Plans dexprience Mthode Taguchy Analyse de la variance

Plans d'expérience Méthode Taguchy Analyse de la variance Anavar

La méthode Objectif : Proposer une méthode plus rigoureuse de sélection des paramètres influents. Certitude/risque Moyen : On compare la variance de la sortie liées au réglage d'un paramètre à la variance naturelle de la sortie.

1) Principe T° Condition série Pression Vitesse Constat : La sortie est variable même pour des valeurs de paramètres supposées constante

1) Principe Action sur T° 30° T° Condition série Pression Vitesse 60° Constat : La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la température

1) Principe Action sur VITESSE 20 t/min T° Condition série Pression Vitesse Constat : 5 t/min La sortie varie de manière sensiblement équivalente lorsque l'on modifie le réglage de vitesse.

1) Principe Action sur PRESSION 20 bars T° Condition série Pression Vitesse Constat : 10 bars La sortie varie de manière plus significative si on modifie le réglage de la pression.

1) Principe Action sur T° 30° Action sur VITESSE Action sur PRESSION 20 bars 20 t/min T° Condition série Pression Vitesse 60° Constat : 5 t/min 10 bars Certains paramètres interviennent plus que d'autres

1) Définitions NF -X 06 -006 Variance : Ecart type au carré Population Grandeur Echantillon X Moyenne x σ Ecart type σ s σ2 variance σ2 s 2 X Caractère x N Effectif n

NF -X 06 -006 3) Rappels loi normale Loi Normale Loi de GAUSS Moyenne de la population : Ecart-type de la population : -3σ +3σ 99, 73%

4) Calcul de la somme des carrés pour un paramètre Y a 2 a 1 X 2 N lignes r répétitions na modalités

4) Calcul de la somme des carrés pour une interaction Sur le même principe N lignes r répétitions na modalités de X nb modalité de Y

Construction du Test des Variances Considérons le rapport des variances avec et = Variance estimée du paramètre = Variance estimée du processsus ( sans les effets des paramètres) Fc est défini comme le nombre de FISHER calculé

Le Test consiste à choisir entre deux hypothèses • Hypothèse H 0 : Fc = 1 => Variances égales. • Hypothèse H 1 : Fc # 1 => Variances différentes. Pratiquement le Test compare : la valeur de Fc (calculé) à la valeur de Ft (tabulé), obtenue par lecture de la table de FISHER SNEDECOR en fonction du seuil de signification et du nombre de degrés de liberté des échantillons.

DECISIONS Le Paramètre n'est pas influent si : Fc < Ft La différence des Variances n'est pas significative. Le paramètre est influent si : Fc > Ft La différence des Variances est significative.

Table de Fisher Snedecor TEST DE FISHER-SNEDECOR 3 variables en entrée = Ddl du paramètre = Ddl du résidu = Risque de se tromper

Table de Fisher Snedecor DDL résidu 0, 05 0, 01 DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) 2 2 3 3 4 4 5 5 Intervalle de confiance à 1% et 5% 0, 05 0, 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4052 98, 49 34, 12 21, 20 16, 26 13, 74 12, 25 11, 26 10, 56 10, 04 9, 65 9, 33 9, 07 8, 86 8, 68 8, 53 8, 40 8, 28 8, 10 199, 5 19, 00 9, 55 6, 94 5, 79 5, 14 4, 76 4, 26 4, 10 3, 98 3, 80 3, 74 3, 68 3, 63 3, 59 3, 55 3, 52 3, 49 4999 99, 00 30, 81 18, 00 13, 27 10, 91 9, 55 8, 65 8, 02 7, 56 7, 20 6, 93 6, 70 6, 51 6, 36 6, 23 6, 11 6, 01 5, 93 5, 85 215, 7 19, 16 9, 28 6, 59 5, 41 4, 76 4, 35 4, 07 3, 86 3, 71 3, 59 3, 41 3, 24 3, 29 3, 24 3, 20 3, 16 3, 13 3, 10 5403 99, 17 29, 46 16, 69 12, 06 9, 78 8, 45 7, 59 6, 99 6, 55 6, 22 5, 95 5, 74 5, 56 5, 42 5, 29 5, 18 5, 09 5, 01 4, 94 224, 6 19, 25 9, 12 6, 39 5, 19 4, 53 4, 12 3, 84 3, 63 3, 48 3, 36 3, 26 3, 18 3, 11 3, 06 3, 01 2, 96 2, 93 2, 90 2, 87 5625 99, 25 28, 71 15, 98 11, 39 9, 15 7, 86 7, 01 6, 42 5, 99 5, 67 5, 41 5, 20 5, 03 4, 89 4, 77 4, 67 4, 58 4, 50 4, 43 230, 2 19, 30 9, 01 6, 26 5, 05 4, 39 3, 97 3, 69 3, 48 3, 33 3, 20 3, 11 3, 02 2, 96 2, 90 2, 85 2, 81 2, 77 2, 74 2, 71 5764 99, 30 28, 24 15, 52 10, 97 8, 75 7, 45 6, 63 6, 06 5, 64 5, 32 5, 06 4, 86 4, 69 4, 56 4, 44 4, 34 4, 25 4, 17 4, 10 6, 64 2, 99 4, 60 2, 60 3, 78 2, 37 3, 32 2, 21 3, 02 1 161, 4 18, 51 10, 13 7, 71 6, 61 5, 99 5, 59 5, 32 5, 12 4, 96 4, 84 4, 75 4, 67 4, 60 4, 54 4, 49 4, 45 4, 41 4, 38 4, 35 Infini 3, 84 1

