Optimizacija elektronskih kola Dodatak Optimizacija elektronskih kola dodatak

Optimizacija elektronskih kola Dodatak Optimizacija elektronskih kola - dodatak (3/3) 04. 05. 2020. 1

Algoritam optimizacije Dodatak Tipovi problema optimizacije: -Optimizacija u s-ravni - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m=n) - Optimizacija u DC domenu (m=n) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m>n) (najmanji p-ti stepen, p=2) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (Remezov algoritam) - Optimizacija nelinearnih kola u jednosmernom domenu (m<n) - Optimizacija sa ograničenjem 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 2

Algoritam optimizacije Projektovanje u s-ravni Dodatak Poklapanje koeficijenata a) Definiše se željena funkcija kola (nule i/ili polovi) T*(s) b) Odredi se funkcija kola u simboličkom obliku T(s, p) c) Traže se vrednosti elemenata kola (p) koje daju željenu funkciju. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 3

Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Dodatak a) Definiše se željena funkcija kola (nule i/ili polovi) Recimo da želimo da funkcija kola ima polove s 1, s 2 i s 3, a da je potrebno naći vrednosti parametara kola p 1, p 2 i p 3 koji to zadovoljavaju. T*(s)= (s-s 1) (s-s 2) (s-s 3)= = s 3 -(s 1+s 2+s 3)s 2+(s 1 s 2+s 1 s 3+s 2 s 3)s-s 1 s 2 s 3= = a 3*s 3+a 2*s 2+a 1*s+a 0* b) Odredi se funkcija kola u simboličkom obliku T(s, p)= a 3 (p) s 3+a 2 (p) s 2+a 1 (p) s+a 0 (p) 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 4

Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Dodatak c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju. Funkcije T(s) i T*(s) biće jednake ako su im koeficijenti uz odgovarajuće stepene s jednaki. Zato se funkcija greške definiše za svaki od koeficijenata. Eo = ao(p) - ao*b E 1 = a 1(p) - a 1* b E 2 = a 2(p) - a 2*b E 3 = a 3(p) - a 3*b 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 5

Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Dodatak c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju. U opštem obliku E je nelinearna funkcija od p: Ei = ai(p) - ai*b, i=0, 1, 2, 3. konstanta b uvedena je kao četvrti parametar Linearizacijom se dobija 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 6

Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Dodatak c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 7

Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Dodatak c) Traže se vrednosti elemenata kola koje daju željenu funkciju. rešavanjem ovog sistema jednačina određuju se vrednosti Dpkj+1 i Dbj+1; proverava se konvergencija: ukoliko kriterijumi nisu zadovoljeni, ažuriraju se vrednosti parametara pkj=pkj+Dpkj+1 , k=1, 2, 3 i bj=bj+Dbj+1 i nastavlja se sa iterativnim postupkom; ukoliko su kriterijumi zadovoljeni optimizacija je završena. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 8

Algoritam optimizacije Dodatak Poklapanje koeficijenata Primer: Odrediti vrednosti elemenata C 1, C 2 i L u kolu sa slike, tako da funkcija prenosa ima polove definisane sa s 1=-1, 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 9

Algoritam optimizacije Dodatak Poklapanje koeficijenata Primer: a) Definisanje željene funkcije kola T*(s)= (s-s 1) (s-s 2) (s-s 3) T*(s) = (s+1)(s+0. 5 -j (1, 5) ½ ) (s+0. 5+j (1, 5) ½ ) = = 1. 75 +2. 75 s +2 s 2+1 s 3 ao*=1. 75; 04. 05. 2020. a 1*=2. 75; a 2*=2; Algoritam optrimizacije a 3*=1. 10

Dodatak Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Primer: ao*=1. 75; a 1*=2. 75; a 2*=2; a 3*=1. b) Određivanje funkcija kola u simboličkom obliku T(s, p)= 2 G a 0= 2 G 04. 05. 2020. +[1+G(C 1+C 2)]s +(C 1+C 2)s 2 a 1= 1+G(C 1+C 2) Algoritam optrimizacije a 2= C 1+C 2 +C 1 C 2 s 3 a 3=C 1 C 2 11

