OLIMPIADA MATEMTICA 2011 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 12

OLIMPIADA MATEMÀTICA 2011 FASE PROVINCIAL PROVA INDIVIDUAL 12 - 14 ANYS IES “LLOMBAI” (BORRIANA), 21 DE MAIG DE 2011

Problema 1. - Un rectangle de 176 cm. x de perímetre es divideix en cinc rectangles com mostra la figura. Quin és el perímetre de y cadascún dels rectangles? Solució. - És un típic problema de plantejament. Les incognites son les dimensions del rectangle petit: x i y I ara pasem la informació a equacions: Que el perímetre del rectangle inicial siga 176 cm, genera l’equació 176 = 5 x + 4 y. I com la part de dalt del rectangle inicial mesura el mateix que la part de baix del rectangle inicial tenim: 3 x = 2 y. I ara a resoldre el sistema: Per tant el perímetre de cada rectangle és: 2 x + 2 y = 2· 16 + 2· 24 = 80 cm

Problema 2. - Una granota que fa dos bots un segon i mig i corre a una velocitat de 12 km/h. Quants bots ha de fer per recorrer 300 metres? Solució. - Si fa dos bots en 1´ 5 segons, fa bots en un minut i (multiplicant per 60) 4800 bots en una hora. Com en una hora recorre (12 km =) 12000 metres en cada bot recorre Com a de recorrer 300 metres necesitarà = 120 bots

Problema 3. - Distribueix els nombres de l’ 1 al 9 en un quadrat 3 x 3 de manera que totes línies, incloses les diagonals, sumen el mateix. Solució. - Com la suma dels nou digits dona 45 i aquesta suma la hem de repartir entre 3 linies, en cada linea hi haurà suma (45/3 =) 15. A més en la posició central colocarem al (15/3 =) 5 perque participara com a diagonals i com fila i columna. Així que la tàctica es repartir els digits fican el 5 al centre i allunyan digits consecutius i obtenir les sumes de files I ara per desplaçament del digits tractem que cada suma done 15 1 4 8 13 6 5 7 18 3 9 2 14 1 6 8 15 6 1 8 4 5 7 16 3 5 7 15 3 5 7 3 9 2 14 4 9 2 15 4 9 2 8 20 17 13 15 17

8 1 6 3 5 7 4 9 2 I aquesta disposició ja compleix l’exigit Bachet, va traure una manera general de generar els quadrats màgics d’ordre imparell, com aquest cas. Primer hi ha que anyadir un quadret en cada aresta del quadrat A continuació fiquem els digits ordenats com s’indica: 3 2 1 Els canvis proposats son: 6 5 4 9 8 7 I el resultat final és Que és la mateixa que la trobada, però canvian l’ordre de files i columnes 2 7 6 9 5 1 4 3 8

Problema 4. - Dos circumferències de radis 2 i 3 cm respectivament, són tangents exteriors i també tangents interiors a una tercera com mostra la figura. Quin percentatge representa l’àrea de la regió ombrejada respecte de l’àrea d’aquesta tercera circumferència? Solució. - A l’àrea de la circumferència gran li restarem la suma de l’àrea de les dos circumferències xicotetes i després pasrem a percentatges Área de la circumferència mes petita (r = 2) = π· 22 = 4 π Área de la circumferència intermedia (r = 3) = π· 32 = 9 π Área de la circumferència gran (r = 2 + 3 = 5) = π· 52 = 25 π Área de la zona ombrejada = 25 π – (4 π + 9 π) =12 π cm 2 I per últim una regla de tres:

Problema 5. - A la figura següent observem que 1 + 3 + 5 +7 = 4 x 4. Quin és el valor de 1 + 3 + 5 + 7 +. . . . +97? Solució. - L’ùltim sumando és el que dona la dimensió del quadrat. Si l’últim sumando és 7 anyadim una fila (la superior) de 4 punts i una columna (la de la dreta) de 3 punts, i el quadrat és de 4 x 4. Si l’últim sumando fora 9 anyadiriem una fila (la superior) de 5 punts i una columna (la de la dreta) de 4 punts, i el quadrat sería de 5 x 5. Si l’últim sumando fora 97 anyadiriem una fila (la superior) de ((97 + 1)/2 =)49 punts i una columna (la de la dreta) de 48 punts, i el quadrat sería de 49 x 49. Per tant: 1 + 3 + 5 + 7 +. . . + 97 = 49 x 49 = 2401