Table de Fisher Snedecor TEST DE FISHER-SNEDECOR REMARQUE IMPORTANTE Les DDL du dénominateur seront ceux attribués au résidu lors de l'analyse de Variance. En pratique, il faut se réserver au moins 3 DDL pour le résidu.

Calcul de la variance d'un paramètre VARIANCE d'un paramètre = Somme des carrés des écarts ddl du paramètre

Calcul de la variance des residus Lorsque les résultats sont issus de l'expérience, le Résidu n'est pas connu au départ. L'approche TAGUCHI consiste à appréhender la variance du résidu par la relation : Somme carrée du Plan - Somme carrée des Facteurs = Somme carrée du Résidu.

Exercice Culass Temperatur Altitude e e Essai Injection Resultats 1 1 1 203 199 2 1 1 2 2 204 209 3 1 2 1 1 214 212 4 1 2 215 210 5 2 1 1 2 173 6 2 1 181 183 7 2 2 1 2 201 8 2 2 2 1 205 202 199, 0625

Tableau d'analyse de la variance Parametre I C A T Effet moyen Somme carrés I 1 = I 2 = C 1 = C 2 = A 1 = A 2 = T 1 = T 2 = ddl variance I 1 C 1 = IC I 1 C 2 = I 2 C 1 = I 2 C 2 = Moyenne = 199, 06 Residu Plan Ft Fc %contrib

Moyenne du plan - ddl Parametre I C A Effet moyen Somme carrés I 1 = I 2 = C 1 = C 2 = A 1 = ddl du plan - T 1 = Tsomme des ddl des T 2 = facteurs et des I 1 C 1 = interactions I 1 C 2 = IC A 2 = I 2 C 1 = ddl 1 variance Ft %contrib nb modalites - 1 1 Produit des ddl des actions qui composent l'interaction 1 I 2 C 2 = Moyenne = 199, 06 Residu Fc 10 nb essais - 1

Effet des facteurs Effet de X au niveau i = moyenne des sorties ou X est au niveau i - moyenne générale des sorties Moyenne 199, 06 générale Paramètre I C A T niveau 1 2 1 2 201, 125 199, 875 198, 25 Moyenne 208, 25 189, 87 190, 5 207, 63 197 9, 19 -8, 5699 -2, 065 0, 8149 Effet 99999 0, 8100 99999 00000 8 00000 2

Interactions Xi. Yj = moyenne des sorties des essais ou X est au niveau i Y au niveau j - (moyenne générale+Effet de X au niveau i+Effet de Y au niveau j) Moyenne générale 199, 06 Facteur 1 I niveau 1 2 Effets 9, 19 -9, 19 Facteur 2 C C niveau 1 2 Effet -8, 56 moyenne 203, 75 212, 75 177, 25 202, 5 Interaction 4, 06 -4, 0699 99999

