Linerne rovnice naprklad Rovnica je rovnos dvoch vrazov

Lineárne rovnice

napríklad: Rovnica je rovnosť dvoch výrazov. 2 x – 7 = 1 je rovnica ľavá strana rovnice pravá strana rovnice • Písmeno v rovnici je neznáme číslo. • Vyriešiť rovnicu znamená vypočítať hodnotu neznámej. • Vypočítaná hodnota neznámej sa nazýva koreň rovnice (riešenie rovnice). • Súčasťou riešenia rovnice je skúška správnosti. V nej overujeme rovnosť výrazov na oboch stranách dosadením vypočítaného koreňa za neznámu do zadania.

Riešenie lineárnych rovníc

• • Rovnice riešime s využitím ekvivalentných úprav. Sú to úpravy, ktoré nemenia množinu riešení rovnice. Budeme ich naznačovať za lomenou čiarou na PS rovnice. Riešenie rovníc je založené na využívaní navzájom opačných operácií. Ekvivalentné úpravy lineárnych rovníc 1, Výmena ľavej a pravej strany rovnice 2, Pričítanie toho istého čísla alebo výrazu k obom stranám rovnice 3, Odčítanie toho istého čísla alebo výrazu od oboch strán rovnice 4, Vynásobenie oboch strán rovnice tým istým nenulovým číslom 5, Vydelenie oboch strán rovnice tým istým nenulovým číslom

Postup pri riešení rovníc pomocou ekvivalentných úprav 1, Odstrániť zátvorky a zlomky 2, Zjednodušiť ľavú a pravú stranu rovnice 3, Preniesť členy s neznámou na jednu a čísla na druhú stranu rovnice 4, Pri prenesení členov a čísel na druhú stranu zmeniť ich znamienka 5, Ľavú a pravú stranu rovnice opäť zjednodušiť 6, Vydeliť obe strany rovnice koeficientom pred neznámou 7, Urobiť skúšku správnosti

Riešenie veľmi jednoduchých rovníc (s využitím 1 ekvivalentnej úpravy)

1, x + 12 = 30 / -12 x + 12 – 12 = 30 - 12 x = 18 Skúška: ĽS = 18 + 12 = 30 PS = 30 ĽS = PS 2, y + 20 = 12 / - 20 y = 12 – 20 y=-8 Skúška: ĽS = - 8 + 20 = 12 PS = 12 ĽS = PS Skrátený zápis: x + 12 = 30 / -12 x = 30 - 12 x = 18

3, t – 40 = 72 / + 40 t = 72 + 40 t = 112 Skúška: ĽS = 112 - 40 = 72 PS = 72 ĽS = PS 5, 4, 6, k – 16 = 0 / + 16 k = 16 Skúška: ĽS = 16 – 16 = 0 PS = 0 ĽS = PS r + 43 = - 163 / - 43 r = - 163 - 43 r = - 206 Skúška: ĽS = - 206 + 43 = - 163 PS = -163 ĽS = PS 35 + z = 90 / - 35 z = 90 – 35 z = 55 Skúška: ĽS = 35 + 55 = 90 PS = 90 ĽS = PS

Domáca úloha (vyriešiť rovnice s využitím ekvivalentných úprav a vykonať skúšku správnosti) 11, a – 0, 7 = - 1, 3 12, 14 + b = 9 13, 0, 1 c = 5 14, 15, 3 d = - 5, 1 - 60 e = 12

Kontrola domácej úlohy 11, a – 0, 7 = - 1, 3 / + 0, 7 a = - 1, 3 + 0, 7 a = - 0, 6 Skúška: ĽS = -0, 6 – 0, 7 = - 1, 3 PS = - 1, 3 ĽS = PS 12, 14 + b = 9 / - 14 b = 9 - 14 b = -5 Skúška: ĽS = 14 – 5 = 9 PS = 9 ĽS = PS 13, 0, 1 c = 5 / : 0, 1 c = 50 Skúška: ĽS = 0, 1. 50 = 5 PS = 5 ĽS = PS 14, 3 d = - 5, 1 / : 3 d = - 5, 1 : 3 d = - 1, 7 Skúška: ĽS = 3. (- 1, 7) = - 5, 1 PS = - 5, 1 ĽS = PS 15, - 60 e = 12 /: (-60) e = 12 : (-60) e = - 0, 2 Skúška: ĽS = - 60. (- 0, 2)= 12 PS = 12 ĽS = PS

