Meccanica 8 31 marzo 2011 Teorema del momento

Meccanica 8 31 marzo 2011 Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale Conservazione del momento angolare Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso Energia propria e interna

Teorema del momento angolare • Abbiamo visto nel caso di un solo punto materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema di riferimento e` inerziale, il teorema del momento angolare e` 2

Teorema del momento angolare • Generalizziamo questo teorema al caso di un sistema di piu` particelle e polo fisso • Deriviamo rispetto al tempo • Otteniamo • Cioè di nuovo 3

Teorema del momento angolare • Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu` particelle e di un polo mobile • Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo mobile Q • Otteniamo 4

Teorema del momento angolare • Ricordando che l’espressione tra parentesi è il momento rispetto al polo mobile Q, otteniamo • Espressione che differisce per la presenza del secondo termine da quella trovata per il polo fisso • Ovviamente si ritrova quella equazione se anche Q è fisso: in tal caso il secondo termine 5 è nullo

Teorema del momento angolare • Esistono però altri casi in cui le equazioni per il polo mobile e per il polo fisso sono uguali • Il caso più importante è quello in cui il polo coincide con il CM del sistema, in tal caso • E poiché v. CM e P sono proporzionali, segue 6

Teorema del momento angolare • Un altro caso e` quando il polo coincide con il punto di contatto C tra una ruota che si muove (slittando o rotolando) e una superficie di appoggio P • Poiché v. C e P sono paralleli, segue C v. C 7

Teorema del momento angolare • Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze (esterne) se come polo usiamo – un punto fisso in un sistema inerziale – oppure il CM del sistema (indipendentemente dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e qualunque sia il suo moto) 8

Seconda equazione della dinamica dei sistemi • Se il polo e` fisso o e` il CM • Questa e` la seconda equazione della dinamica dei sistemi • O seconda equazione cardinale della meccanica 9

Conservazione di L • Se vale l’equazione • e se il momento delle forze esterne e` nullo, allora il momento angolare si conserva • Facciamo due osservazioni: – La conservazione puo` valere anche solo in alcune direzioni (quelle in cui la componente di t e` nulla) – A seconda della situazione fisica, t puo` annullarsi qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti opportunamente 10

Sistema di riferimento del CM • Ha origine nel CM • Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un sistema inerziale • In generale non e` inerziale pi • La posizione di un punto nel SCM e` • Derivando questa relazione troviamo la velocita` di un punto nel SCM ri O CM r i * Ai r. CM 11

Sistema di riferimento del CM • La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono, ovviamente, • Ricordando la definizione di CM, valida in ogni Sd. R, abbiamo anche • La seconda equazione stabilisce che la QM totale del sistema e` nulla se misurata nel SCM 12

Teoremi di Koenig • 1 o teorema: fornisce una relazione tra il valore del momento angolare in un sistema inerziale e nel sistema del CM • 2 o teorema: fornisce una relazione tra il valore dell’energia cinetica in un sistema inerziale e nel sistema del CM 13

1 o teorema di Koenig • Confrontiamo il MA calcolato – nel SCM con polo nel CM – nel Sd. R inerziale con polo nell’origine O pi ri O CM r i * Ai r. CM 14

1 o teorema di Koenig • Il 2 o e 4 o termine sono uguali e opposti; il 3 o termine e` il MA del CM nel Sd. R inerziale • La relazione puo` essere letta anche • Il MA di un corpo in un Sd. R inerziale e` uguale al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale 15

2 o teorema di Koenig • Calcoliamo ora l’energia cinetica 16

2 o teorema di Koenig • il 2 o termine e` l’energia cinetica del CM nel Sd. R inerziale • La relazione puo` essere letta anche • L’energia cinetica di un corpo in un Sd. R inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale 17

Lavoro • Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento di un sistema di punti materiali • Per una particella il lavoro infinitesimo e` • Il lavoro finito si trova integrando il lavoro infinitesimo tra stato iniziale e finale (che possono essere diversi per ogni particella) 18

Lavoro • Per il sistema il lavoro si trova sommando su tutte le particelle • A differenza del caso della risultante dei momenti di forza agenti sul sistema, ora le forze interne danno un contributo non nullo 19

Lavoro • Raggruppando infatti le forze interne a coppie di forze coniugate secondo il 3 o principio, il lavoro interno e` esprimibile come Fi Ii rij. F Fj rij. I Ij 20

Lavoro • Ove si e` introdotta la nuova variabile rij • In generale il prodotto scalare che compare nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli integrali o la loro somma • Il lavoro delle forze interne dipende in ultima analisi dal cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo 21

Lavoro per un corpo rigido • In assenza di tali cambiamenti i lavori elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli sarebbero i lavori integrali e la somma dei lavori relativi alle diverse particelle • Questo e` il caso, particolarmente importante, di un corpo rigido: nessun cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo 22

Energia cinetica • Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una particella singola, avevamo trovato l’equazione • Integrando tra stato iniziale e finale • e sommando su tutte le particelle 23

Energia cinetica • Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un sistema e` uguale alla variazione di energia cinetica del sistema tra stato iniziale e finale Teorema dell’energia cinetica per corpo esteso • Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro delle forze esterne e interne, in generale entrambi diversi da zero 24

Energia potenziale • Se le forze sono tutte conservative, il lavoro e` esprimibile in termini di energia potenziale • Integrando tra stato iniziale e finale • E sommando su tutte le particelle • Definendo l’energia potenziale totale • troviamo 25

Conservazione dell’energia meccanica • Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e esterne • Ricordando il teorema dell’energia cinetica, otteniamo • Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di conservazione dell’energia meccanica E per un corpo esteso 26

Forze non conservative • Se sono presenti forze non conservative, possiamo estendere il ragionamento fatto per una singola particella • Ottenendo • Cioe` la variazione di energia meccanica e` uguale al lavoro delle forze non conservative 27

Energia propria • Energia meccanica: • Separando i contributi delle forze interne ed esterne • E non rappresenta una caratteristica del solo sistema, perche’ contiene anche le interazioni con l’ambiente • Per tener conto di questo, si definisce l’energia propria 28

Energia interna • Tenuto conto che l’energia cinetica dipende dal Sd. R, l’energia propria si puo` scrivere • Avendo definito l’energia interna • L’energia interna e` l’energia propria nel Sd. R del CM, ove assume il valore minimo 29