prinose, onda će udvostručenje nivoa autputa sa y’ na 2 y’ zahtevati manje od dupliranja nivoa svih inputa. Ukupni troškovi proizvodnje će porasti manje nego dvostruko. Prosečni troškovi nužno opadaju.

Opadajući prinosi i prosečni ukupni troškovi Ako tehnologija pokazuje opadajuće prinose, onda će udvostručenje nivoa autputa sa y’ na 2 y’ zahtevati više nego dupliranje nivoa svih inputa. Ukupni troškovi proizvodnje će se povećati više nego dvostruko. Prosečni troškovi nužno će porasti.

$/jedinica autputa PT(y) opadajući prinosi konstantni prinosi rastući prinosi y

Kako ovo utiče na oblik funkcije ukupnih troškova?

PT rastu sa porastom y ako tehnologija $ pokazuje opadajuće prinose c(2 y’) nagib = c(2 y’)/2 y’ = PT(2 y’) nagib = c(y’)/y’ = PT(y’) c(y’) y’ 2 y’ y

PT rastu sa porastom y ako tehnologija $ pokazuje opadajuće c(y) prinose nagib = c(2 y’)/2 y’ c(2 y’) = PT(2 y’). nagib = c(y’)/y’ = PT(y’). c(y’) y’ 2 y’ y

PT opadaju sa porastom y ako tehnologija $ pokazuje rastuće prinose c(2 y’) nagib = c(2 y’)/2 y’ = PT(2 y’). c(y’) nagib = c(y’)/y’ = PT(y’). y’ 2 y’ y

PT opadaju sa porastom y ako tehnologija $ pokazuje rastuće c(y) c(2 y’) prinose nagib = c(2 y’)/2 y’ = PT(2 y’). c(y’) nagib = c(y’)/y’ = PT(y’). y’ 2 y’ y

$ PT ostaju konstantni sa porastom y ako c(y) c(2 y’) tehnologija pokazuje =2 c(y’) konstantne prinose nagib = c(2 y’)/2 y’ = 2 c(y’)/2 y’ = c(y’)/y’ c(y’) PT(y’) = PT(2 y’). y’ 2 y’ y

Kratkoročni i dugoročni ukupni troškovi Na dug rok firma može da menja nivoe svih inputa. Razmisimo o firmi koja ne može da menja nivo inputa koji je jednak x 2’ jedinica. Kako da uporedimo kratkoročne ukupne troškove proizvodnje y jedinica autputa sa dugoročnim troškovima proizvodnje istih y jedinica autputa?

Dugoročni problem minimizacije troškova je uz ograničenje Kratkoročni problem minimizacije troškova je uz ograničenje

Kratkoročni problem identičan je dugoročnom problemu minimiziranja troškova uz ograničenje da je x 2 = x 2’. Kada bi dugoročan izbor x 2 bio x 2’ , onda ograničenje x 2 = x 2’ u stvari ne bi bilo ograničenje pa bi ukupni troškovi u kratkom i dugom roku kod proizvodnje y jedinica autputa bili isti.

Problem minimiziranja troškova u kratkom roku zbog toga se svodi na problem minimiziranja troškova u dugom roku uz dopunsko ograničenje x 2 = x 2”. Međutim, ukoliko dugoročni izbor daje x 2 ¹ x 2” , onda dopunsko ograničenje x 2 = x 2” sprečava firmu da u kratkom roku dostigne dugoročnu krivu troškova, dovodeći do toga da kratkoročni ukupni troškovi premašuju dugoročne troškove proizvodnje y jedinica autputa.

x 2 tri nivoa autputa x 1

x 2 U dugom roku firma može slobodno da bira i x 1 i x 2, najjeftinije korpe inputa su. . . x 1

x 2 dugoročna ekspanziona putanja autputa x 1

dugoročni troškovi su: x 2 dugoročna ekspanziona putanja autputa x 1

Sada pretpostavimo da firma podleže kratkoročnom ograničenju prema kome je x 2 = x 2”.

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa x 1

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa x 1

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa kratkoročni troškovi su: x 1

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa kratkoročni troškovi su: x 1

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa kratkoročni troškovi su: x 1

dugoročni troškovi su: x 2 kratkoročna ekspanziona putanja autputa kratkoročni troškovi su: x 1

Kratkoročni ukupni troškovi premašuju dugoročne ukupne troškove izuzev za onaj nivo autputa za koji je nivo inputa određen kratkoročnim ograničenjem istovremeno i dugoročni nivo inputa koji predstavlja dugoročni izbor firme. Iz ovoga sledi da dugoročna kriva ukupnog troška uvek poseduje dodirnu tačku sa bilo kojom posebnom kratkoročnom krivom ukupnih troškova.

$ Kratkoročna kriva ukupnog troška uvek ima jednu dodirnu tačku sa dugoročnom krivom ukupnog troška, inače se nalazi iznad dugoročne krive ukupnog troška. cs(y) c(y) y