Algoritam optimizacije Dodatak Poklapanje koeficijenata Primer: ao*=1. 75; a 1*=2. 75; a 2*=2; a 3*=1. a 0= 2 G a 1= 1+G(C 1+C 2) a 2= C 1+C 2 a 3=C 1 C 2 Ei = ai(p) - ai*b, i=0, 1, 2, 3. Eo=2 G-1. 75 b; E 1= 1+G(C 1+C 2) -2. 75 b; E 2=(C 1+C 2 )-2 b; E 3= C 1 C 2 – 1 b. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 12

Dodatak Algoritam optimizacije Poklapanje koeficijenata Primer: c) Određivanje vrednosti parametara kola 1. Određivanje početnog rešenja 2. Izračunavanje funkcije greške 04. 05. 2020. ao*=1. 75; a 1*=2. 75; a 2*=2; ao= 2 G; a 1=1+G(C 1+C 2) Eo=2 G-1. 75 b; E 1= 1+G(C 1+C 2) -2. 75 b; E 2=(C 1+C 2 )-2 b; E 3= C 1 C 2 – 1 b. Algoritam optrimizacije a 3*=1. a 2=C 1+C 2; a 3=C 1 C 2 13

Algoritam optimizacije Dodatak Poklapanje koeficijenata Primer: c) Određivanje vrednosti parametara kola 3. Provera konvergencije 4. Izračunavanje korekcije parametara 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 14

Algoritam optimizacije Dodatak Poklapanje koeficijenata Primer: c) Određivanje vrednosti parametara kola 5. Korekcija vrednosti parametara 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 15

Algoritam optimizacije Dodatak Tipovi problema: -Optimizacija u s-ravni - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m=n) - Optimizacija u DC domenu (m=n) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m>n) (najmanji p-ti stepen, p=2) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (Remezov algoritam) - Optimizacija nelinearnih kola u jednosmernom domenu (m<n) 04. 05. 2020. - Optimizacija sa. Algoritam ograničenjem optrimizacije 16

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu broj parametara manji od broja uslova, n<m Metod najmanje srednjekvadratne greške (najmanjeg p-tog stepena za p=2) Frekvencijska karakteristika zadata u mnogo tačaka m>>n 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 17

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu broj parametara manji od broja uslova, n<m Linearizacija nelinearne funkcije gk(p) : 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 18

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu broj parametara manji od broja uslova, n<m 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 19

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu broj parametara manji od broja uslova, n<m Sistem od nxn linearnih jednačina 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 20

Algoritam optimizacije Dodatak Tipovi problema: -Optimizacija u s-ravni - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m=n) - Optimizacija u DC domenu (m=n) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m>n) (najmanji p-ti stepen, p=2) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (Remezov algoritam) - Optimizacija nelinearnih kola u jednosmernom domenu (m<n) 04. 05. 2020. - Optimizacija sa. Algoritam ograničenjem optrimizacije 21

Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Amplitudska funkcija zadata kontinualno u intervalu [fd, fg] Aprokimaciona funkcija takođe zadata kontinualno, tako da je maksimalno odstupanje u intervalu minimalno; (Čebiševljeva funkcija) [fd, fg]. Funkcija greške definisana je sa: Rešenje iz prethodne iteracije treba da obezbedi n promena znaka funkcije greške, gde je n broj parametara. 04. 05. 2020. Na taj način funkcija greške imaće n+1 tačku sa maksimalnom greškom (ekstremalne tačke), računajući i tačke na granici intervala. Algoritam optrimizacije 22

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Ekstremalne tačke su fk, k=1, . . . , n+1 f 1=fd , . . . , fn+1=fg 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 23

Dodatak Algoritam optimizacije Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Ekstremalne tačke su fk, k=1, . . . , n+1 Traži se da vrednost greške u ekstremalnim tačkama bude e. Tada je F*(fk)-F(fk, pj) =(-1)ke, k=1, . . . , n+1. F*(fk)-F(fk, pj) - (-1)ke = g (fk, pj) =0, 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije k=1, . . . , n+1. 24

