Fonksiyonlarn Asimptotlarn bulma Asimptot nedir Ka eit Asimptot

Fonksiyonların Asimptotlarını bulma Asimptot nedir? Kaç çeşit Asimptot vardır?

Asimptot nedir? Bir (d) doğrusu veya bir (c) eğrisi ile bir y=f(x) fonksiyonun sonsuza giden uçları arasındaki uzaklık sıfıra yaklaşıyorsa, bu doğru veya eğriye, fonksiyonun bir ASİMPTOT ’ u denir.

y y=f(x) Fonksiyon, + ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. 0 x (d) y y=b 0 y=f(x) (d) x Fonksiyon, + ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır.

y y=f(x) Fonksiyon, + ’ a (d) doğrusunu takip ederek uzanmaktadır. 0 x (d) (c) y y=f(x) 0 x Fonksiyon, + ’ a (c) eğrisini takip ederek uzanmaktadır.

y 0 x=a Şekildeki eğrinin x=a noktasına yaklaşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? a x y=f(x) y 0 x=a a y=f(x) Şekildeki eğrinin x=a noktasına yaklaşırken gösterdiği durumu, limit kullanarak nasıl ifade edebilirsiniz? x

a R olmak üzere, y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, x=a doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun DÜŞEY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun düşey asimptotu, y-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesemez.

ÖRNEK: eğrisinin düşey asimptotunun olup olmadığını araştıralım. x’ in hangi değeri için, olur? ve x=1 doğrusu DÜŞEY ASİMPTOT’tur.

Düşey asimptot için nasıl bir genelleme yapılabilir? Düşey asimptot, biçimindeki rasyonel fonksiyonlarda bulunur. Paydanın kökü ( veya kökleri) fonksiyonun düşey asimptotlarıdır.

ÖRNEK: eğrisinin, düşey asimptotlarını araştıralım: Paydanın kökleri: x 2 -4=0 x=-2 ve x=2 x=-2 x=2

ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptotlarını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler x-x 3 = 0 x(1 -x 2)=0 x 1=0 x 2=-1 x 3=1 doğrularıdır.

ÖRNEK: eğrisinin, varsa, düşey asimptotlarını araştıralım: İfadenin paydasını sıfır yapan değerler (x+2)2 = 0 x 1=x 2=-2 (Çift katlı kök) x=-2 doğrusu

Düşey asimptotu x=1 doğrusu Fonksiyonun, x=1 noktası civarındaki grafiğinin şekli için, nasıl bir yorum yapabilirsiniz?

y 0 x=1 1 x

x=-2 doğrusu düşey asimptot y 0 Fonksiyon, asimptotun her iki tarafında da, - ’ a uzanmaktadır. x

x=a, paydanın tek kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun farklı uçları na yaklaşır. x=a, paydanın çift kat kökü ise, eğri, sağ dan ve soldan, bu asimptotun aynı ucuna yaklaşır.

y b y=b 0 x y=f(x) y b 0 x y b y=f(x) 0 y= b x

y=f(x) fonksiyonu için, veya oluyorsa, y=b doğrusuna, y=f(x) fonksiyonunun YATAY ASİMPTOT’ u denir. Bir fonksiyonun yatay asimptotu, x-eksenine paralel bir doğrudur ve fonksiyon bu doğruyu kesebilir.

y=x doğrusu, yani x-ekseni, yatay asimptot olabilir mi? y= ax fonksiyonu y a 1 0 1 x

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=-1 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=5/3 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

ÖRNEK: fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin yatay asimptotudur.

Payın derecesi, paydanın derecesinden küçük veya eşit iken, yatay asimptot vardır. x-ekseninin, yatay asimptot olabilmesi için gerekli olan koşulu söyleyebilir misiniz? PAYIN DERECESİ, PAYDANIN DERECESİNDEN KÜÇÜK OLMALIDIR.

ÖRNEK: y=3 X fonksiyonunun yatay asimptotunu bulalım: y=0 doğrusu, eğrinin x için yatay asimptotudur.

(c): y=ax 2+bx+c y=f(x) y y y=f(x) 0 x (d): y=ax+b Bir y=f(x) eğrisi ve bir y=g(x) doğrusu için, ise, y=g(x) fonksiyonuna, EĞİK ASİMPTOT denir. Eğer, y=g(x) bir eğri ise, EĞRİ ASİMPTOT adını alır.

ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım: Payı paydaya bölersek;

Bu durumda; y=x+1 doğrusu, fonksiyonun, eğik asimptotudur. EĞİK ASİMPTOTU BULMAK İÇİN, NASIL BİR GENELLEME YAPILABİLİR? PAY, PAYDA BÖLÜNÜR; BÖLÜM, EĞİK ASİMPTOT OLARAK ALINIR.

ŞİMDİ DE; fonksiyonunun eğik asimptotunu araştıralım: Payı paydaya bölersek; y=x 2 -x-1, EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

biçimindeki bir rasyonel fonksiyonda, payın derecesi, paydanın derecesinden iki veya daha fazla derece küçük ise, fonksiyonun EĞRİ ASİMPTOT’ u vardır.

oluyorsa, fonksiyonun, EĞİK yada EĞRİ ASİMPTOT’u vardır. y=f(x) eğrisinin, y=mx+n biçiminde bir eğik asimptotu varsa;

Bir fonksiyonun, aynı anda hem eğik, hem de eğri asimptotu olabilir mi? BİR FONKSİYONUN, YA EĞİK, YADA EĞRİ ASİMPTOTU OLABİLİR.

ÖRNEK: fonksiyonunun eğik asimptotunu bulalım: Payı paydaya bölersek; y= x 2+2 x+5 EĞRİ ASİMPTOT’ tur.

