GRE Recife Sul 1 ENCONTRO DE MATEMTICA 2015

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GRE Recife Sul 1º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015 I) As visões compartilhadas estimulam a

GRE Recife Sul 1º ENCONTRO DE MATEMÁTICA 2015 I) As visões compartilhadas estimulam a coragem de uma forma tão natural que as pessoas nem percebem a extensão de sua coragem. Ter coragem É simplesmente fazer o que for necessário para realizar a Visão ( Senge, 1999 p. 236) II) Se me perguntares qual o segredo de aprender matemática, eu não sei ! Porém, posso te afirmar que somente com a prática e com a atenção necessária, aprendemos a amá-la Paulatinamente, somente assim, poderemos ser conquistado pela fala dos mais ínfimos segredos que os próprios números nos revelam. (Samuel Justino).

RESOLUÇÃO DA LISTA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO – GRE RECIFE SUL ENCONTRO

RESOLUÇÃO DA LISTA DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO – GRE RECIFE SUL ENCONTRO DE PROFESSORES MARÇO - 2015

GRE Recife Sul 1) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a

GRE Recife Sul 1) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a vista aérea de um trecho de rodovia retilínea geoprocessada localizada na região de Garanhuns na região do agreste do estado de Pernambuco, cujo trajeto é feito por um automóvel, formando um triângulo de vértices ABC, cujas coordenadas dos vértices são A = (1, 1), B = (4, 0) e C = (3, 4), Considerando que a projeção de AC sobre AB corresponde ao seguimento AH conforme a figura abaixo, sabendo-se que as medidas coordenadas estão em hectare, onde 1 hectare corresponde a 100 metros linear, uma equipe de engenharia e de Professores de matemática da GRE Recife Sul foram escalados, pelo secretário de Educação do Estado de Pernambuco para definir a área do terreno em m², neste caso os valor obtido foi igual a: a) 5, 1 x 10²m 2 b) 7, 5 x 10³m² c) 25 x 10 4 d) 35, 104 e) 5, 5 x 104 m² Área do Triângulo ABC = ( Base x Altura ) 2 Base = distância entre os pontos A e B Altura triângulo ACH ou BCH

Por Geometria d. BC = distância entre os pontos B e C d. BC²

Por Geometria d. BC = distância entre os pontos B e C d. BC² = (4 – 3)² + ( 0 – 4)² d. AC = distância entre os pontos A e C 3 b Sendo: C = (3, 4) e B = (4, 0) d. BC² = ( 1)² + ( – 4)² d. AC² = (3 – 1)² + ( 4 – 1)² d. AB = √ 10 √ 1 d. AB² = ( 3)² + ( – 1)² d. BC = √ 17 C a =√ c d. AC = √ 13 Respota Letra E Dados três lados de um triângulo qualquer, pela lei dos cossenos : d. BC = a = √ 17 a² = b² + c ² - 2 bc cos (√ 17) ² = (√ 13) ² + (√ 10) ² - 2 √ 13 √ 10 cosά Cálculo da altura h d. AC = b = √ 13 b² = h² + AH² h² = 13 – 9 10 Área = 5, 5 hec d. AB = c =√ 10 17 = 13 + 10 - 2 √ 13 √ 10 cosά AH = b Cos ά AH = √ 13. 3 / √ 13 √ 10 17 d. AB = √ 10 Sendo: A = (1, 1) e C = (3, 4) d. AC² = ( 2)² + ( 3)² d. B h d. AB² = (4 – 1)² + ( 0 – 1)² Sendo: A = (1, 1) e B = (4, 0) C= d. AB = distância entre os pontos A e B cosά = 3 / √ 130 AH = 3 √ 10 10 h = 11/ √ 10 Área = √ 10. 11/ √ 10 2 Área = 5, 5 x 104 m² Como 1 hec = 10 4 m²

Por Álgebra Sendo: A = (1, 1) , B = (4, 0) C =

Por Álgebra Sendo: A = (1, 1) , B = (4, 0) C = (3, 4) Área ∆ABC = ½ Det Matriz (A) (4, 0) (1, 1) Por Laplace: 1 2 Det 1 1 1 4 0 1 3 4 1 Det (A) = 1( 0 x 1 – 4 x 1) - 1( 4 x 1 – 3 x 1) + 1( 4 x 4 – 3 x 0) Det (A) = - 4 -1 + 16 Logo a área do Triângulo ABC = ½ X 11 Det (A) = 11 Área ∆ABC = 5, 5 hec Área ∆ABC = 5, 5 x 10 4 m²

