Kelompok 4 Oleh Anggi Meylia Saraswati 14144100080 Suratno

Kelompok 4: Oleh : Anggi Meylia Saraswati (14144100080) Suratno (141441000

Matriks Simetri dan Matriks Simetri Miring • Matriks Simetri Matriks A adalah matriks persegi berdimensi n yang berlaku syarat jika dan hanya jika At= A yaitu elemen aij =aji untuk semua i dan j, maka matriks A disebut matriks simetri. Contoh : Matriks A = perhatikan bahwa a 12 = a 21 = 4, a 13 = a 31 = -1, dan a 23=a 32 = 3. Berarti matriks A adalah matriks simetri. Untuk mencari transpose A = At =

Ciri dari matriks ini adalah semua unsur matriks non diagonal simetri terhadap unsur diagonal. Jadi elemen diagonal berfungsi sebagai “cermin”untuk unsure non diagonal. - Matriks simetri dapat dibentuk dari : • Sembarang matriks persegi A, sedemikian hingga A + At (atau At +A) adalah matriks simetri. • Sembarang matriks A berdimensi mxn, maka A At (atau At A) adalah matriks simetri.

Hal ini dapat dibuktikan dengan : Untuk sembarang matriks A, serta B = A+At, maka : • B = A+At • Bt = (A+At)t • Bt = At+(At)t (sifat transpose matriks) • Bt = At+A (sifat transpose matriks) • Bt = A+At (sifat komutatif penjumlahan matriks) • Bt = B Karena Bt = B = A+At berarti A+At adalah matriks simetri

Untuk sembarang matriks A berdimensi mxn serta C = AAt, maka • • C = A At Ct = (A At)t Ct = (At)t At Ct = A At (sifat transpose matriks) Karena Ct = C = A At, berarti A At adalah matriks simetri.

• Contoh : • Andaikan sembarang matriks persegi A = maka At = • B = A + At = • Dan matriks Bt =. Tampak bahwa Bt = B, berarti B = A + At adalah matriks simetri. • • Untuk matriks A = , maka At =. Andaikan C = A At = = , Ct = . Tampak bahwa Ct = C, berarti C = A + At adalah matriks simetri.

Matriks Simetri Miring – Matriks simetri miring (skew-symmetric matrices) adalah matriks persegi A = (aij) berdimensi n berlaku sedemikian hingga At = -A. – Perhatikan bahwa At = -A, maka aji = - aij untuk setiap I dan j. – Khusus untuk unsur diagonal ( i=j), maka aii = - aii artinya elemen diagonal suatu matriks simetri miring adalah berupa bilangan yang sama dengan negatifnya, ini tidak lain adalah bilangan 0. • Jadi salah satu ciri matriks simetri miring adalah elemen-elemen diagonalnya pasti 0 (nol).

• Dari contoh diatas dapat diamati bahwa matriks simetri miring adalah matriks dimana unsur non diagonal yang “simetri cermin” terhadap unsur diagonal saling berlawanan tanda. • Andaikan A adalah matriks persegi sembarang, maka matriks (A-At) adalah matriks simetri miring. Hal ini bisa ditunjukkan sebagai berikut : • • • C = (A -At) Ct = (A -At)t Ct = At - (At)t Ct = At – A Ct = -(A -At ) = - M • Jadi terbukti bahwa A -At adalah simetri miring

• Sembarang matriks persegi juga bisa dinyatakan sebagai jumlah dari matriks simetri dan matriks simetri miring. Dalam hal ini untuk sembarang matriks persegi A, ambilah matriks simetri S = ½ (A + At) dan matriks simetri miring M = ½ (A - At). Tampak bahwa S + M = A • Pembuktian :

Conjugate Matriks • Dalam teori bilangan telah diketahui bersama bahwa untuk a dan b bilangan real serta I = , maka bilangan yang dinyatakan dengan z = a +bi disebut dengan bilangan kompleks. Misalnya 3 – 4 i, 8 i, 4; dan -7+5 i adalah termasuk bilangan kompleks. • Untuk bilangan kompleks = - 3+4 i ---- = -3 -4 i. Maka conjugate (sekawan) bilangan kompleks z, dinotasikan dengan = = a- bi. Kemudian conjugate dari adalah = = a+bi = z

Andaikan A adalah suatu matriks dengan elemen bilangan kompleks, maka conjugate (sekawan) dari matriks A, dinotasikan dengan , adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mencari conjugate dari setiap elemen matriks A. jadi A = (aij), maka =( ) Andaikan A = (aij) dan B= (bij) adalah matriks yang mempunyai elemen bilangan kompleks, dan masing conjugate dari A dan B, serta k adalah scalar dengan adalah conjugate dari k, maka :