Meccanica 2 1 marzo 2011 Cinematica in una

Meccanica 2 1 marzo 2011 Cinematica in una dimensione Velocita` media e istantanea. Moto rettilineo uniforme Accelerazione media e istantanea. Moto uniformemente accelerato Accelerazione di gravita`. Caduta dei gravi Moto armonico. Pulsazione, periodo, frequenza Integrazione dell’equazione differenziale del moto armonico

Cinematica del punto materiale • E ` la parte piu` elementare della meccanica: studia il moto dei corpi senza riferimento alle sue cause • Il moto e` determinato se e` nota la posizione del corpo in funzione del tempo • Necessita` di un sistema di riferimento per determinare la posizione • Diversi tipi di sistemi di riferimento=diverse coordinate: – – Cartesiano (2 e 3 dimensioni): x, y, z Polare (2 dimensioni): r, f Cilindrico (3 dimensioni): r, f, z Sferico (3 dimensioni): r, q, f 2

Cinematica • Conoscere il moto significa conoscere ogni coordinata come funzione del tempo, ovvero la sua legge oraria: – – x(t), y(t), z(t) r(t), f(t), z(t) r(t), q(t), f(t) • Traiettoria: e` il luogo dei punti dello spazio occupati dal corpo nei successivi istanti di tempo – Da` informazioni di tipo geometrico, senza riferimento al tempo 3

Traiettoria e legge oraria • P. e. il moto dei pianeti nel campo di gravita` del sole si svolge lungo la seguente traiettoria o orbita (1 a legge di Keplero): • Questa e` una funzione r(f) e rappresenta una relazione puramente geometrica tra le coordinate r e f (un’ellisse per la precisione) • Ma essa nulla ci dice sulle leggi orarie r(t), f(t) 4

Cinematica • Conoscere le coordinate in funzione del tempo non e` pero`, in generale, cosa facile • Nelle pagine seguenti saranno introdotte due grandezze fisiche: la velocita` e l’accelerazione • Cio` e` dovuto al fatto che le leggi del moto non contengono direttamente le posizioni, ma piuttosto le accelerazioni: • Compito della cinematica e` quindi risalire dalle accelerazioni alle posizioni 5

Cinematica • Le grandezze fisiche necessarie per lo studio della cinematica sono – Spazio – s, l, x, r… – Tempo - t – Velocita` - v – Accelerezione - a 6

Moto rettilineo • Si svolge lungo una retta su cui si definisce la coordinata x, la cui origine (x=0) e il cui verso sono arbitrari • Anche l’origine dei tempi (t=0) e` arbitraria • Il moto del corpo e` descrivibile con una sola funzione x(t) • La funzione puo` essere rappresentata sul cosiddetto diagramma orario, sul cui asse delle ascisse poniamo t e su quello delle ordinate x O O x t 7

Velocita` • Dato un moto rettilineo, supponiamo che il corpo si trovi nella posizione x 1 al tempo t 1 e nella posizione x 2 al tempo t 2 • Lo spostamento e` la differenza delle posizioni: Dx= x 2 -x 1 • L’intervallo di tempo in cui avviene lo spostamento e`: Dt= t 2 -t 1 • La velocita` media e`, per definizione, il rapporto: 8

Esercizi • Trovare la velocita` media di una moto che si muove a 150 km/h per un tempo t e a 100 km/h per un tempo uguale • Trovare la velocita` media di un’auto che percorre una distanza L a 180 km/h e la successiva (della stessa lunghezza) a 100 km/h 9

Velocita` • Immaginiamo di considerare intervalli di tempo sempre piu` piccoli, possiamo idealmente pensare al limite in cui l’intervallo tende a zero • La velocita` istantanea e`, per definizione, il limite: • Ovvero la derivata dello spazio rispetto al tempo • La velocita`, in generale, e` funzione del tempo: v=v(t) • Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniforme 10

Relazioni tra posizione e velocita` • Abbiamo visto la relazione differenziale tra i due: • ovvero • La relazione inversa e` la relazione integrale • Che e` utile solo se e` nota la dipendenza di v da t, (p. e. nel moto uniforme) • x-x 0 rappresenta lo spostamento complessivo, cioe` la somma algebrica degli spostamenti e non lo spazio percorso che e` invece la somma del modulo degli spostamenti 11

Relazione tra velocita` media e istantanea • Dalla definizione di velocita` media e dalla relazione integrale tra posizione e velocita` istantanea: • Questa relazione afferma che la velocita` media e` uguale al valor medio della velocita` istantanea 12

Moto rettilineo uniforme • Lo spazio e` funzione lineare del tempo • La velocità istantanea è uguale alla velocità media: 13

Accelerazione • Quando la velocita` varia nel tempo il moto e` detto accelerato • Similmente a quanto fatto per la velocita`, definiamo come accelerazione media il rapporto: • E come accelerazione istantanea il limite: • Ovvero la derivata della velocita` rispetto al tempo 14

Accelerazione • L’accelerazione, in generale, e` funzione del tempo: a=a(t) • Nel caso in cui sia invece costante, il moto (rettilineo) e` detto uniformemente accelerato 15

Relazione tra accelerazione e posizione: una nota formale • Dalla relazione differenziale tra accelerazione e velocita` e tra questa e la posizione, otteniamo: 16

