Noktaya gre simetri Doruya gre simetri Yansma AA

  • Slides: 103
Download presentation
Noktaya göre simetri.

Noktaya göre simetri.

Doğruya göre simetri Yansıma AA’ …. . d AK …. . KA’

Doğruya göre simetri Yansıma AA’ …. . d AK …. . KA’

Öteleme A noktasının u vektörüne göre ötelenmesi. A’ A Önemli olan A noktasının hangi

Öteleme A noktasının u vektörüne göre ötelenmesi. A’ A Önemli olan A noktasının hangi yönde ve ne kadar kayacağıdır. Şekilde A noktası, u vektörünün uzunluğu kadar ve u vektörü yönünde paralel olarak kaydırılmıştır.

Ötelemeli yansıma Hızlı araba Arabalı hız

Ötelemeli yansıma Hızlı araba Arabalı hız

Dönme A noktası, O noktası etrafında kadar döndürülürse A’ noktası elde edilir. Dönme açısının

Dönme A noktası, O noktası etrafında kadar döndürülürse A’ noktası elde edilir. Dönme açısının pozitif yönlü olduğuna dikkat ediniz. O noktasına dönme merkezi denir.

Dönüşümler Düzlemin noktalarını düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyonlara düzlemin bir dönüşümü

Dönüşümler Düzlemin noktalarını düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyonlara düzlemin bir dönüşümü denir. Noktaya göre simetri, doğruya göre simetri (yansıma), öteleme ve dönme simetrileri birer dönüşümdür. Bu ve bu dönüşümlerin bileşkelerinden oluşan dönüşümlerde uzaklık ve açı ölçüleri değişmez. Öteleme, dönme, yansıma veya bunların bileşke dönüşümlerine düzlemde izometri dönüşümleri de denir. Bu dönüşümler altında bir şeklin görüntüsüne de bu şeklin simetriği (eşi) denir.

1) Öteleme dönüşümü P’ P

1) Öteleme dönüşümü P’ P

Alıştırma 1 Köşeleri A(-6, 3), B(-6, 1) ve C(-3, 3) olan üçgen Ötelenerek A’B’C’

Alıştırma 1 Köşeleri A(-6, 3), B(-6, 1) ve C(-3, 3) olan üçgen Ötelenerek A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. A’(3, 5) olduğuna göre a) B’ ve C’ noktalarının koordinatlarını bulunuz. b) Öteleme vektörünü bulunuz. c) Öteleme dönüşümünde elde edilen üçgen ile ilk üçgeni kıyaslayınız. y A(-6, 3) A’(3, 5) C(-3, 3) B(-6, 1) x O

Alıştırma 2 d: x – 2 y + 4 = 0 doğrusu (3, -2)

Alıştırma 2 d: x – 2 y + 4 = 0 doğrusu (3, -2) vektörü kadar ötelenirse elde edilen d’ doğrusunun denklemini bulunuz ve analitik düzlemde grafiklerini inceleyiniz. y d (0, 2) d' (-4, 0) P(x, y) x O (3, 0) P’(x’, y’) Sonuç: Öteleme dönüşümlerinde doğruların eğimleri değişmez.

Ödev d 1: 2 x -3 y + 1 = 0 doğrusu (1, 3)

Ödev d 1: 2 x -3 y + 1 = 0 doğrusu (1, 3) vektörü kadar ötelendiğinde d 2 doğrusu elde ediliyor. d 2 doğrusu da u vektörü kadar ötelendiğinde 2 x -3 y – 12 = 0 doğrusu elde edildiğine göre u vektörünün koordinatlarını bulunuz.