GRE Recife Sul 2) UFSCar 2007) - Em uma pesquisa, foram consultados 600 consumidores

GRE Recife Sul 2) UFSCar 2007) - Em uma pesquisa, foram consultados 600 consumidores sobre sua satisfação em relação a uma certa marca de sabão em pó. Cada consumidor deu uma nota de 0 a 10 para o produto, e a média final das notas foi 8, 5. O número mínimo de consumidores que devem ser consultados, além dos que já foram, para que essa média passe para 9, é igual a a) 250. b) 300. c) 350. d) 400. e) 450. Seja: S = a soma das notas dos 600 consumidores já consultados x = o número mínimo de novos consumidores a serem consultados. O número mínimo vai ocorrer quando a nota atribuída por cada dos consumidores for a máxima , ou seja igual a (10). Inicialmente temos S 600 = 8, 5 S = 5100 O número mínimo ocorre quando parte dos consumidores obtiverem a nota 10; para uma média, que sobe de 8, 5 para 9, 0. S + 10 X 600 + X = 9, 0 9 ( 600 + X) = S + 10 X 5400 + 9 X = 5100 + 10 X X = 300 5400 + 9 X = S + 10 X Resposta Letra b

GRE Recife Sul 3) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a

GRE Recife Sul 3) Adaptada Equipe GRE RCF SUL A figura abaixo representa a vista aérea de um trecho de rodovia retilínea geoprocessada localizada na região de Garanhuns na região do agreste do estado de Pernambuco, cujo trajeto é feito por um automóvel, formando um triângulo de vértices ABC, cujas coordenadas dos vértices são A = (1, 1), B = (4, 0) e C = (3, 4), Considerando que a projeção de AC sobre AB corresponde ao seguimento AH conforme a figura abaixo, sabendo-se que as medidas coordenadas estão em hectare, onde 1 hectare corresponde a 104 m², uma equipe de engenharia e de Professores de matemática da GRE Recife Sul foram escalados, pelo secretário de Educação do Estado de Pernambuco para definir a área do terreno em m², neste caso o valor obtido foi igual a: h ɭ : Área ∆ (ABC )= ɭ x ɭ√ 3 2 2 C ɭ A ɭ² = h² + ( ɭ / 2)² ) ɭ² = h² + ( ɭ² / 4 ) h² = ɭ² - ( ɭ² / 4 ) ɭ B Área ∆ (ABC )= ɭ²x√ 3 4 h² = 4ɭ² - ( ɭ² ) 4 h² = ɭ² (4 – 1) 4 h² = 3ɭ² h = ɭ√ 3 4 2 Área Hexágono= 3ɭ²√ 3 2

ABHR =Área da base do Hexagono regular : = 3ɭ²√ 3 2 Mas ɭ

ABHR =Área da base do Hexagono regular : = 3ɭ²√ 3 2 Mas ɭ = 16 cm Área Lateral ABHR = 3 (16)². 1, 73 2 ABHR = 664, 32 cm² Área Total = 2 x ABHR + Aɭ 20 cm Área Total = 2 x 664, 32 + 1920 Área Total = 3. 248, 64 cm² Do problema , Admite-se que se utilize 25% a mais de material 16 cm Al = 6 x (20 x 16) = Al = 1920 cm² Ou seja a Área considerada = 1, 25 da Área total Área Considerada = 3. 248, 64 x 1, 25 cm² Área Considerada = 4. 060, 8 cm² Respota Letra E

GRE Recife Sul 4) Faap No videogame da figura a seguir, os aviões voam

GRE Recife Sul 4) Faap No videogame da figura a seguir, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória y=(1/x)+1, e podem disparar suas balas na direção da tangente contra as pessoas ao longo do eixo x, em x=1, 2, 3, 4 e 5. Determine se alguém será atingido se o avião disparar um projétil quando estiver em P(1, 2), sabendo-se que a declividade da reta tangente é igual a -1. a) pessoa em x = 2 b) pessoa em x = 5 c) pessoa em x = 3 d) pessoa em x = 4 e) não atinge ninguém A equação da reta tangente a curva no ponto P , pode ser definida através da equação geral da reta : y- y 0 = m ( x –x 0) y- 2 = -1( x – 1) Para x=1 y= 2 y- 2 = - x +1 Disparo x= 2 y= 1 Fora do alcance x= 3 y=-x+3 x= 4 y= -1 x= 5 y= - 2 Fora do alcance y= 0 Atinge o alvo, conforme mostra a figura Fora do alcance Resposta Letra C

