KEPLEROVI ZAKONI dodatak iz teorije Kretanje take pod

  • Slides: 28
Download presentation
KEPLEROVI ZAKONI dodatak iz teorije

KEPLEROVI ZAKONI dodatak iz teorije

Kretanje tačke pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije

Kretanje tačke pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije

Njutnova sile opšte gravitacije

Njutnova sile opšte gravitacije

Projekcija sile na pravac koji prolazi kroz centar tela i tačku, a koji je

Projekcija sile na pravac koji prolazi kroz centar tela i tačku, a koji je određen jediničnim vektorom

Bineova jednačina: Radi jednostavnosti uvodi se oznaka:

Bineova jednačina: Radi jednostavnosti uvodi se oznaka:

Opšti oblik rešenja ove nehomogene linearne diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima oblik:

Opšti oblik rešenja ove nehomogene linearne diferencijalne jednačine drugog reda sa konstantnim koeficijentima oblik: Integral homogene jednačine: Partikularni integral: Opšte rešenje

Određivanje integracionih konstanti i određuju se korišćenjem početnih uslova kretanja tačke:

Određivanje integracionih konstanti i određuju se korišćenjem početnih uslova kretanja tačke:

Koristeći početne uslove kretanja tačke dobija se rešenje jednačine postaje mogu se uvesti nove

Koristeći početne uslove kretanja tačke dobija se rešenje jednačine postaje mogu se uvesti nove konstante na sledeći način

amplitudni oblik rešenja jednačine. Nove integracione konstante mogu se izraziti preko starih

amplitudni oblik rešenja jednačine. Nove integracione konstante mogu se izraziti preko starih

nova konstanta i nova promenljiva Na taj način se u razmatranje uvodi novi polarni

nova konstanta i nova promenljiva Na taj način se u razmatranje uvodi novi polarni ugao pa jednačina dobija oblik predstavlja liniju putanje posmatrane tačke

jednačine konusnog preseka u polarnim, odnosno Dekartovim koordinatama, respektivno.

jednačine konusnog preseka u polarnim, odnosno Dekartovim koordinatama, respektivno.

 tačka O fokus (žiža) konusnog preseka; r fokusni poteg; Ox fokusna osa simetrije

tačka O fokus (žiža) konusnog preseka; r fokusni poteg; Ox fokusna osa simetrije koja prolazi kroz najbližu tačku P konusnog preseka (perihel) i najudaljeniju tačku konusnog preseka (afel), a usmerena je prema perihelu; ugao između fokusne ose simetrije i po tega; p parametar – dužina potega normalnog na fokusnoj osi simetrije i e ekscentricitet konusnog preseka.

U slučaju kada je sledi što predstavlja jednačinu parabole

U slučaju kada je sledi što predstavlja jednačinu parabole

kada je izraz može biti jednak nuli što znači da poteg može da bude

kada je izraz može biti jednak nuli što znači da poteg može da bude i beskonačno veliki. Ovakvo svojstvo ima hiperbola.

Kada je izraz ne može da bude jednak nuli, što znači da potezi nikada

Kada je izraz ne može da bude jednak nuli, što znači da potezi nikada ne mogu biti beskonačno veliki. Putanje u ovom slučaju mogu da budu samo elipse. Kada je u ovom slučaju je reč o kružnici.

Iz prethodnih razmatranja može se zaključiti da oblik krive konusnog preseka, koja je određena

Iz prethodnih razmatranja može se zaključiti da oblik krive konusnog preseka, koja je određena jednačinom zavisi samo od ekscentriciteta e, koji iz prikazanog postupka rešavanja diferencijalne jednačine predstavlja integracionu konstantu. Zbog toga je potrebno odrediti zavisnost veličine e od početnih uslova. Neka je tačka započela kretanje iz perihela P ili afela, tj. neka je u početnom trenutku

sledi Pokazuje se da važi tako da je veličina p,

sledi Pokazuje se da važi tako da je veličina p,

sledi ekscentricitet e u funkciji početnih uslova, Prethodno analizirano kretanje tačke može poslužiti kao

sledi ekscentricitet e u funkciji početnih uslova, Prethodno analizirano kretanje tačke može poslužiti kao model kretanja planeta Sunčevog sistema koje se kreću približno po putanjama koje su opisane sa Pri tome uzima se da na planete deluje jedna centralna sila iz centra Sunca, a na satelite pojedinih planeta centralna sila sa centrom u odgovarajućoj planeti. Takva kretanja nazivaju se Keplerova.

Keplerovi zakoni

Keplerovi zakoni

Posmatrajući isključivo kretanje planeta Sunčevog sistema, Kepler je uočio određene zakonitosti pre nego što

Posmatrajući isključivo kretanje planeta Sunčevog sistema, Kepler je uočio određene zakonitosti pre nego što je Njutn formulisao svoje zakone. Keplerovi zakoni glase:

Sve planete se kreću po eliptičnim putanjama u čijoj se jednoj žiži nalazi Sunce.

Sve planete se kreću po eliptičnim putanjama u čijoj se jednoj žiži nalazi Sunce.

Vektori položaja planeta u odnosu na Sunce opisuju za jednaka vremena, jednake površine.

Vektori položaja planeta u odnosu na Sunce opisuju za jednaka vremena, jednake površine.

Kvadrati vremena obilaženja planeta oko Sunca, odnose se kao kubovi većih poluosa njihovih putanja.

Kvadrati vremena obilaženja planeta oko Sunca, odnose se kao kubovi većih poluosa njihovih putanja.

Zapaža se da je razmatrano kretanje pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije, u saglasnosti

Zapaža se da je razmatrano kretanje pod dejstvom Njutnove sile opšte gravitacije, u saglasnosti sa I Keplerovim zakonom. Takođe se zapaža da je u dosadašnjim razmatranjima proučen i II Keplerov zakon koji ukazuje na činjenicu da je sektorska brzina planeta, pri kretanju planeta oko Sunca, konstantna.

Pri jednom punom obilasku planete oko Sunca vektor položaja planete opiše površinu elipse koja

Pri jednom punom obilasku planete oko Sunca vektor položaja planete opiše površinu elipse koja je određena sa gde je a – velika poluosa elipse, b – mala poluosa elipse, C – sektorska brzina planete i T – vreme obilaska planete oko Sunca. U cilju matematičke formulacije III Keplerovog zakona, potrebno je odrediti veze između veličine p, sa velikom a i malom b poluosom elipse. Najpre se polazi od izraza za veliku poluosu elipse

Rastojanje između žiža (fokusa) c elipse dato je sa Sada je moguće odrediti vreme

Rastojanje između žiža (fokusa) c elipse dato je sa Sada je moguće odrediti vreme obilaska planete oko Sunca.

dobija se vremena obilaženja dveju planeta oko Sunca, a i veće poluose njihovih putanja,

dobija se vremena obilaženja dveju planeta oko Sunca, a i veće poluose njihovih putanja,