2) Dönme dönüşümü Bir P(x, y) noktasının orijin etrafında kadar pozitif yönde döndürülmesiyle elde

2) Dönme dönüşümü Bir P(x, y) noktasının orijin etrafında kadar pozitif yönde döndürülmesiyle elde edilen nokta P’(x’, y’) olsun; Dönme: Rotation

Alıştırma 1 ABC üçgeni orijin etrafında 90 o döndürüldüğünde A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. a)

Alıştırma 1 ABC üçgeni orijin etrafında 90 o döndürüldüğünde A’B’C’ üçgeni elde ediliyor. a) A’, B’ ve C’ noktalarının koordinatlarını bulunuz. b) Dönme merkezini söyleyiniz. c) Dönme dönüşümünde elde edilen üçgen ile ilk üçgeni kıyaslayınız.

Alıştırma 2 Analitik düzlemde verilen d doğrusu orijin etrafında 135 o döndürüldüğünde d’ doğrusu

Alıştırma 2 Analitik düzlemde verilen d doğrusu orijin etrafında 135 o döndürüldüğünde d’ doğrusu elde edilmiştir. a) doğruların denklemlerini yazınız. b) Bu iki doğru arasındaki dar ve geniş açıların ölçülerini söyleyiniz. P(x, y) P’(x’, y’) d d'

Ödev 1 d : y = x + 1 olmak üzere d' d‘ :

Ödev 1 d : y = x + 1 olmak üzere d' d‘ : ? d

Ödev 2

Ödev 2

Alıştırma 3 A(8, 8) noktası, B(6, 5) noktası etrafında 60 o döndürüldüğünde elde edilen

Alıştırma 3 A(8, 8) noktası, B(6, 5) noktası etrafında 60 o döndürüldüğünde elde edilen K noktasının koordinatlarını bulunuz. y x

Simetriler Öteleme veya dönme dönüşümlerinden de elde edilebilen diğer dönüşümlere özel dönüşümler (simetri) denir.

Simetriler Öteleme veya dönme dönüşümlerinden de elde edilebilen diğer dönüşümlere özel dönüşümler (simetri) denir. İki çeşit simetri vardır. 1) Noktaya göre simetri 2) Doğruya göre simetri (yansıma) A H

Alıştırma 1 P(5, 1) noktasının, y=2 x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. Çözüm:

Alıştırma 1 P(5, 1) noktasının, y=2 x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. Çözüm:

Alıştırma 2 P(x, y) noktasının, y=2 x + 1 doğrusuna göre simetriğini P’ ise

Alıştırma 2 P(x, y) noktasının, y=2 x + 1 doğrusuna göre simetriğini P’ ise olduğunu gösteriniz. Çözüm:

Alıştırma 3 5 x + 5 y = 1 doğrusunun , y=2 x +

Alıştırma 3 5 x + 5 y = 1 doğrusunun , y=2 x + 1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz. Çözüm: 2. Alıştırmada y =2 x+1 doğrusuna göre simetri kuralını bulmuştuk;

Sık kullanılan simetriler y x

Sık kullanılan simetriler y x

Alıştırma 1

Alıştırma 1

Alıştırma 2 - Ödev x 2 +2 y = 1 eğrisinin, a) orijine göre

Alıştırma 2 - Ödev x 2 +2 y = 1 eğrisinin, a) orijine göre simetriğini b) x eksenine göre simetriğini c) y eksenine göre simetriğini d) 1. açıortay doğrusuna göre simetriğini e) 2. açıortay doğrusuna göre simetriğini f) x = 1 doğrusuna göre simetriğini g) y = -3 doğrusuna göre simetriğini h) (1, 2) noktasına göre simetriğini i) y = x -1 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Ödev 1

Ödev 1

Ödev 2 a) y = 3 x + 6 doğrusunun K(-1, 3) noktasına göre

Ödev 2 a) y = 3 x + 6 doğrusunun K(-1, 3) noktasına göre simetriğini bulunuz. b) y = 3 x + 6 doğrusunun x + 3 y – 5 = 0 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.