Analyse de la variance Parametre II C C A A T T IC IC Effet moyen Somme carrés I 1 = = 9, 19 I 2 C 1 C 2 = = = -9, 19 A 1 C 2 = -2, 06 A 2 A 1 T 1 A 2 T 2 = = = 2, 06 -0, 81 T 1 = I 1 C 1 4, 06 I 1 C 2 T 2 I 2 C 1 I 1 C 1 I 2 C 2 I 1 C 2 -4, 06 = = = variance 1 1 -8, 56 1 1 1 8, 56 1 1 0, 81 1 1 -4, 06 Moyenne = 199, 06 Residu I 2 C 1 = 88, 62 Plan I 2 C 2 = 2954, 93 Residu ddl 1 10 15 Moyenne = 199, 06 10 Ft Fc %contrib

Somme des carrés Plan Somme des écarts à la moyenne ² de tous les résultats du Plan. Paramètre et interaction Somme des effets moyens carre * Nb de résultats par modalité ou combinaison dans le cas des interactions Résidu S² TOTAL - S² Paramètres & Interactions

Somme des carrés Parametre II C C A A T T IC IC Residu Plan Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 = = -9, 18 C 1 C 2 A 1 A 2 T 1 T 2 I 1 C 1 I 1 C 2 I 2 C 1 I 2 C 2 = = = = = -8, 56 -2, 06 0, 81 -0, 81 4, 06 -4, 06 4, 06 1348, 35 84 1172, 37 76 ddl 1 1 Ft Fc %contrib 8*2*(9, 182+9, 182)/2 1 1 10, 56 1 1 264, 06 1 1 68, 06 variance 8*2*(4, 062+4, 062)/(2*2) (2954. 93 Moyenne = 199, 06 (1348, 35+1173, 06+68, 06+10, 56+264, 06) Moyenne = 199, 06 10 88, 62 10 15 2 2 2 ((203 -199, 1) 2954, 93 15 + (199 -199, 1) + (209 -199, 1) + (199 -199, 1)2+. . . + (205 -199, 1)2+ (2022

Variance Parametre I Residu S²I / DDLI S²r / DDLr

Calcul de la variance d'un paramètre Parametre I C A T IC Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 = -9, 18 C 1 = -8, 56 C 2 = 8, 56 A 1 = -2, 06 A 2 = 2, 06 T 1 = 0, 81 T 2 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 ddl variance 1350, 56 1173, 06 1 1173, 06 68, 06 10, 56 1 10, 56 264, 06 1 264, 06 Moyenne = 199, 06 Residu 88, 62 10 Plan 2954, 93 15 8, 862 Ft Fc %contrib

Nombre de fisher calculé Fc(I) VI / Vr

Nombre de fisher Parametre I C A T IC Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 = -9, 18 C 1 = -8, 56 C 2 = 8, 56 A 1 = -2, 06 A 2 = 2, 06 T 1 = 0, 81 T 2 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 1350/8, 86 2 Fc Ft ddl variance 1350, 56 152, 40 1173, 06 132, 37 68, 06 1 68, 06 7, 68 10, 56 1, 19 264, 06 1 264, 06 29, 80 Moyenne = 199, 06 Residu 88, 62 10 Plan 2954, 93 15 8, 862 %contrib

Table de fisher (3 variables d'entrée) v 1 DDL du paramètre (numérateur) v 2 DDL du résidu (dénominateur) α Risque de se tromper