Relazioni tra velocita` e accelerazione • Abbiamo visto la relazione differenziale tra le due: ovvero • La relazione inversa e` la relazione integrale • Come per la velocita`, questa relazione e` utile solo se e` nota la dipendenza di a da t, (p. e. nel moto uniformemente accelerato) 17

Moto rettilineo uniformemente accelerato • La velocità e` funzione lineare del tempo • L’accelerazione istantanea è uguale alla accelerazione media: • Lo spostamento è funzione quadratica del tempo: 18

Moto di un grave nel campo di gravità • Come vedremo meglio più avanti, un corpo che cade nel campo di gravità terrestre si muove verso il basso con un’accelerazione costante g=9. 8 m/s 2 • Il moto del grave è dunque uniformemente accelerato • Se prendiamo un sistema di riferimento con l’asse x rivolto verso l’alto, l’accelerazione a è negativa: a=-g 19

Moto di un grave nel campo di gravità • Specifichiamo le formule per il moto uniformemente accelerato nel caso di un corpo che cade da altezza h con velocità iniziale nulla: x 0=h, v 0=0, t 0=0 • La seconda formula ci permette, risolvendo rispetto a t, di trovare il tempo in cui il corpo raggiunge il suolo, cioè il punto x=0: 20

Moto di un grave nel campo di gravità • Ora che e`noto il tempo di caduta, la prima formula ci permette di trovare la velocità con cui il corpo giunge a terra: • Spesso si omette il segno meno: • intendendo che ci si riferisce al modulo della velocita` 21

Moto armonico • In questo caso definiamo il moto direttamente a partire dalla legge oraria della posizione: • Ove compaiono tre costanti: – A l’ampiezza – w la pulsazione – f la fase iniziale (cioe` al tempo 0) • Poiche’ la funzione seno e` periodica, a due istanti di tempo t 1, t 2, che soddisfano la relazione seguente • corrispondera` uno stesso valore della coordinata 22

Moto armonico • Quando n assume il valore minimo (n=1), i due istanti differiscono per un tempo T detto periodo • Questa relazione e` molto importante perche’ lega la pulsazione al periodo: • La frequenza e` l’inverso del periodo: 23

Soluzione di equazioni differenziali • Risolvere l’equazione differenziale che definisce la velocita` • significa passare dalla funzione v alla funzione x • Similmente, risolvere l’equazione differenziale che definisce l’accelerazione • significa passare dalla funzione a alla funzione v • Questo passaggio vien fatto mediante un’operazione di integrazione, per cui si dice integrare l’equazione come sinonimo di risolvere 24

Soluzione di equazioni differenziali • Piu` in generale risolvere un’equazione differenziale significa abassarne il grado di derivazione mediante operazioni di integrazione agenti sulle funzioni incognite o su funzioni di queste funzioni • Questo accade quando, p. e. , l’accelerazione e` nota non in funzione del tempo, ma della posizione 25

Accelerazione come funzione della posizione • Supponiamo dunque che l’accelerazione sia nota non in funzione del tempo, ma della posizione: a=a(x) • Ora moltiplichiamo ambo i membri dell’equazione di definizione dell’accelerazione per la velocita`: • Integriamo ambo i membri rispetto a t: • Ricordiamo che dalla definizione di velocita` 26

Accelerazione come funzione della posizione • Possiamo semplificare cambiando variabile, nel primo membro passando a x e nel secondo membro passando a v: • A conti fatti otteniamo: • Supposto di poter eseguire l’integrale a primo membro, abbiamo abbassato l’ordine di derivazione dell’equazione • Siamo partiti dalla conoscenza di a e siamo giunti alla conoscenza di v: 27

Un esempio importante • Supponiamo che l’accelerazione sia esprimibile come segue: • Cioe` sia proporzionale, tramite una costante negativa, alla posizione • Applicando la formula generale, abbiamo: • Risolvendo rispetto a v: 28

Un esempio importante • Abbiamo integrato un’equazione differenziale del secondo ordine e siamo giunti ad una del primo ordine • Per integrare questa seconda equazione separiamo le variabili • e integriamo tra la posizione x 0 e la posizione generica x: 29

Un esempio importante • L’integrale di destra e` immediato • L’ integrale al centro lo troviamo su una tabella • E quindi • Risolvendo infine rispetto a x • Ritroviamo cioe` il moto armonico 30

Moto armonico • Possiamo calcolare la velocita` nel moto armonico • E l’accelerazione • Verifichiamo quindi che per un moto armonico vale la relazione • Ovvero tale relazione e` valida se e solo se il moto e` armonico 31

Esercizi • 1) Un corpo puntiforme viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocita` iniziale v 0 dall’altezza h 1 – Trovare a) il tempo in cui raggiunge la massima altezza; b) la massima altezza; c) il tempo in cui arriva a terra; d) la velocita` con cui arriva a terra • 2) Un corpo si muove con una velocita` data da nell’intervallo di tempo Dt tra t 1=2 s e t 2=5 s – Trovare a) la velocita` media in Dt; b) l’accelerazione media in Dt; c) lo spazio percorso in Dt 32

Esercizi • 3) dato un moto armonico – Determinare le costanti A e f in base alle condizioni iniziali • 4) mostrare con opportuni controesempi che le seguenti implicazioni sono false 33