Ödev 3

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 12

Ödev 13

Ödev 13

Ödev 13

Ödev 13

Ödev 14

Ödev 14

Ödev 15

Ödev 15

Ödev 16

Ödev 16

Ödev 17

Ödev 17

Şerit süslemeler Bir motifin belirli bir doğrultu boyunca ötelenmesiyle oluşan süslemelere şerit süslemeler denir.

Şerit süslemeler Bir motifin belirli bir doğrultu boyunca ötelenmesiyle oluşan süslemelere şerit süslemeler denir. Motiflerle elde edilen şerit süslemeler Öteleme Yatay yansıma Dikey yansıma Ötelemeli yansıma 180 o lik dönme (yarı dönme)

Kaplamalar Bir düzlemsel bölgenin, bir motif kullanılarak boşluk kalmayacak ve motifler çakışmayacak şekilde dönüşümler

Kaplamalar Bir düzlemsel bölgenin, bir motif kullanılarak boşluk kalmayacak ve motifler çakışmayacak şekilde dönüşümler (yansıma, dönme, ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir. Birden çok motif kullanılmışsa yarı düzgün kaplama denir.

Eş şekiller

Eş şekiller

Eş üçgenler A(0, 3) B(2, 0) C(4, 2) D(0, -3) E(-2, 0) F(-4, -2)

Eş üçgenler A(0, 3) B(2, 0) C(4, 2) D(0, -3) E(-2, 0) F(-4, -2) y y x = 3, 6 br y = 4, 1 br z = 2, 8 br z A C x = 59, 0 = 78, 7 = 42, 3 E O B F ABC ve DEF üçgenleri için yandaki iki koşul sağlanıyorsa bu iki üçgene eş üçgenler denir. ile gösterilir. D x

Eşlik teoremleri KKK eşliği: AKA eşliği: KAK eşliği: AAA ve KKA eşliği olabilir mi?

Eşlik teoremleri KKK eşliği: AKA eşliği: KAK eşliği: AAA ve KKA eşliği olabilir mi?

Ödev 1 Açıortay üzerindeki bir noktadan, açının kenarlarına inilen dikmelerin eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 1 Açıortay üzerindeki bir noktadan, açının kenarlarına inilen dikmelerin eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 2 İkizkenar üçgende tabana ait kenarortayın yükseklik ve açıortay olduğunu gösteriniz.

Ödev 2 İkizkenar üçgende tabana ait kenarortayın yükseklik ve açıortay olduğunu gösteriniz.

Ödev 3 Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 3 Paralelkenarın karşılıklı kenarlarının eşit uzunlukta olduğunu gösteriniz.

Ödev 4 Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını gösteriniz.

Ödev 4 Paralelkenarın köşegenlerinin birbirini ortaladığını gösteriniz.

Ödev 5 ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

Ödev 5 ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç birim karedir?

Ödev 6 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı kaç birim karedir?

Ödev 6 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı kaç birim karedir?

Ödev 7 ABCD kare, ABC eşkenar üçgen, DF = AE = DC m(CKE) =?

Ödev 7 ABCD kare, ABC eşkenar üçgen, DF = AE = DC m(CKE) =? m(AFB) =?

Ödev 8 AB // DE AB = BE x =?

Ödev 8 AB // DE AB = BE x =?

Ödev 9 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı x ve y türünden kaç birim karedir?

Ödev 9 ABCD ikizkenar yamuğunun alanı x ve y türünden kaç birim karedir?

Ödev 10 ABC eşkenar üçgen ADE eşkenar üçgen m(CFD) =?

Ödev 10 ABC eşkenar üçgen ADE eşkenar üçgen m(CFD) =?

Homoteti dönüşümü M sabit bir nokta ve k sabit bir reel sayı olmak üzere;

Homoteti dönüşümü M sabit bir nokta ve k sabit bir reel sayı olmak üzere; olacak biçimde P’ noktasına P nin M merkezli, k oranlı homotetiği denir. dönüşümüne M merkezli k oranlı homoteti dönüşümü denir. M noktası ve k sayısı sabit kalmak üzere, değişen P noktalarının meydana getirdiği şekil ile P’ noktalarının meydana getirdiği şekile homotetik şekiller (benzer şekiller) denir.

