Matriks Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar Aljabar Matriks

Matriks Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom. ac. id

Pengertian n Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. n Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau elemen matrik. n Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar, sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan huruf kecil. n Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang menyatakan banyak baris x banyak kolom Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom. ac. id

Lambang Matrik Secara umum sebuah matrik dapat ditulis: atau penulisan yang lebih singkat : dengan i=1, 2, . . . , m dan j=1, 2, . . . , n. Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua (j) menyatakan kolom ke-j. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh Matriks A= B= Dalam contoh di atas ordo(A)= 2 x 5 dan ordo(B)=2 x 2 a 23= 1032 b 23= tidak ada b 21= sin x Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Persamaan Matrik jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama, matrik A dan B adalah sama ditulis A=B Contoh: Jika A= dan B= dan A=B, maka a = -1, b = 1, dan c = 1. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (1/7) n Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom Diagonal Utama n Matrik Segitiga Atas, matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (2/7) n Matrik Segitiga Bawah, matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai nol n Matrik Diagonal, matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai nol Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (3/7) n Matrik Satuan, matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu, lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan I 2 = n Matrik skalar, I 3 = I 4 = matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai sama, asalkan tidak nol. atau c 0. Efek dari perkalian sebarang matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik sebarang tersebut dengan skalar c. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (4/7) =c = c. In n Matrik Nol, matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo dipentingkan ditulis O 35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3 x 5 O 23= O 53= Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (5/7) n Matrik Invers, matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik B biasanya dinyatakan oleh A-1 Untuk matrik berordo 2 x 2, telah diberikan rumus pencariannya, yaitu: A= A= , maka A-1 = = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matrik (6/7) Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya. Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan menggunakan determinan bersama dengan matrik adjoin. Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh n Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks segitiga atas, segitiga bawah, diagonal, ataukah skalar? Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jawab Termasuk matrik segitiga atas Termasuk matrik segitiga bawah Termasuk matrik diagonal Bukan matrik skalar, karena entry pada diagonal utama nol semua, walaupun sama semua Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Jenis Matriks (7/7) n Matrik Simetri, yaitu matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT n Matrik Skew-Simetri, matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a, b, dan c A= Jawab: A T= = = -A Sehingga didapat persamaan-persamaan: a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c, berarti: a = -1, b = 0, dan c = -2 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Operasi Matriks n Penjumlahan Matrik n Perkalian Matrik dengan Skalar n Transpos Matrik n Perkalian Dua Matrik n Trase Matrik Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Penjumlahan matrik Jika A=[aij], dan B=[bij] Jumlah matrik A dan B ditulis: C=A+B Syarat: ordo A = ordo B Aturan: cij=aij+bij {entri yang seletak dijumlahkan} Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh A= , B= , C= Hitung: A+B, B+C Jawab: A+B= + = A+B= B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Perkalian dengan Skalar A=[aij] dan k skalar, maka: k. A=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k} (-4) = = Akibat: -A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B) back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Transpos matrik A=[aij], i=1, 2, . . . , n ; j=1, 2, . . . , m Jika B=AT , dan B=[bji], maka bji = aji {kolom matrik A menjadi baris matrik AT} A= AT = back Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Perkalian dua Matrik A =[aij], i=1, 2, . . . , n dan j=1, 2, . . . , m B=[bjk], k=1, 2, . . . , p {banyak kolom A=banyak baris B} C=AB cik=ai 1 b 1 k + ai 2 b 2 k + …+aimbmk= vektor baris ke-i dari matrik A vektor kolom ke-k dari matrik B entri matrik C adalah: cik = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh Perkalian Matrik (1/ 2) A= c 23= , B= , dan C=AB = 4 – 1 – 35 = -32 c 21= = 0 – 1 + 10 = 9 c 13= = -6 + 1 + 28 = 23 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh Perkalian Matrik (2/2) c 21= C=AB = = -9 + 4 – 24 = -29 = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id back

Trase matrik A=[aij], i=1, 2, . . . , n dan j=1, 2, . . . , n {harus matrik bujur sangkar} Trase(A)=a 11 + a 22 + …+ ann {penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama} A= , trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4) Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. A+B=B+A {sifat komutatif} (A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif} A+O=O+A=A {sifat matrik nol, identitas penjumlahan} A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik} k(A+B)=k. A+k. B {sifat distributif terhadap skalar k} (k+l)A=k. A+l. A {sifat distributif terhadap skalar k dan l} (kl)A=k(l. A) {sifat asosiatif terhadap perkalian skalar} 1 A=A {sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)} Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4) 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. AB BA {tidak berlaku komutatif perkalian} (AB)C=A(BC) {sifat asosiatif} AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian} AO=OA=O {sifat matrik nol} (A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap penjumlahan} Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau BA=O (k. A)B=k(AB)=A(k. B) Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh AB BA Sehingga: AB BA Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh AB=0 = , berarti AB=O Tetapi = , berarti BA O Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4) 16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B) 17. trase(AT) = trase(A) 18. trase(k. A) = k trase(A) 19. trase(Inxn) = n Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4) 20. (A+B)C=AC+BC 21. C(A+B)=CA+CB 22. (AB)T = BTAT {urutan operasi dibalik} 23. (k. A)T=k. AT 24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0 Sebanyak n 25. Ar. As=Ar+s, jika r dan s bilangan asli 26. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Contoh Tambahan (1/3) Jika A = , dan B = (A + B)T = AT + B T = (AB)T = AT BT = BT AT = = = + = = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id =

Contoh Tambahan (2/3) (½B)T = ½ BT = ½ A= = = – 2 A = – 2 IA = = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id , dan B =

Contoh Tambahan (3/3) A 2 = AA= A 3 = A 2 A = = A= = trase(A) = 2 + 3 = 5 trase(B) = 4 + (-2) = 2 trase(A+B) = trase( )=6+1=7 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id , dan B =

Tantangan 1 A. Jika Hitunglah: 1. BA, AB 2. E 2, E 3, E 100, 3. A 2 + 2 A + I, (A+I)2, 4. (BC - D)T, CTBT– DT, 5. 3 C(BA), C(3 B)A, (CB)(3 A), 6. trase(A + E) Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Tantangan 2 B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel- variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga berlaku persamaan matrik di bawah ini: =- Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Tantangan 3 C. D. E. Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A 2 + 2 AB + B 2, jika A dan B berordo 2 x 2 Tentukan syarat agar berlaku: A 2 – B 2 = (A - B)(A + B), jika A dan B berordo 2 x 2 Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y, dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik berikut: = Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Tantangan 4 F. G. H. Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier : dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk: tentukan matrik A, X dan B] Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan mengingat sifat I = AA-1. Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka trace(A)=0 Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id

Tantangan 5 I. J. K. L. M. Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal utama D dipangkatkan k. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S = ½ (A + AT) adalah matrik simetri. Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R = ½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri. Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku hubungan A = S + R. Jika A matrik bujursangkar 2 x 2, tunjukkan bahwa AAT berbentuk matrik simetri. Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona – mhd@ittelkom. ac. id