ÖRNEK: fonksiyonunun, varsa, eğik asimptotunu bulalım: 0 0 -1 2 x - için, eğik asimptot; y= -x+2

Şimdi de, x + için, eğik asimptotu arayalım: 0 0 1 -2 x + için, eğik asimptot; y= x-2

a>0 için eğik asimptot vardır. a<0 için eğik asimptot yoktur.

Bir fonksiyonun grafiğini çizebilmek için TANIM ARALIĞINI BİLMELİYİZ A R ve f: A R’ ye tanımlı y=f(x) fonksiyonunda, x A için, f(x) R olacak şekilde oluşan en geniş A R kümesine, f fonksiyonunun EN GENİŞ TANIM KÜMESİ denir ve D ile gösterilir.

ÖRNEKLER 1. f(x)=x 3+2 x 2 -3 x+1 fonksiyonunun tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir POLİNOM fonksiyon olduğundan, tüm reel sayılar için tanımlıdır. Yani; x R için, f(x) R’dir. D=R

2. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir RASYONEL fonksiyon olduğundan, paydayı sıfır yapan x değerleri için tanımsızdır. x 2 -3 x=0 x 1=0 veya x 2=3 D=R-{0, 3}

3. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün derecesi tek sayı olduğundan, kökün içinin tanımlı olduğu yerlerde tanımlıdır. x 2 -4=0 x 1=-2 veya x 2=2 D=R-{-2, 2}

4. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımsız olduğu bir değer var mı? f(x), bir İRRASYONEL fonksiyon ve kökün derecesi çift sayı olduğundan, kökün içinin pozitif olduğu yerlerde tanımlıdır. x 2 -x-2 0 (x 2 -x-2)’in işaretini incelemeliyiz.

x 2 -x-2 =0 (x-2). (x+1)=0 x 1=-1 ve x 2=2 - x 2 -x-2 f(x) -1 + O O + 2 - O O D= (- , -1] [2, ) +

5. f(x)= fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulalım: Fonksiyonun, tanımlı olması için gerekli şartlar? “Taban”, (x+1) 1 ve (x+1)>0; “Sayı” , (2 -x)>0 x+1 1 x 0 -1 O olmalıdır. 0 O 2 O x+1>0 x>-1 2 -x>0 x<2 (-1, 0) (0, 2)

HATIRLATMA Polinom fonksiyonlar, tüm REEL sayılarda tanımlıdır şeklindeki rasyonel fonksiyonlar, Paydayı SIFIR yapan değerlerde TANIMSIZDIR. Bu değerlerin, Reel sayılardan çıkarılması gerekir.

KÖKLÜ FONKSİYONLARDA n + olmak üzere Kökün derecesi tek iken Kökün derecesi çift iken ‘in tanım kümesi fonksiyonu g(x)’ in tanım kümesidir. g(x) 0 için tanımlıdır.

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Periyodik olup olmadığına bakılır!!!! Eğer periyodik ise, grafik, belli bir aralıkta çizi lir, çizilen grafik, diğer periyot aralıklarında aynen tekrarlanır.

Hangi özelliği taşıyan fonksiyonlara periyodik fonksiyon denir? f: A B’ ye tanımlı bir fonksiyon olsun. A’ nın her elemanı için, f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan, en az bir pozitif T sayısı varsa, bu T reel sayısına, f’ in periyodu denir.

ÖRNEKLER 1. f(x)=2 x+1 fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)=f(x) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T reel sayısını arayacağız: f(x)=2 x+1 f(x+T)= 2(x+T)+1=2 x+1 2 x+2 T+1=2 x+1 T=0 0 R+ olduğundan, f(x) periyodik değildir.

2. f(x)=2 cos(3 x+1) fonksiyonunun periyodik olup olmadığını bulalım: f(x+T)= 2 cos[3(x+T)+1] f(x+T)=f(x) 2 cos[3(x+T)+1]= 2 cos(3 x+1) 3(x+T)+1=(3 x+1)+k. 2 3 x+3 T+1=(3 x+1)+k. 2 k=1 için; (k Z) bulunur.

Bir fonksiyonun grafiği çizilirken; Tek veya çift fonksiyon olup olmadığına bakılır!!!! Bir fonksiyonun tek veya çift olduğu nasıl anlaşılır ve bu kavram bu özellikleri taşıyan fonksiyonların grafiklerini çizerken nasıl bir kolaylık sağlar?

A R ve f: A R bir fonksiyon olsun. x R için: * f(-x)=f(x) ise, f, çift fonksiyondur. * f(-x)=-f(x) ise, f, tek fonksiyondur.

f(-x)=f(x) (Çift fonksiyon olma durumu) -x ile x’ in görüntüleri aynıdır. Grafik, y-eksenine göre simetriktir. Çift fonksiyonlarda, grafik, y-ekseninin bir tarafında çizilir; y-eksenine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur.

y A’(-x, f(x)) f(x) -x O y=f(x) A(x, f(x)) x f, çift fonksiyondur. x

f(-x)=-f(x) (Tek fonksiyon olma durumu) x -x iken f(x) -f(x) Fonksiyonun bir noktası A(x, f(x)) iken, diğer noktası, A’(-x, -f(x)) olmaktadır. Grafik, orijine göre simetriktir.

Tek fonksiyonlarda, grafik, önce, x R+ için çizilir; daha sonra orijine göre simetriği alınırsa, grafiğin tamamı çizilmiş olur. -x A’(-x, -f(x)) y y=f(x) A(x, f(x)) 0 x -f(x) f, tek fonksiyondur. x

ÖRNEKLER 1. f(x)=x 2+cosx fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon olup olmadığını bulalım: f(-x)= (-x)2+ cos(-x) = x 2 + cosx = f(x) f(-x)=f(x) olduğundan, ÇİFT fonksiyondur.