Alıştırma 1 M merkezli k = 3 oranlı homoteti verilmiştir. ABC üçgeni ile A’B’C’

Alıştırma 1 M merkezli k = 3 oranlı homoteti verilmiştir. ABC üçgeni ile A’B’C’ üçgeni homotetik (benzer)dir. Homoteti dönüşümünde açılar korunur, şekildeki uzunluklar ise orantılıdır (yani karşılıklı uzunluklar oranı sabittir, bu oran homoteti oranına eşittir. )

Alıştırma 2 M merkezli k 1 = 2, ve k 2 = 3 oranlı

Alıştırma 2 M merkezli k 1 = 2, ve k 2 = 3 oranlı iki ardışık homoteti verilmiştir. Yani; |MA’|=2|MA|, |MA’’|=3|MA’| ABC üçgeni ile A’B’C’ üçgeninin benzerlik oranı k 1 = 2, A’B’C’ üçgeni ile A’’B’’C’’ üçgeninin benzerlik oranı k 2 = 3 ABC üçgeni ile A’’B’’C’’ üçgeninin benzerlik oranı …………dır.

Benzerlik Beyin uzunlukları değil, açıları baz alarak, Şekillerin benzeyip benzemediğine karar veriyor…

Benzerlik Beyin uzunlukları değil, açıları baz alarak, Şekillerin benzeyip benzemediğine karar veriyor…

Üçgenlerin benzerliği AA benzerliği: KAK benzerliği: KKK benzerliği: Çevreler oranı: Alanlar oranı:

Üçgenlerin benzerliği AA benzerliği: KAK benzerliği: KKK benzerliği: Çevreler oranı: Alanlar oranı:

Temel orantı A D B A E D C B E C

Temel orantı A D B A E D C B E C

Alıştırma A A 3 3 D 9 E D 2 B 2 x C

Alıştırma A A 3 3 D 9 E D 2 B 2 x C B 12 E x C

Tales teoremleri A E B B A D F E C C F D

Tales teoremleri A E B B A D F E C C F D

Alıştırma A 5 D A D 18 x + y =? E y F

Alıştırma A 5 D A D 18 x + y =? E y F F E x B 15 C C B Artış miktarı

Dik üçgende metrik bağıntılar Öklit bağıntılarını yazınız ve ispatlayınız.

Dik üçgende metrik bağıntılar Öklit bağıntılarını yazınız ve ispatlayınız.

Alıştırma 4 x =?

Alıştırma 4 x =?

Alıştırma 5 x =?

Alıştırma 5 x =?

Ödev 1

Ödev 1

Ödev 2

Ödev 2

Ödev 3

Ödev 3

Ödev 4

Ödev 4

Ödev 5

Ödev 5

Ödev 6

Ödev 6

Ödev 7

Ödev 7

Ödev 8

Ödev 8

Ödev 9

Ödev 9

Ödev 10

Ödev 10

Ödev 11

Ödev 11

Ödev 12

Ödev 12

Ödev 12

Ödev 12

Menelaus teoremi 1) A, B, C doğrusaldır 2) C, D, E doğrusaldır 3) E,

Menelaus teoremi 1) A, B, C doğrusaldır 2) C, D, E doğrusaldır 3) E, F, B doğrusaldır 4) A, F, D doğrusaldır

Alıştırma |AF| = |FD| 1 |ED| = 2|CD| x

Alıştırma |AF| = |FD| 1 |ED| = 2|CD| x

Alıştırma |AF| = |FD| 2 |ED| = 2|CD| 1 x + y =? x

Alıştırma |AF| = |FD| 2 |ED| = 2|CD| 1 x + y =? x y

Seva teoremi Sonuç: |BD| = |DC| FE // BC Sonuç : ABC üçgeninin kenarortayları

Seva teoremi Sonuç: |BD| = |DC| FE // BC Sonuç : ABC üçgeninin kenarortayları seva teoremi gereği tek noktada kesişir.

