ANLISE COMBINATRIA FATORIAL 5 5 4 3 2

ANÁLISE COMBINATÓRIA FATORIAL 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 120 4! = 4. 3. 2. 1 = 24 3! = 3. 2. 1 = 6 2! = 2. 1 = 2 1! = 1 0! = 1 CONVENÇÃO n! = n. (n 1). (n 2). (n 3). . . 2. 1 Exemplo: Calcular o valor de: a) 4! + 3! 24 + 6 30 b) 7! 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 5040 Observe que: 4!+3! 7! c) = 10. 9. 8! 8! = 90

(n + 1)! = (n + 1). n. (n – 1). (n – 2). (n – 3). . (n + 1)! = (n + 1). n. (n – 1)! O conjunto solução de: d) é: 50. 49! – 49! Determine a soma dos valores de m que satisfazem a equação (m – 3)! = 1! ou (m – 3)! = 0! 49! m– 3=1 m=4 49!(50 – 1) 49! 49 (n + 1). n. (n – 1)! m=3 = 210 Logo a soma dos valores de m é 7 (n + 1). n = 210 n 2 + n – 210 = 0 n’ = 14 m– 3=0 n’’ = - 15 (não convém)

PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM O princípio fundamental da contagem, ou princípio multiplicativo, estabelece um método indireto de contagem de um determinado evento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades. Pode ser enunciado dessa forma: Se um Evento E pode acontecer por n etapas sucessivas e independentes de modo que: E 1 é o número de possibilidades da 1ª Etapa E 2 é o número de possibilidades da 2ª Etapa : : En é o número de possibilidades da n-ésima Etapa Então E 1. E 2. . . Ek é o número total de possibilidades do evento ocorrer. Quantas placas para identificação de veículos podem ser confeccionadas com 3 letras e 4 algarismos? (Considere 26 letras, supondo que não há nenhuma restrição. ) 26 26 26 10 10 = 175. 760. 000

Quantos números de telefones com sete algarismos e prefixo 244 podem ser formados ? Alguns números possíveis 244 244 244 : : : 3215 5138 0008 2344 0000 Usando o princípio fundamental da contagem: 244 10 10 = 10 000 números fixo

Numa olimpíada de Matemática concorrem 100 participantes e serão atribuídos dois prêmios, um para o 1º lugar e outro para o 2º lugar. De quantas maneiras poderão ser distribuídos esses prêmios? 100 99 = 9900 maneiras

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO ARRANJO NÃO USA TODOS ELEMENTOS IMPORTA ORDEM COMBINAÇÃO NÃO IMPORTA ORDEM FORMULÁRIO Pn = n!

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 01) ( UFSC ) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos. Ligando-se dois quaisquer desses pontos, obtém-se uma corda. O número total de cordas assim formadas é: n = 8 “total” p = 2 “usa” A C Corda AC = CA COMBINAÇÃO

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 03)Quanto aos anagramas da palavra NÚMERO, determine: a) Total de Anagramas Pn = n! c)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas. N U M ERO P 6 = 6! X ERO P 3. P 4 P 6 = 720 3!. 4! b)O número de anagramas que começam em “N” e terminam em “O” N O {U, M, E, R} 6. 24 = 144 d)O número de anagramas que possuem “N, U, M” juntas e nessa ordem. P 4 = 4! = 24

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 04) Determine o número de anagramas da palavra CARCARÁ (não considere o acento) 05) ( ITA ) O número de soluções inteiras e não negativas da equação x + y + z + w = 5 é:

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 06) Os presentes a determinada reunião, ao final da mesma, cumprimentam-se mutuamente, com aperto de mão. Os cumprimentos foram em número de 28. O número de pessoas presentes à reunião é: n = x “total” p = 2 “usa” José – Carlos – José COMBINAÇÃO 56 = x 2 - x x 2 – x – 56 = 0 x=8

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 07) ( UEL-PR ) Seis gremistas e um certo número de colorados assistem a um Grenal. Com o empate final, todos os colorados cumprimentam-se entre si uma única vez, e todos os gremistas cumprimentam-se entre si uma única vez, havendo no total 43 cumprimentos. O número de colorados é: x 2 – x =56 x 2 – x – 56 = 0 x=8

USA TODOS ELEMENTOS PERMUTAÇÃO NÃO USA TODOS ELEMENTOS ARRANJO Importa ordem COMBINAÇÃO Não Importa ordem 08) ( UFSC ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. A equação 04. Numa sala estão 5 professores e 6 = 12 não possui solução. alunos. O número de grupos que podemos formar, tendo 2 professores e 3 alunos, é 30. F x(x – 1) = 12 x 2 – x – 12 = 0 x 1 = 4 ou x 2 = – 3 (não serve). 02. Com a palavra CAJU podemos formar 24 anagramas Pn = n! P 4 = 4! = 24 V ou + e x F 08. Na final do revezamento 4 x 100 m livre masculino, no Mundial de Natação, em Roma 2009, participaram: Estados Unidos, Rússia, França, Brasil, Itália, África do Sul, Reino Unido e Austrália. Os distintos modos pelos quais poderiam ter sido distribuídas as medalhas de ouro, prata e bronze são em número de 56. ARRANJO P. F. C 8 7 6 =336 F

09) ( UFSC-2009 ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Em uma clínica médica trabalham cinco médicos e dez enfermeiros. Com esse número de profissionais é possível formar 200 equipes distintas, constituídas cada uma de um médico e quatro enfermeiros. F 02. Entre os anagramas da palavra considere o acento) ÁGUA, 6 começam por consoante. (não F 04. A partir de 12 pontos distintos marcados numa circunferência podem ser feitos 440 triângulos unindo-se três desses pontos. F 08. O total de números pares que se obtém permutando os algarismos 1, 2, 2, 5, 5, 5 e 6 é 180. Terminados em 2 TOTAL: 180 Terminados em 6 V