GRE Recife Sul 5) (ENEM 2011) O termo agronegócios não se refere apenas à

GRE Recife Sul 5) (ENEM 2011) O termo agronegócios não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro. Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de: a) 1998 e 2001 b) 2001 e 2003 c) 2003 e 2006 d) 2003 e 2007 e) 2003 e 2008

GRE Recife Sul Resposta Letra C

GRE Recife Sul Resposta Letra C

GRE Recife Sul 6) Enem 2010) O limite do consumo mensal de energia elétrica

GRE Recife Sul 6) Enem 2010) O limite do consumo mensal de energia elétrica de uma residência, sem multa, foi fixado em 320 k. Wh. Pelas regras do racionamento, se esse limite for ultrapassado, o consumidor deverá pagar 50% a mais sobre o excesso. Além disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de 16%. Suponha que o valor pago pelo consumo de energia elétrica no mês de outubro tenha sido 20% maior do que aquele que teria sido pago sem as regras do racionamento e sem o aumento de tarifa em agosto. Pode-se então, concluir que o consumo de energia elétrica , no mês de outubro foi de aproximadamente: a)301 k. Wh b)343 k. Wh c)367 k. Wh d) 385 k. Wh e)413 k. Wh Sem as Regras o valor pago é : VP = C. P, VP = Valor Pago C= Consumo em kwh P = Tarifa de Energia Elétrica Em Agosto Com as novas regras o valor pago Será : VP = 320 x 1, 16 P + ( C – 320) x 1, 50 x 1, 16 P Em outubro o valor pago sera VP = 1, 20 x Cx P : Ou seja : 320 x 1, 16 P + [( C – 320) x 1, 50 x 1, 16 P] P(320 x 1, 16 + ( C – 320) x 1, 50 x 1, 16) = 1, 20 x Cx P : = P(1, 20 x C) : 371, 2 + 1, 74 C – 556, 8 = 1, 2 C - 185, 6 = - 0, 54 C C = 343, 7 Resposta Letra b

7) Adaptado - GRE RCF-SUL Na introdução do estudo de Equação polinomial ou Equação

7) Adaptado - GRE RCF-SUL Na introdução do estudo de Equação polinomial ou Equação algébrica sabemos por definição, que equação polinomial é toda equação da forma p(x) = 0, em que p(x) é um polinômio. O conjunto solução da equação é formado pelas raízes de uma equação polinomial. Para as equações em que o grau é 1 ou 2, o método de resolução é simples e prático. Nos casos em que o grau dos polinômios é 3 ou 4, existem expressões para a obtenção da solução, "Resolver" uma equação significa calcular suas raízes. Toda equação polinomial, de grau n, (n ˃ 1) possui, pelo menos, uma raiz complexa (real ou não). Considerando o texto acima, a equação polinomial x 3 + x 2 + kx = 0 , onde k é um coeficiente real. Se uma das raízes dessa equação é 4, as outras raízes Serão iguais a: a)(0, -5) b) (0, 5) c(0, 3) d) (1, 3) e) (-1, 3) Se uma das raízes é 4 , então : podemos substituir o valor de x na equação: x 3 + x 2 + kx = 0 80 = -4 K 43 + 42 + 4 k = 0 K = -20 64 + 16 + 4 k = 0 A equação fica definida da seguinte forma : x 3 + x 2 - 20 x = 0, Decompondo esta equação temos : x(x 2 + x - 20) = 0 logo a segunda raiz é x=0 Resolvendo a equação x 2 + x – 20 =0 ∆ = 9 x 1 , x 2 = -1 +/- √ 9 2. 1 x 1 = 4 x 2 = -5 Logo as duas outras são requisitada são : {0, -5 } Resposta Letra a