Alıştırma 1 G, (ABC) nin ağırlık merkezidir. A(ABC) = 48 |GK|=3 |AK|=? |GE|=? A(GFK)=?

Alıştırma 1 G, (ABC) nin ağırlık merkezidir. A(ABC) = 48 |GK|=3 |AK|=? |GE|=? A(GFK)=? A(ADK)=? 3

Alıştırma 2 x =? y =?

Alıştırma 2 x =? y =?

Fraktal Uzunluğu 1 birim olan doğru parçası veriliyor. Bu doğru parçası 1/3 oranında küçültülüp

Fraktal Uzunluğu 1 birim olan doğru parçası veriliyor. Bu doğru parçası 1/3 oranında küçültülüp 120 o saat yönünde döndürülüp dikey yansıması alınarak bir motif oluşturuluyor. Motifi oluşturan her doğru parçasına aynı kural uygulanarak aşağıdaki fraktal görüntü elde ediliyor. Bu fraktala “Korş (Korch) eğrisi” denilir.

Alıştırma

Alıştırma

Temel geometrik çizimler 1 1) Verilen bir doğru parçasına eşit uzunlukta bir doğru parçası

Temel geometrik çizimler 1 1) Verilen bir doğru parçasına eşit uzunlukta bir doğru parçası çizmek

Temel geometrik çizimler 2 2) Verilen bir açıya eş açı çizmek

Temel geometrik çizimler 2 2) Verilen bir açıya eş açı çizmek

Temel geometrik çizimler 3 3) Verilen bir açının açıortayını çizmek

Temel geometrik çizimler 3 3) Verilen bir açının açıortayını çizmek

Temel geometrik çizimler 4 4) Verilen bir doğru parçasının orta dikme doğrusunu çizmek

Temel geometrik çizimler 4 4) Verilen bir doğru parçasının orta dikme doğrusunu çizmek

Temel geometrik çizimler 5 5) Doğru üzerindeki bir noktadan dik çıkma

Temel geometrik çizimler 5 5) Doğru üzerindeki bir noktadan dik çıkma

Temel geometrik çizimler 6 6) Bir noktadan bir doğruya dik inme

Temel geometrik çizimler 6 6) Bir noktadan bir doğruya dik inme

Temel geometrik çizimler 7 7) Verilen bir üçgenin iç teğet çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 7 7) Verilen bir üçgenin iç teğet çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 8 8) Verilen bir üçgenin istenilen kenarına teğet olan dış teğet

Temel geometrik çizimler 8 8) Verilen bir üçgenin istenilen kenarına teğet olan dış teğet çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 9 9) Verilen bir üçgenin çevrel çemberini çizme

Temel geometrik çizimler 9 9) Verilen bir üçgenin çevrel çemberini çizme

Alıştırma 1 a = 3 br b = 5 br c = 7 br

Alıştırma 1 a = 3 br b = 5 br c = 7 br olan ABC üçgenini çiziniz.

Alıştırma 2 a = 3 br b = 5 br m(C) = 45 o

Alıştırma 2 a = 3 br b = 5 br m(C) = 45 o olan ABC üçgenini çiziniz.

Alıştırma 3 a = 8 br c = 7 br m(C) = 60 o

Alıştırma 3 a = 8 br c = 7 br m(C) = 60 o olan ABC üçgenlerini çiziniz.

Alıştırma 4 a = 8 br c = 7 br m(C) = 120 o

Alıştırma 4 a = 8 br c = 7 br m(C) = 120 o olan ABC üçgenini çiziniz.