OSNOVNE OPERACIJE SA ISKAZIMA 1 ta je iskaz

OSNOVNE OPERACIJE SA ISKAZIMA 1

Šta je iskaz? Uočimo primere: �“Kako se zoveš? ” �“Danas je petak. ” �“ 1<2” �“x 2=4 za x=2” 2

Da li iz ovih primera možemo nešto zaključiti? �Prvi primer daje mnogo odgovora �Drugi primer može biti tačan ili netačan �Treći primer je uvek tačan �Četvrti primer je jednačina koja ima određeno rešenje �Peti primer je tačan za datu vrednost x 3

Pod iskazom se podrazumeva bilo koja rečenica za koju se zna da može biti samo tačna ili samo netačna. 4

Drugačije rečeno, iskaz je proizvoljna rečenica koja može imati samo jednu istinitosnu vrednost. 5

Dakle, u našem primeru iskazi su drugi, treći i peti primer jer oni imaju jednu istinitosnu vrednost, tj. ili su tačni ili su netačni. 6

Dati primeri su prosti, elementarni iskazi. Oni se obeležavaju slovima p, q, r, . . . Ova slova se nazivaju iskazna slova. 7

Uvedimo oznake: 8

Istinitosna vrednost iskaza p se obeležava sa i važi sledeće: 9

Kada su elementarni iskazi povezani logičkim veznicima ili logičkim operacijama, onda se dobijaju složeni iskazi, koji mogu biti tačni ili netačni. 10

LOGIČKE OPERACIJE Postoje unarne i binarne operacije. Unarne se odnose na jedan iskaz, dok se binarne odnose na dva iskaza 11

NEGACIJA DEF 1: Negacija iskaza p je unarna operacija koja se označava sa ך p i kojoj odgovara sledeća tablica: p ך p 12

KONJUKCIJA DEF 2: Konjukcijom iskaza p i q nazivamo binarni iskaz koji se označava sa a odgovara mu sledeća tablica: p q 13

ZAPAMTI Konjukcija je tačna ako su oba iskaza tačna, u svim ostalim slučajevima je netačna. 14

DISJUNKCIJA DEF 3: Disjunkcijom iskaza p i q nazivamo binarni iskaz koji se označava sa i kome odgovara sledeća tablica: p q 15

ZAPAMTI Disjunkcija je netačna ako su oba iskaza netačna, u svim ostalim slučajevima je tačna. 16

IMPLIKACIJA DEF 5: Implikacija iskaza p i q je binarni iskaz koji se označava sa i kome odgovara sledeća tablica: p q 17

ZAPAMTI Implikacija je netačna samo ako iz tačnog sledi netačno u svim ostalim slučajevima je tačna. 18

Za implikaciju važe i sledeće rečenice: “ako p onda q” “p implicira q” “iz p sledi q” “q, samo ako p” “p je dovoljan uslov za q” “q je potreban uslov za p” 19

EKVIVALENCIJA DEF 6: Ekvivalencija iskaza p i q je binarna operacija koja se obeležava sa i koja se može prikazati sledećom tablicom: p q 20

ZAPAMTI: Ekvivalencija je tačna ako oba iskaza imaju istinitosnu vrednost, tj. ako su oba tačna ili oba netačna. 21

Za ekvivalenciju važe i sledeće rečenice: “p je ekvivalentno sa q” “ako p onda q i ako q onda p” “p je potreban i dovoljan uslov za q” “p akko q” 22

ZADACI 1. Odrediti istinitosnu vrednost iskaza a) Proizvod dva cela broja je prirodan broj b) Razlika dva neparna broja je neparan broj c) Svaki prirodni broj je racionalan 23

Svi složeni iskazi nastali pomoću opisanih i definisanih logičkih veznika se nazivaju iskaznim formulama. 24

DEF: i) Iskazna slova p, q, r. . . , iskazne konstante , . . su iskazne formule. ii) Ako su A i B iskazne formule, onda su takodje iskazne formule. iii) Iskazne formule se mogu graditi konačnom primenom pravila pod i) i ii) 25

ZAD 1. Dati su iskazi: Odrediti njihovu istinitosnu vrednost, a zatim odrediti istinitosnu vrednost izraza: 26

ZAD 2. Odredi istinitosnu vrednost sledećih rečenica a zatim odredi istinitosnu vrednost sledećeg izraza: 27

DEF: Iskazne formule koje su uvek, za sve moguće istinitosne vrednosti iskaznih slova koja čine te formule, tačne, nazivamo TAUTOLOGIJAMA. 28

Za dokazivanje tautologije koriste se: 1. tablična metoda 2. metoda svodjenja na apsurd 3. metoda diskusije po slovu 29

1. TABLIČNA METODA Ispitati da li su sledeće formule tautologije. Zad 1. p q ⊤ ⊤ F ⊤ ⊥ ⊤ ⊤ ⊥ ⊥ ⊥ ⊤ ⊤ ⊤ 30

Ispitati da li su sledeće formule tautologije. Zad 3. Zad 4. 32

2. METODA SVODJENJA NA APSURD (PROTIVUREČNOST) Ova metoda se sastoji u tome da se za početnu formulu pretpostavi da je netačna i da se u dokazu dodje do suprotnosti sa početnom pretpostavkom. 33

1. Dokazati da je formula tautologija svodjenjem na apsurd DOKAZ: 34

3. METODA DISKUSIJE PO SLOVU Izabere se jedno slovo iz formule (obično ono koje se najviše pojavljuje) i pokazuje se da je formula tačna i kada je istinitosna vrednost tog slova tačna i kada je netačna. 35

U toku rada se koriste kratke formule, koje su tautologije: 36

Dokazati diskusijom po slovu da je sledeća formula tautologija Dokaz: 37

Pored pomenutih formula koje predstavljaju tautologije, postoje još neke koje su odredjeni zakoni: Zakon isključenja trećeg Zakon neprotivurečnosti Zakon uklanjanja implikacije 38

Zakon kontrapozicije Zakon uklanjanja ekvivalencije Zakon tranzitivnosti za ekvivalenciju 39

Zakon refleksivnosti za implikaciju Zakon dvojne negacije Zakon idempotencije disjunkcije Zakon idempotencije konjukcije 40

Zakon svodjenja na apsurd Zakon komutativnosti 41

Zakon asocijativnosti Zakon distributivnosti Zakon tranzitivnosti 42

De Morganovi zakon apsorpcije 43

modus ponens modus tollens 44

Dokazati da su sledeće formule tautologije: 45

46

47

48