Separando os triângulos 8 – ( D 1) No desenho abaixo, NP é paralelo

Separando os triângulos 8 – ( D 1) No desenho abaixo, NP é paralelo a QR. 15 cm 6+ x x X= NP 5 cm Qual é a medida aproximada do comprimento do segmento NQ desse desenho? A) 10 cm B) 11 cm C) 12 cm D) 13 cm Por semelhança de triângulos : ( 6 + x ) = 18 x = 12 15 5 6 +x = 6 Logo Q = 12 6 cm Resposta Letra 3 5( 6 + x ) = 6. 15 C

9 – ( D 2 ) Sabendo-se que o volume de um cone circular

9 – ( D 2 ) Sabendo-se que o volume de um cone circular reto é igual a [(1/3). π r 2. h] e que o volume de uma esfera é [(4/3) πr³], considere a placa de propaganda de uma determinada sorveteria onde está exposto um sorvete casquinho gigante com dimensões conforme figura abaixo. Túlio, criança curiosa, pensou quanto sorvete caberia ali dentro, então, determine quantos litros de sorvete caberiam dentro do sorvete gigante. Considere π= 3. a) 5. 000 l b) 500 l c) 50 l d) 5 l Pela figura Temos uma semi esfera e um cone raio é comum as duas figuras – r = 1 cm Volume da Figura = [(1/3). π r 2. h] + ½ [(4/3) πr³], Volume da Figura = [(1/3). 3. 12. 3] + ½ [(4/3) 3. 1³], Volume da Figura = 3 + 2 1 m 3 = 1000 litros Logo 5 m 3 = 5000 litros Volume da Figura = 5 m 3 Resposta Letra A

10 – (D 3) Observe as figuras abaixo. Cortando essas figuras com um plano

10 – (D 3) Observe as figuras abaixo. Cortando essas figuras com um plano paralelo às bases, obtem-se um círculo em: A) I e IV. B) I e III. C) II e IV. D) II e V. Resposta Letra A

11–(D 4) A figura, representada abaixo, é de um prisma com x faces, y

11–(D 4) A figura, representada abaixo, é de um prisma com x faces, y vértices e z arestas. Qual é o valor de x + y + z ? A) 18. B) 24. C) 32. D) 38. X= faces y= vértices z= arestas Nº de Faces = 8 ( 02 faces da base e 06 faces laterais ) Nº de vértices = 12 Nº de vértices = 18 Logo x + y + z = Logo 8 + 12 + 18 = 38 Resposta Letra A

12 – (D 5) Uma viga está apoiada em uma parede, conforme representado no

12 – (D 5) Uma viga está apoiada em uma parede, conforme representado no desenho abaixo. Qual é o comprimento mais aproximado dessa viga? A) 5, 25 m B) 6, 00 m C) 7, 00 m D) 7, 56 m Sen 36º = 0, 6 Sen 36º = 4, 2 viga Comprimento da viga = 4, 2 0, 6 Comprimento da viga = 7 m Resposta Letra C

13 – ( D 6) O ponto em que a reta corta o eixo

13 – ( D 6) O ponto em que a reta corta o eixo das abcissas é igual a P(3, 0) A)(4, -1) B) ( 0, 3) C( 2, 0) D) (3, 0) Respsta Letra D

14 –( D 7) Sobre o Gráfico (01) da questão anterior, podemos afirmar que

14 –( D 7) Sobre o Gráfico (01) da questão anterior, podemos afirmar que a reta apontada no gráfico que intercepta o plano cartesiano possuí um coeficiente angular igual a A) - 1 B) 3 C) 1 D) -3 Coeficiente Angular: m = y- y 0 x – x 0 P 1 ( 0, 3) P 2 ( 4, -1) Coeficiente Angular: m = y- y 0 x – x 0 Coeficiente Angular: m = -1 - 3 4 -0 Gráfico 01 da questão anterior Coeficiente Angular: m = - 1 Resposta Letra A

15 – (D 8) A equação da reta que passa pelo ponto P(1, –

15 – (D 8) A equação da reta que passa pelo ponto P(1, – 3) e tem inclinação igual a 3/2 é Pela equação geral da reta : [ y- (-3)] = 3 ( x – 1) 2 2 y+6= 3 x– 3 y- y 0 = m ( x –x 0) 2 (y +-3) = 3 ( x – 1) 2 y = 3 x – 9) y = 3 x– 9 2 2 Resposta Letra D

GRE Recife Sul Obrigado a todos! Um abraço!

GRE Recife Sul Obrigado a todos! Um abraço!