Table de fisher DDL résidu 0, 05 0, 01 DDL des facteurs (Paramètres ou interactions) 2 2 3 3 4 4 5 5 Intervalle de confiance à 1% et 5% 0, 05 0, 01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4052 98, 49 34, 12 21, 20 16, 26 13, 74 12, 25 11, 26 10, 56 10, 04 9, 65 9, 33 9, 07 8, 86 8, 68 8, 53 8, 40 8, 28 8, 10 199, 5 19, 00 9, 55 6, 94 5, 79 5, 14 4, 76 4, 26 4, 10 3, 98 3, 80 3, 74 3, 68 3, 63 3, 59 3, 55 3, 52 3, 49 4999 99, 00 30, 81 18, 00 13, 27 10, 91 9, 55 8, 65 8, 02 7, 56 7, 20 6, 93 6, 70 6, 51 6, 36 6, 23 6, 11 6, 01 5, 93 5, 85 215, 7 19, 16 9, 28 6, 59 5, 41 4, 76 4, 35 4, 07 3, 86 3, 71 3, 59 3, 41 3, 24 3, 29 3, 24 3, 20 3, 16 3, 13 3, 10 5403 99, 17 29, 46 16, 69 12, 06 9, 78 8, 45 7, 59 6, 99 6, 55 6, 22 5, 95 5, 74 5, 56 5, 42 5, 29 5, 18 5, 09 5, 01 4, 94 224, 6 19, 25 9, 12 6, 39 5, 19 4, 53 4, 12 3, 84 3, 63 3, 48 3, 36 3, 26 3, 18 3, 11 3, 06 3, 01 2, 96 2, 93 2, 90 2, 87 5625 99, 25 28, 71 15, 98 11, 39 9, 15 7, 86 7, 01 6, 42 5, 99 5, 67 5, 41 5, 20 5, 03 4, 89 4, 77 4, 67 4, 58 4, 50 4, 43 230, 2 19, 30 9, 01 6, 26 5, 05 4, 39 3, 97 3, 69 3, 48 3, 33 3, 20 3, 11 3, 02 2, 96 2, 90 2, 85 2, 81 2, 77 2, 74 2, 71 5764 99, 30 28, 24 15, 52 10, 97 8, 75 7, 45 6, 63 6, 06 5, 64 5, 32 5, 06 4, 86 4, 69 4, 56 4, 44 4, 34 4, 25 4, 17 4, 10 6, 64 2, 99 4, 60 2, 60 3, 78 2, 37 3, 32 2, 21 3, 02 1 161, 4 18, 51 10, 13 7, 71 6, 61 5, 99 5, 59 5, 32 5, 12 4, 96 4, 84 4, 75 4, 67 4, 60 4, 54 4, 49 4, 45 4, 41 4, 38 4, 35 Infini 3, 84 1

Tableau d'analyse de la variance Parametre I I C A C T A IC T Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 C 1 = = = -9, 18 -8, 56 C 2 C 1 A 1 = = = 8, 56 -2, 06 A 2 C 2 = = 2, 06 8, 56 T 1 = 0, 81 A 1 T 2 = = -2, 06 -0, 81 I 1 C 1 = A 2 = I 1 C 2 = 4, 06 2, 06 -4, 06 I 2 C 1 T 1 = = I 2 C 2 = -4, 06 0, 81 4, 06 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 Plan I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 Residu IC T 2 ddl variance Ft 1350, 56 1173, 06 1 1350, 56 1173, 06 4, 96 68, 06 1173, 06 1 68, 06 1173, 06 4, 96 10, 56 1 10, 56 4, 96 68, 06 1 68, 06 264, 06 10, 56 1 10, 56 88, 62 10 8, 862 2954, 93 15 264, 06 Moyenne = 199, 06 1 264, 06 4, 96 Fc 152, 399 152, 40 0069961 63 132, 37 132, 369 7, 68 6682464 45 1, 19 7, 67998 1945384 79 29, 80 1, 19160 4603926 88 29, 7968 8557887 61 %contrib

Pourcentage de contribution SOMME CARREE DU FACTEUR SOMME CARREE DU PLAN X 100

Pourcentage de contribution Parametre I C A T IC Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 = -9, 18 C 1 = -8, 56 C 2 = 8, 56 A 1 = -2, 06 A 2 = 2, 06 T 1 = 0, 81 T 2 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 ddl variance Ft Fc 1350, 56 1 1350, 56 4, 96 152, 40 1173, 06 1 1173, 06 4, 96 132, 37 68, 06 1 68, 06 4, 96 7, 68 10, 56 1 10, 56 4, 96 1, 19 264, 06 1 264, 06 4, 96 29, 80 Moyenne = 199, 06 Residu 88, 62 10 Plan 2954, 93 15 8, 862 %contrib