Riešenie rovníc v obore racionálnych čísel Pri zadaní rovnice by malo byť uvedené, v akom obore máme rovnicu vyriešiť (z akého oboru má byť koreň). Ak to uvedené nie je, riešime rovnicu v obore reálnych čísel. ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) R = množina reálnych čísel N = množina prirodzených čísel Q = množina racionálnych čísel Z = množina celých čísel

• 20, 0, 4 j = 16 / : 0, 4 j = 16 : 0, 4 j = 40 Skúška: ĽS = 0, 4. 40 = 16 PS = 16 ĽS = PS 21, 6 c = - 3 / : 6 c=-3: 6 c = - 0, 5 Skúška: ĽS =6. (- 0, 5) = - 3 PS = - 3 ĽS = PS

Domáca úloha (vyriešiť rovnice s využitím ekvivalentných úprav a vykonať skúšku správnosti) 26, 6 z – 8 z = 3 27, 7 y – 5 y = - 20 28, 6 w – 18 w = - 2 Zb: 45/17 druhý stĺpec

Kontrola domácej úlohy 26, 6 z – 8 z = 3 - 2 z = 3 / : (-2) z = - 1, 5 Skúška: ĽS = 6. (- 1, 5) – 8. (- 1, 5) = - 9 + 12 = 3 PS = 3 ĽS = PS 27, 7 y – 5 y = - 20 2 y = - 20 / : 2 y = - 10 Skúška: ĽS = 7. (- 10) – 5. (- 10) = - 70 + 50 = - 20 PS = - 20 ĽS = PS

Riešenie veľmi jednoduchých rovníc (s využitím viacerých ekvivalentných úprav) 1, Zjednodušiť ľavú a pravú stranu rovnice 2, Preniesť členy s neznámou na jednu a čísla na druhú stranu rovnice 3, Pri prenesení členov a čísel na druhú stranu zmeniť ich znamienka 4, Ľavú a pravú stranu rovnice opäť zjednodušiť 5, Vydeliť obe strany rovnice koeficientom pred neznámou 6, Urobiť skúšku správnosti

30, 52 c + 40 = 12 c / - 12 c 40 c + 40 = 0 / - 40 40 c = - 40 / : 40 c =-1 Rýchlejší spôsob riešenia: (použiť naraz 2 ekvivalentné úpravy = prehodiť členy z jednej strany na druhú so zmenou ich znamienka na opačné) 30, 52 c + 40 = 12 c / - 12 c; - 40 40 c = - 40 / : 40 c =-1 Skúška: ĽS = 52. (- 1) + 40 = - 52 + 40 = - 12 PS = 12. (- 1) = - 12 ĽS = PS

31, 5 – 5 d = 2 d – 9 32, / + 5 d; + 9 2 f + 4 f + 24 = 12 – 4 f 6 f + 24 = 12 – 4 f 14 = 7 d 2=d / + 4 f, - 24 alebo /: 7 d=2 10 f = - 12 / : 10 f = - 1, 2 Skúška: ĽS = 5 – 5. 2 = 5 – 10 = - 5 PS = 2. 2 – 9 = 4 – 9 = -5 ĽS = PS Skúška: ĽS = 2. (- 1, 2) + 4. (- 1, 2) + 24 = - 2, 4 – 4, 8 + 24 = - 7, 2 + 24 = 16, 8 PS = 12 – 4. (- 1, 2) = 12 + 4, 8 = 16, 8 ĽS = PS

Domáca úloha (vyriešiť rovnice s využitím ekvivalentných úprav a vykonať skúšku správnosti) 35, 4 x + 15 – 2 x + 3 x = 2 x – 5 + x 36, 33 h – 71 + 12 h – 15 = 14 – 4 h – h 37, 8 x – 5 – 2 x + 1 = 5 x – 1 38, 2 y + 8 + y – 2 = 2 y – 3 39, 25 + 9 y – 30 = 6 y – 20 40, 4 k – 3 k – 4 = - 2 + k - 5