SISS 20052006 MECCANICA Antonio Ballarin Denti CINEMATICA Descrizione

SISS 2005/2006 MECCANICA Antonio Ballarin Denti

CINEMATICA Descrizione geometrica del moto Studiamo: 1) Moto in una dimensione - Moto uniformemente accelerato - Il caso del grave 2) Moto nel piano - Natura vettoriale delle grandezze cinematiche - Moto del proiettile

CINEMATICA IN UNA DIMENSIONE Grandezze fondamentali velocità scalare media in (t 1, t 2) MKS: m/s velocità scalare istantanea Se vm è la stessa per qualunque intervallo di tempo, il moto si dice: uniforme. accelerazione media in (t 1, t 2) accelerazione istantanea MKS: m/s 2

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO a = cost LEGGI FONDAMENTALI Se a t = 0, x 0 = 0: Se a t = 0, anche v 0 = 0: Si ricava quindi:

Ricapitolando: a=0 a = cost a=0 v a = cost v t Area = vt t Area=

caduta libera lungo la verticale Moto uniformemente accelerato y h Leggi del moto 0 Se a t = 0, y 0 = h e v 0 = 0 :

Salita e discesa v 0 SALITA tempo di salita quota raggiunta DISCESA distanza percorsa tempo di caduta velocità finale > v 0 Da cui si ricava: t 1 = t 2

MOTO IN DUE DIMENSIONI Posizione, velocità e accelerazione sono vettori nel piano y P r x Se r e r+dr sono le posizioni a t e t+dt La v di un corpo nel piano, in un punto P ha modulo uguale alla v scalare e direzione tangente alla traiettoria in quel punto L’accelerazione è determinata dai cambiamenti di modulo direzione e verso della velocità

a = cost

MOTO DEI PROIETTI Prima di Galileo: …“teoria dell’impeto” . . la teoria pregalileiana non spiega la forma della traiettoria. . Galileo: il moto dei proietti si spiega mediante il concetto di inerzia

1. Un corpo lanciato cade verticalmente sotto l’azione della forza di gravità 2. L’inerzia lo fa muovere con velocità 3. costante lungo la verticale Risultato della combinazione di due moti: Il corpo descrive una PARABOLA x y Foto stroboscopica di due proietti

Calcolo esplicito della traiettoria trascurando gli attriti (proietti lenti) Condizioni iniziali: X: il moto è governato dal principio d’inerzia Y: il moto è governato dall’accelerazione costante verso il basso

Studiamo y = f(x) partendo da y = f(t ) e conoscendo t = g(x) y = f(t ) Eliminando t si ottiene la traiettoria y = y(x) Equazione cartesiana della parabola galileiana in assenza di attriti dell’aria.

qual è l’altezza massima ymax? Vy = 0 vx 0 y ymax x se è fisso, ymax è funzione della sola v 02

La Gittata R = xmax Quando il corpo torna al suolo, lo spazio percorso è: dove T è il tempo di volo: La gittata è funzione di ed è massima per: Rmax = sin 2 = 1 ; 2 =90° = 45°

Parabola di sicurezza P Se vogliamo colpire un punto P (x, y) imponiamo: , ma: Sostituendo ho un’equazione di II grado in (*) ha 2 soluzioni reali se P(x, y) si trova sotto la parabola di sicurezza

LE LEGGI DI CADUTA DEI GRAVI In che modo un corpo acquista velocità mentre cade? Sviluppo storico Leggi che pongono in relazione spazio di caduta, tempo di caduta, e velocità dei gravi in caduta secondo due studiosi del XIV secolo Alberto di Sassonia e Nicola di Oresme, secondo Leonardo da Vinci (1452 -1519) e Galileo Galilei (1564 -1642) Necessità di superare una descrizione qualitativa (forma mentis Aristotelica) mediante misurazioni quantitative (esperimenti) e linguaggio matematico

