KRUH KRUNICA Obsah Krunica a kruh Vzjomn poloha

KRUH, KRUŽNICA

Obsah Kružnica a kruh Vzájomná poloha kružnice a priamky Vzájomná poloha dvoch kružníc Kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku Dĺžka kružnice Obsah kruhu Oblúk kružnice a kruhový výsek Stredový uhol a Talesova kružnica Ako si to zvládol?

Kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r D C r A d k Kruh K so stredom S a polomerom r D C r r B S X Označenie: k(S, r) SC=SD=r – polomer kružnice AB=d – priemer kružnice d=2 r Pre všetky body X kružnice platí: A d K r B S X Označenie: K(S, r) SC=SD=r – polmer kruhu AB=d – priemer kruhu d=2 r Pre všetky body X kruhu platí:

Vzájomná poloha kružnice a priamky 1. NESEČNICA kružnice p k v . S P 2. DOTYČNICA kružnice p=t k v>r r SP=v – vzdialenosť priamky od kružnice Ak platí v>r, tak priamka kružnicu nepretína – nemajú žiadne spoločné body. v S r . P=T v=r Ak platí v=r, tak má priamka s kružicou jeden spoločný bod, ktorý nazývame bod dotyku. Dotyčnica kružnice je vždy kolmá na polomer.

Vzájomná poloha kružnice a priamky 3. SEČNICA kružnice k A A v S v<r . TETIVA kružnice r B r r S o k B p Ak platí v<r, tak má priamka s kružnicou dva spoločné body, ktoré nazývame priesečníky. Úsečka AB sa nazýva tetiva kružnice. Os tetivy kružnice prechádza stredom kružnice.

Vzájomná poloha dvoch kružníc Kružnice ležia mimo seba k 1 r 1 S 1 k 2 r 2 c S 2 Kružnice majú vonkajší dotyk k 1 c S 1 r 1 k 2 T r 2 S 2 c>r 1+r 2 Ak pre dve kružnice platí c>r 1+r 2, tak tieto dve kružnice nemajú žiadny spoločný bod. c=r 1+r 2 Ak pre dve kružnice platí c=r 1+r 2, tak tieto dve kružnice majú jeden spoločný dotykový bod T.

Vzájomná poloha dvoch kružníc Kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch k 2 A k 1 r 2 r 1 S 2 c Kružnice majú vnútorný dotyk k 1 k 2 S 1 c. S 2 r 1 T r 2 B r 1 -r 2<c<r 1+r 2 Ak pre dve kružnice platí r 1 -r 2<c<r 1+r 2, tak sa tieto kružnice pretínajú v dvoch rôznych bodoch. c=r 1 -r 2 Ak pre dve kružnice platí c=r 1 -r 2, majú tieto kružnice jeden spoločný dotykový bod T (jedna kružnica leží vnútri druhej.

Vzájomná poloha dvoch kružníc Jedna kružnica leží vnútri druhej k 2 k 1 r 2 k 1 Sústredné kružnice r 1 c S 2 r 1 S 1=S 2 c<r 1 -r 2 Ak pre dve kružnice platí c<r 1 -r 2, tak jedna kružnica leží vnútri druhej a nemajú žiadny spoločný bod. c=0 k 2 Dve kružnice, pre ktoré platí c=0, nazývame sústredné kružnice (majú spoločný stred). Oblasť medzi sústrednými kružnicami sa nazýva medzikružie. Dve sústredné kružnice, ktoré majú rovnaký polomer, sú totožné.

Kružnica opísaná a vpísaná trojuholníku Kružnica opísaná trojuholníku C Kružnica vpísaná trojuholníku C ko kv O S A r r B Priesečník osí strán trojuholníka je stred kružnice trojuholníku opísanej. Polomer takej kružnice je vzdialenosť priesečníka osí strán a ľubovoľného vrcholu trojuholníka. A . B Priesečník osí uhlov trojuholníka je stred kružnice trojuholníku vpísanej. Polomer takej kružnice je vzdialenosť priesečníka osí uhlov a päty kolmice spustenej zo stredu kružnice k ľubovoľnej strane trojuholníka.

Dĺžka kružnice Pr. Na kruhových predmetoch sme odmerali ich dĺžku o a ich priemer d. Odmerané hodnoty sú uvedené v tabuľke. Dĺžka kružnice o 37, 2 cm 35, 7 cm 19, 2 cm Priemer d 12 cm 11, 5 cm 6, 2 cm Podiel o: d 3, 1 Podiel o: d je pre všetky kružnice rovnaký. Označujeme ho gréckym písmenom a nazývame aj Ludolfovo číslo. Vieme: =o: d Odtiaľ: o= d alebo o=2 r obvod (dĺžka) kružnice Pr. Vypočítaj dĺžku kružnice s polomerom 10 cm. k r=10 cm S o=? cm ––––––– o=2 r o=2. 3, 14. 10 o=62, 8 cm.

Obsah kruhu Kruh K(S, r) rozdelíme na 12 zhodných častí a potom usporiadame do útvaru na obrázku: r Vzniknutý útvar je približne rovnobežník, preto: S=. r. r Obsah kruhu s polomerom r vypočítame podľa vzorca S= r 2 Pr. Vypočítajte obsah kruhu s priemerom 20 cm. r d=20 cm r=d: 2=10 cm S=? cm 2 –––––S= r 2 S=3, 14. 100 S=314 cm 2 K d=20 cm S

Oblúk kružnice a kruhový výsek Oblúk kružnice A Kruhový výsek A X X B B k K S Y Body A, B delia kružnicu na dve časti, ktoré nazývame kružnicové oblúky. AXB je oblúk kružnice s krajnými bodmi A, B, ktorý obsahuje bod X. AYB je oblúk kružnice s krajnými bodmi A, B, ktorý obsahuje bod Y. S Y Polomery SA a SB delia kruh na dve časti, ktoré nazývame kruhové výseky. ASB(X) – kruhový výsek, ktorý obsahuje bod X ASB(Y) – kruhový výsek, ktorý obsahuje bod Y

Stredový uhol a Talesova kružnica Stredový uhol k 1 k 2 2 1 S Kružnicovému oblúku k 1 prislúcha stredový uhol 1. Kružnicovému oblúku k 2 prislúcha stredový uhol 2. Dĺžka kružnicového oblúka a obsah kruhového výseku Dĺžka kružnice: o=2 r Celej kružnici prislúcha stredový uhol 360º. Dĺžka kružnicového oblúka a 1 prislúchajúcemu k stredovému uhlu 1º je Všeobecne: Analogicky pre obsah kruhového výseku:

Stredový uhol a Talesova kružnica C 1 X k C 2 A S B A C 3 V trojuholníku ABX: + +( + )=180º + =90º => / AXB/=90º r r S r B Talesova veta: Vrcholmi pravých uhlov AXB sú body X kružnice k s priemerom AB a nijaké iné. Množinou vrcholov pravých uhlov všetkých pravouhlých trojuholníkov s preponou AB je kružnica k s priemerom AB okrem bodov A, B. Kružnicu k nazývame Talesova kružnica. Využitie: � v konštrukčných úlohách