Dodatak Algoritam optimizacije Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam g (fk, p) =F*(fk)-F(fk, p) - (-1)ke =0, k=1, . . . , n+1. Linearizacijom gk dobija se: Rešavanjem ovog sistema od n+1 jednačine određuju se priraštaji n parametara Dpkj+1 i De j+1. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 25

Dodatak Algoritam optimizacije Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Malom modifikacijom može da se fiksira vrednost greške, ali se ostavlja nedefinisana jedna granica intervala g (fk, p) =F*(fk)-F(fk, p) - (-1)ke =0, 04. 05. 2020. k=1, . . . , n. Rešavanjem ovog sistema od n jednačina određuju se priraštaji n parametara Dpkj+1. Algoritam optrimizacije 26

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Početno rešenje za vrednosti parametzara mora da obezbedi n promena znaka funkcije greške. Kako naći te vrednosti? Odredi se n ekvidistantnih tačaka u intervalu [fd, fg] Definiše se nova funkcija greške ei (p) =F*(foi)-F(foi, p) =0, k=1, . . . , n. Linearizuje se 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 27

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Rešavanjem ovog sistema od n jednačina određuju se priraštaji n parametara Dpkj+1 na osnovu kojih se dobijaju početna rešenja koja će obezbediti n promena znaka u tačkama foi. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 28

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Primer: Projektovati filtar čija će amplitudska karakteristika da se nađe u osenčenom opsegu na slici. 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 29

Algoritam optimizacije Dodatak Projektovanje u frekvencijskom domenu Čebiševljeva aproksimacija - Remezov algoritam Primer: Aproksimaciona funkicija koja obezbeđuje zadovoljenje traženih uslova ako je a a 1 i a 2 su nepoznati parametri 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 30

Dodatak Algoritam optimizacije Projektovanje u frekvencijskom domenu Remezov algoritam Primer: Apmin Za 04. 05. 2020. Apmin 2 = 0. 9 i Asmax 2 = 0. 05 Moguće međurešenje Algoritam optrimizacije 31

Algoritam optimizacije Dodatak Tipovi problema: -Optimizacija u s-ravni - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m=n) - Optimizacija u DC domenu (m=n) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (m>n) (najmanji p-ti stepen, p=2) - Optimizacija u frekvencijskom domenu (Remezov algoritam) - Optimizacija nelinearnih kola u jednosmernom domenu (m<n) 04. 05. 2020. - Optimizacija sa. Algoritam ograničenjem optrimizacije 32

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu Broj uslova < broja parametara m < n Ei = F*i-Fi(pj), 04. 05. 2020. Dodatak i=1, . . . , m. Algoritam optrimizacije 33

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak U matričnom obliku mxn Izabere se m parametara i od njih se formira vektor Dp 1 Dp 2 ima n-m elemenata 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 34

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Da bi izračunali Dp 1 , treba naći Dp 2. Zato definišemo normu Zamenom za Dp 1 dobija se 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 35

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Minimum norme P(p) dobija se za Odavde se dobija sistem od (n-m)x(n-m) linearnih jednačina po Dp 2 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 36

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Postupak je sledeći: 1. Izabere se r=n-m parametara koji čine p 2 2. Matrica se razdvoji na F 1 i F 2 3. odredi se Dp 2 iz 4. odredi se Dp 1 iz 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 37

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Primer: Odrediti R 1, R 2, R 3 i R 4 tako da bude Vc=6 V i Ve=3 V m=2, n=4 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 38

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Primer: 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 39

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Primer: Odavde se određuju DR 3 i DR 4 a zatim i DR 1 i DR 2 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 40

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Primer: 04. 05. 2020. Originalno Pridruženo za Vc Algoritam optrimizacije Pridruženo za Ve 41

Algoritam optimizacije Projektovanje u DC režimu; m < n Dodatak Primer: 04. 05. 2020. Algoritam optrimizacije 42