Confrontiamo le leggi di Leonardo e Galileo… Siano s. P ed st lo spazio incrementale e lo spazio totale percorsi in successive unità di tempo t LEONARDO Legge degli interi consecutivi GALILEO Legge dei numeri dispari Quando t = 1, s. P = c, quindi c è numericamente uguale allo spazio che qualsiasi grave percorrerà nella 1° unità di tempo nel suo moto di caduta. Nel SI, c ha un valore di circa 4, 9 m/s 2 ed ha lo stesso valore per tutti i gravi che cadono nel vuoto in prossimità della superficie della Terra. Quale formulazione scegliere per descrivere la caduta di un grave? Quella che non entra in contraddizione con l’esperienza

Con gli orologi moderni possiamo studiare direttamente la caduta libera e verificare i risultati di Galileo. La fotografia mostra la caduta di una sfera in successivi istanti di tempo (CRONOFOTOGRAFIA). Un dispositivo emette lampi di luce a intervalli di tempo regolari: è il nostro orologio Tra ogni coppia di immagini consecutive è trascorso lo stesso intervallo di tempo. Si misurano gli spazi percorsi con una scala graduata. Dati di questo tipo sono ideali per scegliere tra la legge di Leonardo e quella di Galileo per lo spazio percorso in successivi intervalli di tempo.

GALILEO LEONARDO Spazio percorso tra un lampo ed il consecutivo, s. P. Spazio di caduta totale st c 3 c 5 c 7 c Spazio di caduta totale st c 2 c 3 c 4 c 5 c 9 c 6 c 11 c …. Scegliamo la legge di Galileo

1) 2) Sostituendo 1 in 2 si ottiene: Per h = 0 E quindi per a = cost = 2 c: Questa accelerazione costante è così importante che la denotiamo con un simbolo proprio: g = accelerazione di gravità Legge della caduta dei gravi

LA LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE universalità Ogni corpo esistente nell’universo attira ogni altro corpo con una forza gravitazionale. G è la costante di gravitazione universale. direzione e verso Le forze di gravitazione esistenti tra due punti materiali (tra loro opposte per il principio di azione e reazione) hanno come retta di applicazione la retta individuata dalle posizioni dei due punti. intensità L’intensità della forza è proporzionale al prodotto delle masse dei punti materiali e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza.

È una legge fondamentale di natura… Spiega la legge empirica di Keplero che pone in relazione il raggio di un orbita R con il suo periodo T: una Forza che decresce come 1/R 2 porta ad orbite che sono sezioni coniche (ellissi, cerchi, parabole e iperboli). forza gravitazionale in cielo Spiega la legge empirica di Galileo per la caduta libera dei gravi: la terra esercita sopra ogni corpo una forza di attrazione gravitazionale. forza gravitazionale in terra La fisica della terra diventa identica alla fisica del cielo

Vale il principio di sovrapposizione: La forza risultante sulla mela si ottiene sommando vettorialmente tutte le forze (F 1 , F 2 , …) che si esercitano tra particella della mela e particella della Terra. …con il calcolo integrale si dimostra che… due corpi a simmetria sferica che non si toccano si comportano come se tutta la loro massa fosse concentrata nel centro. la Terra e la mela si possono trattare come punti materiali. PROPRIETÀ ESCLUSIVA DELLE LEGGI IN CUI LA FORZA È INVERSAMENTE PROPORZIONALE AL QUADRATO DELLA DISTANZA.

RAPPRESENTAZIONE DELL’ INTENSITÀ DEL CAMPO GRAVITAZIONALE CON LE LINEE DI FORZA L’intensità della forza esercitata da una sorgente sferica: (*) Linee di forza dovute ad una massa puntiforme (a) nel centro di una sfera di osservazione e (b) in un punto decentrato: In entrambi i casi il numero di linee di forza che attraversano la superficie sferica si conserva. (a) (b) Linee di forza dovute (c) ad una distribuzione a simmetria sferica di masse puntiformi mi e (d) alla stessa massa totale di (c) concentrata nel centro. (c) (d) In entrambi i casi il numero di linee di forza che attraversano la superficie sferica è direttamente proporzionale alla massa totale della sorgente. (a), (b), (c), (d) rappresentano la (*)

STRATI SFERICI La forza gravitazionale dovuta a una massa distribuita simmetricamente su uno strato sferico è: § uguale a quella che si avrebbe se tutta la massa fosse concentrata nel centro; § nulla ovunque all’interno dello strato. Determinazione della forza che si esercita su una massa puntiforme (punto materiale), situata all’interno di uno strato sferico. Una retta che interseca una sfera forma lo stesso angolo rispetto alla normale alla sfera in entrambi i punti di intersezione.