Réponse Parametre I C A T IC Effet moyen Somme carrés I 1 = 9, 18 I 2 = -9, 18 C 1 = -8, 56 C 2 = 8, 56 A 1 = -2, 06 A 2 = 2, 06 T 1 = 0, 81 T 2 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 1350/2954, 93 Fc Ft ddl variance 1350, 56 1 1350, 56 4, 96< 152, 40 45, 71 1173, 06 4, 96< 132, 37 39, 70 68, 06 1 68, 06 4, 96< 7, 68 2, 30 10, 56 1 10, 56 4, 96 > 1, 19 0, 36 264, 06 1 264, 06 4, 96< 29, 80 8, 94 Moyenne = 199, 06 Residu 88, 62 10 Plan 2954, 93 15 8, 862 %contrib

Réponse Parametre I C A T IC Effet moyen I 1 = 9, 18 I 2 = -9, 18 C 1 = -8, 56 C 2 = 8, 56 A 1 = -2, 06 A 2 = 2, 06 T 1 = 0, 81 T 2 = -0, 81 I 1 C 1 = 4, 06 I 1 C 2 = -4, 06 I 2 C 1 = -4, 06 I 2 C 2 = 4, 06 Somme carrés ddl variance Prob %contrib 1350, 56 100 % 45, 71 1173, 06 99, 9 % 39, 70 68, 06 1 68, 06 95 % 2, 30 10, 56 1 10, 56 68 % 0, 36 264, 06 1 264, 06 97 % 8, 94 Moyenne = 199, 06 Residu 88, 62 10 Plan 2954, 93 15 8, 862

Le Pooling Certains paramètres peuvent avoir un effet négligeable. Il est alors intéressant de les inclure dans le résidu pour gagner sur le nombre de DDL du résidu. La variance du résidu augmente. (S² �et DDL résidu � ) Pour les Plans saturés au départ, l'analyse de Variance devient possible.

Le Pooling Avant regroupement (POOLING) Après regroupement (POOLING)

Rapport Signal/bruit Permet de mettre en évidence les paramètres robustes insensibles aux variations extérieures (bruits) A un sens que s'il y a répétition(s) !

Rapport Signal/bruit Utilisation en Electronique Signal Bruit Ce rapport est max. quand B est petit = S B

Rapport Signal/bruit S/B Graphique Performance et dispersion 12 Graphique signal/bruit 77 BRUIT Dispersion (répétabilité SIGNAL Performance moyenne de la modalité 2 de la combinaison) 0 1 2 Modalité 1 = S/B max 52 1 2 C'est la modalité 1 qui est robuste

Rapport Signal/bruit Dans sa forme la plus simple le ratio S/B est le rapport entre : Performance d'une Modalité (Signal) Dispersion de cette Modalité (Bruit)

Rapport Signal/bruit 3 formules utilisant la fonction log permettent de mettre en évidence la robustesse d'un paramètre suivant que l'objectif ciblé est un maxi, mini ou nominal. La combinaison optimale est toujours celle qui représente le rapport S/B le plus élevé quelle que soit la formule.

Rapport Signal/bruit 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1 1 2 2 B 1 2 2 1 C 1 2 3 4 1 2 ESSAIS 1 ESSAIS 2 200 1000 2670 400 1600 4500 3700 920 100 3000 200 1500 5000 4500 900 S/B 42. 0 62. 5 67. 5 48. 1 63. 8 73. 5 72. 1 59. 2

Rapport Signal/bruit GRAPHIQUE SIGNAL/BRUIT 5000 cycles 1 70 2 1 S/B 2 3 4 S/B 40 1 2 1 2

Plans croisés Les PLANS CROISES permettent : de tester une combinaison de paramètres maitrisés robustes, insensibles aux bruits extérieurs, quelques soient leurs combinaisons.

Plans croisés L 8 x. L 4 N° colonne 1 2 3 paramètre I C IC 1 1 1 2 1 1 3 1 2 4 1 2 5 2 1 6 2 1 7 2 2 8 2 2 Facteurs maitrisés

Plans croisés L 8 x. L 4 2 1 T -10 25 A 150 0 0 Bruits Extérieurs

Plans croisés L 8 x. L 4 N° colonne 1 2 2 T -10 25 paramètre I C 1 A 0 0 1 1 1 201 199 198 202 2 1 1 203 215 218 220 3 1 2 205 190 215 4 1 2 210 195 215 196 5 2 1 250 255 260 245 6 2 1 260 265 255 263 7 2 2 255 245 256 260 8 2 2 265 275 280 250 1500