OLIMPIADA MATEMTICA 2010 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 14

OLIMPIADA MATEMÀTICA 2010 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 14 - 16 ANYS CASTELLÓ (UJI), 15 DE MAIG

1. - QUADRAT I TRIANGLE. En la figura es mostra un quadrat de costat 1. Si el triangle CMN és un triangle equilàter que es traça a l’interior del quadrat com s’especifica en la figura, quant val l’àrea de l’esmentat triangle? Solució: Afegim al dibuix les lletres pertinents per tractar el problema : x, y i h Al aplicar Pitàgores als triangles MAN i MDC, tenim:

I ara a resoldre el sistema: La solució corresponent al signe + es menysprea perque es major que 1 (contrari a les condicions de l’enunciat). Per tant: Per últim, per a calcular l’àrea, o a l’àrea del quadrat li restem les àrees dels triangles o com conegem els costat del triangle equilàter podem calcular l’àrea. Pocedint de la primera forma:

2. - TREN. - Un tren va de Castelló a València. Fa diverses parades i en cadascuna baixen 2 i pugen 5 persones. El billet és únic per a tots els trajectes i costa 3, 9 euros. Quan arriben a València hi ha 124 passatgers i la recaptació del viatge suma un total de 569, 4 euros. Quantas passatgers han pujat a Castelló? Solució: Un clàssic problema de plantejament: Es descriu una situació i es pregunta alguna cosa sobre ella. Sigen x el nombre de passatgers que pugen a Castelló i y el nombre de parades entre Castelló i València. Hi ha informació sobre el nombre de passatgers i sobre la recaptació. Les persones que pugen son: x a Castelló i (5 – 2 =) 3 en cadascuna de les parades, es a dir 3 y. Per tant: x + 3 y = 124 Com el nombre de passatger que han pujat son: x en Castelló i 5 en cada parada i cada billet costa 3, 9 euros, tindrem: 3, 9·(x + 5 y) = 569, 4. Resolent el sistema: Per tant s’han fet 11 parades i han pujat a Castelló un total de 91 persones

3. - NOMBRE. - Troba el nombre més menut que verifique si el divideixes per 24 et dóna de reside 9 i si el divideixes per 97 també el dóna de residu 9. Solució: Siga n el nombre que busquem. Com al dividir-lo per 24, el residu és 9 es verifica que n – 9 és múltiple de 24. Com que al dividir-lo per 97, elm residu és 9 es verifica que n-9 és múltiple de 97. Per tant n – 9 es podrà dividir pel mínim comú múltiple de 24 i 97 Com 24 = 23 · 3 i 97 és primer (Hem de comprovar que no és divisible per els primers anteriors a la seua arrel quadrada que és aproximament 9, 84; es a dir hem de comprovar que no és divisible ni per 2, ni per 3, ni per 5 i ni per 7) tenim que mcm (24; 97) = 24· 97 = 2328 Per tant els valors de n – 9 son els múltiples de 2328. Com busquem el més xicotet d’ells tenim n – 9 = 2328 I d’açí: n = 2328 + 9 = 2337

4. - PERÍMETRES I ÀREES. - La figura está formada per tres semicercles. Entre les rectes que passen per O: • Quantes divideixen el seu perímetre en dues parts iguals? • Quantes divideixen las seua àrea en dues parts iguals? Solució: Anomenem r al radi de la circunferència menuda, el de la gran serà 2 r. Per al perímetre tindrem: Un primer cas és quan la recta passa pel punt de contacte de les circunferències menudes i l’acabament del tercer quadrant de la segona. Per simple simetria, és inmediatala igualdat de perímetres. Un segon cas és quan la recta passa pels punts de contacte de les cicumferències. El perímetre de la zona de dalt és 2·π·r i el de la zona de baix és π· 2 r Quan la recta està en la possició intermèdia entre els dos casos estudiats tenim que l’arc de la circunferència menuda és igual a , l’arc de circunferència gran ja que

Per a l’àrea tenim El primer cas considerat per al perímetre, també genera àrees iguals, per simetria El segon cas considerat per al perímetre no aporta árees iguals: L’àrea de la zona de dalt és π·r 2 mentre que l’àrea de la zona de baix és ½·π·(2 r)2 = 2·π·r 2, una doble que l’altra. El tercer cas considerat per al perímetre tampoc aporta igualdat d’àrees: Al passar la recta de la posició vertical (on hi ha igualdat d’àrees) a la posició horizontal (on hi ha la diferència mes gran entre les àrees) la variació de les àrees es de forma continua i per tant no seran mai iguals.

5. - ALIENS. - En una determinada novel·la de ciència ficció es descriuen personatges que, tot i ser inmortals, la seva forma i color varia de dia a dia. Aquests personatges són de tres colors: roig, blau i verd. D’ells alguns són de forma esfèrica i d’altres de forma piramidal. Diàriament el 80% dels rojos es converteixen en blaus; el 80% dels blaus es tornen verds i el 80% dles verds rojos. També varien de forma diàriament: el 40% dels esfèrics passen a ser piramidals i, al seu torn, el 40% dels piramidals es converteixen en esfèrics. Su`poseu que un dia qualsevol lsa distribució de població és com mostra la taula següent: rojos blaus verds esfèrics 6000 5000 3000 piramidals 9000 10000 4000 Quants personatges blaus esfèrics hi haurà el dia següent? (Cal aclarir que totes les mutacions ocorren de manera homogènia; es a dir, per exemple, el 80% dels rojos esfèrics canviarà

Solució: De l’enunciat tenim: 80% rojos → blaus → verds → rojos 40% esfèrics → piramidals → esfèrics Supossem que de certa forma i color hi ha una quantitat x de personatges. D’aquests alguns es quedaran igual, altres canviaran només de forma, altres canviaran només de color i altres canviaran tant de forma com de color. Tenint en compte que el 80% canvia de color i el 40% de forma 1. el nombre de personatges queda igual és 20%(60%)x = 0, 2· 0, 6·x 2. el nombre de de personatges que canvia de color però no de forma és 80%(60%)x = 0, 8· 0, 6·x 3. el nombre de de personatges que canvia de forma però no de color és 20%(40%)x = 0, 2· 0, 4·x 4. el nombre de de personatges que canvia de forma i de color és 80%(40%)x = 0, 8· 0, 4·x Ens demanen el nombre de personatges blaus i esfèrics que hi haurà el dia següent. Hi ha diversos tipus: a. - els que es van quedar blaus i esfèrics: 0, 2· 0, 6· 5000 = 600 b. - els que eren rojos i esfèrics i van canviar de color: 0, 8· 0, 6· 6000 = 2880 c. - els que eren blaus i peramidals i van canviar de forma: 0, 2· 0, 4· 10000 = 800 d. - els que ern rojos i piramidals i van canviar de color i de forma: 0, 8· 0, 4· 9000 = 2880 Sumant totes aquestes quantitats tenim 7160 personatges blaus i esfèrics