APPLICAZIONE Qual è la forza gravitazionale che si esercita su un corpo posto ad una distanza r dal centro della Terra? La forza che cerchiamo è dovuta unicamente allo materia contenuta in una sfera di raggio r. Lo strato di materia situato all’esterno del corpo non esercita forza. § orientata radialmente. § diretta verso il centro della Terra. Diagramma del modulo della forza gravitazionale in funzione della distanza dal centro della Terra nell’ipotesi di massa volumica mv uniforme. proporzionale a r -2 Li ne ar e F(r) r

ACCELERAZIONE DI GRAVITÀ SULLA TERRA Legge di gravitazione universale + Secondo principio della dinamica Legge di Galileo MT …da cui: costante! In prossimità della Terra tutti i corpi cadono con la stessa accelerazione costante indipendente dalla massa del corpo. … C. V. D

IN CONSEGUENZA ALLA FORZA GRAVITAZIONALE LA LUNA È IN CADUTA LIBERA SULLA TERRA…. Le traiettorie di un sasso lanciato orizzontalmente con differenti velocità da un monte conducono al moto orbitale. (Principia) La luna ha la velocità giusta per ruotare intorno alla Terra: cade continuamente, ma in virtù della curvatura della Terra, non la raggiunge mai. Previsione di Newton sullo spazio di caduta della luna in 1 s > Previsione. . Una mela in caduta libera sulla Terra percorre 4, 9 m in 1 s; nello stesso tempo la Luna in caduta libera percorre 0, 14 cm.

verifica: MOTO REALE DELLA LUNA Geometria per determinare lo spazio di caduta della Luna in un tempo di caduta di 1 s. d = spazio orizzontale che la Luna percorre in 1 s. Per Pitagora: Ottimo accordo con il valore previsto teoricamente: un’esperienza eseguita sulla Terra rivela le leggi del cielo.

SATELLITI ARTIFICIALI IN ORBITE CIRCOLARI v msat r MT Grandezze pertinenti al moto orbitale dei satelliti Moto circolare uniforme: accelerazione centripeta di modulo costante v 2/r. Sul satellite agisce la forza gravitazionale: Tale F impartisce al un’ accelerazione centripeta: l’orbita del satellite è un cerchio. Velocità alla quale la forza gravitazionale terrestre fa sì che lo spazio che il satellite percorre cadendo sia tale da mantenerlo nella sua orbita. Relazione tra il periodo T ed il raggio dell’orbita: caso particolare della 3° legge di Keplero.

FORZA CENTRIFUGA Nei sistemi di riferimento che ruotano di moto circolare uniforme rispetto ad un sistema di riferimento inerziale è presente una forza f. C data da: a 0 : è l’accelerazione centripeta (segno -) rispetto al sistema di riferimento inerziale r : distanza dall’asse di rotazione : velocità angolare del sistema di riferimento v = r: velocità del punto f. C cresce al crescere di r ed è diretta verso l’esterno: FORZA CENTRIFUGA

Esempio: Moto circolare uniforme di un corpo vincolato ad un palo da una fune: Diagramma delle forze: 1) Nel sistema di riferimento inerziale: T = mv 2 / r m 2) Nel sistema di riferimento in rotazione: T = mv 2 / r fc = mv 2 / r m

Applicazione: CENTRIFUGHE Per separare le particelle solide in un liquido, fc ha un’azione più efficace della sola gravità Asse centrifuga R m 2 R mg mg FRIS …la rotazione genera fc orizzontale… Sulla particella agisce quindi: FRIS = m 2 R + m g = gravità efficace AUMENTA LA VELOCITÀ DI DERIVA PROPRIETÀ (S-1) R(cm) centrifuga ultracentrifuga 30 103 10 10 2 R/g 188 6, 28 103 3, 6 105 4 108 360 4 105

Studiamo la velocità di deriva Forza su particella solida di massa m in liquido di massa m 0 e viscosità Gravità efficace corretta per Archimede Forza viscosa resistiva All’equilibrio FRIS = 0, v = v. D Per una particella sferica di raggio r K = 6 r : Velocità Deriva cresce con r 2 (corpi grandi!)

