Olimpiada Matemtica SAEM Thales Fase Provincial Fase Regional

Olimpiada Matemática SAEM Thales Fase Provincial Fase Regional 09 de Marzo de 2019 09 al 12 de Mayo de 2019

Problema nº 2 : Cosecha interestelar Darrow es un agricultor que está intentando hacerse un hueco en el mercado de productos exóticos en Marte. Hace poco compró una finca triangular cerca del Monte Olimpo (que es el mayor volcán del Sistema Solar) y la plantó como muestra la figura. La finca la dividió en cinco bandas paralelas con la misma anchura. La parte más oscura la ha plantado con hemantos de Mercurio y la parte más clara, con la acelga plutoniana. Sabiendo que el área total de la finca es de 145 metros cuadrados, contesta de forma razonada ¿cuál es el área que ha plantado con hemantos? Solución

SOLUCIÓN del Problema 2 Este problema lo podemos resolver de tres maneras diferentes. Selecciona la que quieras ver: Descomponiendo la figura Usando semejanza de triángulos Pensando un poco más Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 DESCOMPONIENDO LA FIGURA La figura la podemos descomponer como sigue: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Como vemos, la parte roja representa figura. de la Por lo tanto, el área en rojo es: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 USANDO SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS En la imagen podemos ver cinco triángulos que se encuentran en “Posición de Thales”, esto es, tienen un ángulo en común (el superior) y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Por lo tanto, los cinco triángulos son semejantes. Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Denotemos por T 1 , T 2 , T 3 , T 4 y T 5 los triángulos sucesivos (empezando por el vértice superior). Al ser la anchura de las bandas constante, deducimos que la altura de T 2 es el doble que la de T 1, la altura de T 3 es el triple que la de T 1… (Hemos considerado la altura desde los lados paralelos hasta el vértice superior) Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Además sabemos que si dos polígonos P y P’ son semejantes con razón de semejanza k, sus áreas se relacionan mediante: Así: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Por otro lado, sabemos que: Así, Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 PENSANDO UN POCO MÁS Juguemos un poco con la figura: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Como vemos, la parte roja representa las dos quintas partes de la figura, que ahora ha doblado su área. Sin embargo, al tratarse de figuras iguales, en nuestra figura original siguen representando las dos quintas partes del total. Por lo tanto, el área buscada es: Enunciado

SOLUCIÓN del Problema 2 Así pues nuestro amigo Darrow ha plantado una superficie de hemantos de: Hemos encontrado la solución, pero ¿habrá más formas de conseguirla? Enunciado Otra resolución

Olimpiada Mátemática SAEM Thales GRACIAS por vuestra atención