L’Energia “l’energia di un corpo è la misura del lavoro che esso può compiere in virtù del particolare stato in cui si trova” Caratteristica fondamentale di questa grandezza è che ad essa è associato un principio di conservazione : “nella mutevolezza delle forme e degli scambi di energia, l’energia totale di un sistema (isolato) si conserva. ” energia meccanica energia elettrica Trasformazione L’esistenza di principi di conservazione è una delle principali scoperte in fisica e rimane inalterata anche nella fisica moderna. Accrescono la nostra comprensione della dinamica e ne semplificano l’analisi.

L’Energia presenta una molteplicità di forme e di processi di scambio: lavoro meccanico, energia cinetica, energia potenziale, calore…. Il lavoro rappresenta l’energia impressa ad un corpo da una forza esterna. Una forza compie lavoro ogni volta che produce uno spostamento del corpo su cui agisce. l’unita di misura è il Joule Nel caso di FORZA COSTANTE: Il lavoro fatto da una F costante è dato dal prodotto dell’intensità della F per la proiezione dello spostamento subito dal suo punto di applicazione nella direzione della F. Nel caso di FORZA VARIABILE: Il lavoro fatto da una F variabile quando il suo punto di applicazione si sposta da A a B lungo una curva è dato da: F ds P 1 F ds P 2

Energia cinetica Interpretiamo Ecin come: energia associata al moto. §Grandezza scalare §Unità di misura: Joule §Dipende da m e dallo stato di moto istantaneo di un corpo (v) Se un corpo di muove sotto l’azione di più forze di risultante F : Il lavoro compiuto dalla F modifica l’ Ecin …per uno spostamento finito si ottiene: TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA: (1° risultato verso l’individuazione di un principio di conservazione…) L’ Ecin di un corpo può essere modificata (aumentata E > 0, diminuita E > 0) quando una forza compie un lavoro L 0 e si ha: L = Ecin

Energia potenziale U Interpretiamo U come l’energia associata alla posizione. È la misura del lavoro che un corpo può compiere in virtù della sua posizione in un campo di forze conservativo. e vale: Tale lavoro non dipende dal percorso per andare dal punto A al punto B, ma solo dalla posizione di A e B. A I II B U è definita a meno di una costante: è possibile fissare arbitrariamente lo zero dell'energia potenziale senza ambiguità, poiché il lavoro è definito in termini di variazioni di U e la forza come gradiente.

CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA TOTALE Si definisce Energia Meccanica la quantità: Etot = Ecin + U L’ENERGIA MECCANICA TOTALE DI UN SISTEMA È UNA COSTANTE DEL MOTO SE IL SISTEMA È ISOLATO E GLI OGGETTI CHE LO COMPONGONO INTERAGISCONO SOLO MEDIANTE FORZE CONSERVATIVE llllllll Legge fondamentale di natura: più efficace e profonda del metodo newtoniano

Applicazione: il piano inclinato Etot = U = mgh v=0 θ mg h r Galileo solleva la sfera alla quota h dotandola di energia potenziale U. Lasciata libera la sfera acquista velocità v. Durante il moto vale: Trovo la costante ponendomi in z = h. Vale: per z E = mgh h z E = mgz + ½ mv²

PROCEDIMENTO GENERALE § Si definisce il sistema da studiare. § Si sceglie una posizione di riferimento per U=0 e la si usa coerentemente. § Si scrive l’energia totale del sistema nel punto, per esempio A, in cui si vuole determinare una certa quantità incognita (come la velocità o la quota); EA = UA + KA. § Si trova un altro punto, per esempio il punto B, in cui si conosce tutto riguardo al moto del corpo e si scrive l’energia totale in quel punto: EB = UB + KB. § La conservazione dell’energia implica che EA = EB; si eguagliano le due energie e si risolve rispetto alla quantità incognita. IMPORTANTE: Il procedimento vale anche per forze continuamente variabili