Metda Konench Prvkov vo vrobnch technolgiach prednka 8

Metóda Konečných Prvkov vo výrobných technológiach prednáška č. 8

Obsah prednášky • Úloha vedenia tepla v MKP • Teoretické podklady Bilančná rovnica prenosu tepla Spôsoby prenosu tepla Vnútorný zdroj tepla Energia akumulovaná v systéme • Diferenciálna rovnica vedenia tepla Začiatočné podmienky Okrajové podmienky • Funkcionál tepelnej energie 2

Obsah prednášky • Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Diskretizácia telesa Tvarové funkcie Minimalizácia funkcionálu Maticový zápis minimalizovaného funkcionálu • Jednorozmerná úloha prenosu tepla vedením • Dvojrozmerná úloha prenosu tepla vedením Príklad 3

Úloha prenosu tepla • stanovenie teplotného poľa T(x, y, z, t) ([K], [°C]) v bodoch sledovanej oblasti pri zachovaní predpísaných začiatočných a okrajových podmienok • teplotné pole: - stacionárne pole (steady state) - nestacionárne pole (transient analysis) • skalárne pole 4

Teoretické podklady Bilančná rovnica prenosu tepla: • zo zákona zachovania energie Ein + Eg = Eout + Eie [J] kde Ein je tepelná energia vstupujúca do systému, Eg je tepelná energia generovaná v systéme, Eout je tepelná energia vystupujúca zo systému, Eie je zmena vnútornej energie systému • podelením rovnice prírastkom času t dostaneme bilančnú rovnicu tepelných výkonov (tokov – heat flow) Pin + Pg = Pout + Pie [W] 5

Teoretické podklady Spôsoby prenosu tepla: • vedením – kondukcia • prúdením – konvekcia • žiarením – radiácia Nevyhnutnou podmienkou pre existenciu prenosu tepla je existencia teplotného spádu. (Druhý termodynamický zákon) 6

Teoretické podklady Prenos tepla vedením: • Vedenie je prenos tepla v prostredí, ktorého častice sa v smere tepelného toku nepohybujú. T 1 T 2 P x l • Tepelný tok (heat flow) v smere osi x popisuje Fourierov • zákon vedenia tepla kde - tepelná vodivosť materiálu [W. m-1. K-1], 7 A - plocha kolmá na smer vedenia tepla, q - hustota tepelného toku (heat flux)

Teoretické podklady Prenos tepla prúdením: • Teplo sa šíri prúdením z pevného do okolitého hmotného prostredia. • Prúdenie, vyvolané iba rozdielom teplôt v tekutine – voľné prúdenie. • Prúdenie, vyvolané vonkajšími silami (rozdielom tlakov v tekutine) – nútená konvekcia. q, h, Tr Ts, A kde h - koeficient prestupu tepla [W. m-2. K-1], Tr - teplota okolia [K] Ts – povrchová teplota [K], A – teplovýmenná plocha [m-2] 8

Teoretické podklady Prenos tepla žiarením: • • Teplo sa šíri prúdením medzi dvoma pevnými plochami. Je jediným spôsobom prenosu tepla medzi dvoma telesami vo vákuu. P, Tr T, A, kde s – Stefanova-Bolzmannova konštanta [5, 67 e-8 W. m-2. K-4], Tr - teplota okolia (referenčná), A – vyžarujúca plocha, e – emisivita povrchu telesa (e = 0 biele, e = 1 čierne) 9

Teoretické podklady Vnútorný zdroj tepla: • Tepelnú energiu generovanú vnútorným zdrojom (napr. Jouleovo teplo) možno určiť zo vzťahu. kde q – merný výkon tepelného zdroja [W. m-3], V – objem telesa vyžarujúceho teplo [m-3], Pg – tepelný výkon vnútorného zdroja [W] • Viaceré tepelné zdroje sú teplotne závislé, čo spôsobuje ďalšie komplikácie pri výpočte teplotného poľa. 10

Teoretické podklady Energia akumulovaná v systéme: • Pre zmenu vnútornej energie platí kde r – hustota látky [kg. m-3], c – merná tepelná kapacita [J. kg-1. K-1], V – objem telesa akumulujúceho teplo, T – teplota telesa T t – časová zmena teplotného poľa [K. s-1] Pie – tepelný výkon akumulovaný v telese [W] 11

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Všeobecné rovnice pre 3 D úlohu: • Bilančná rovnica pre element telesa d. V = dxdydz y P(y) Ay = dxdz P(z+dz) Pg P(x+dx) P(x) Ax = dydz P(z) z Az = dxdy x P(y+dy) 12

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • tepelný tok Px privedený na stenu elementu Ax = dydz sa odvedie do vnútra vedením • odvedený tok v smere x • Podobne to platí pre osi y a z 13

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Po dosadení do bilančnej rovnice dostaneme základnú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla • Pre izotrópny materiál = x = y = z • Pre stacionárne úlohy je pravá strana rovnice rovná nule. . • Ak neexistuje vnútorný zdroj tepla (q = 0) dostaneme Poissonovu parciálnu diferenciálnu rovnicu (vyskytujúcu sa napr. i pri riešení elektrického potenciálového poľa) 14

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Podmienky jednoznačnosti pre riešenie DR vedenia tepla aj pomocou MKP je potrebné definovať podmienky jednoznačnosti • geometrické • fyzikálne • začiatočné • okrajové 15

Diferenciálna rovnica vedenia tepla Začiatočné a okrajové podmienky: • Vo všeobecnosti je rovnica vedenia tepla diferenciálnou rovnicou druhého rádu závislou na čase. • Preto na jej riešenie treba stanoviť začiatočnú podmienku a okrajové podmienky (OP). • Začiatočná podmienka obvykle vyjadruje začiatočnú teplotu v bodoch telesa 16

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: 1. druhu - Dirichletova predpísaná teplota na časti povrchu A 1 2. druhu - Neumanova hustota tepelného toku q [W. m-2] privedeného na časť povrchu telesa A 2 sa odvedie do vnútra telesa vedením 17

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: 3. druhu - Fourierova hustota tepelného toku q [W. m-2] privedeného telesom na časť povrchu A 3 sa odvedie do okolia ako tepelný tok prúdením s teplotou okolia Tr a súčiniteľom prestupu tepla konvekciou h 4. druhu popisuje podmienky pri dokonalom kontakte dvoch telies 18

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Okrajové podmienky: 5. druhu – Stefanova definuje podmienky pri prenose tepla s pásmom fázovej premeny 19

Diferenciálna rovnica vedenia tepla • Problém nájdenia rozloženia teploty vychádza z riešenia rovníc: pri zohľadnení začiatočných a okrajových podmienok. • Pri použití variačného princípu (princíp virtuálnych prác) problém rozloženia teploty T(x, y, z, t) minimalizáciou funkcionálu (zohľadnenie OP vyjadruje pravá strana rovnice) 20

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Teleso s objemom V 0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A 1, A 2, A 3 s aplikovanými OP • Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku matica tvarových funkcií: vektor teplôt v uzlových bodoch elementu: 21

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP • Funkcionál popisujúci prenos tepla cez celú oblasť nahradíme súčtom funkcionálov (rovnakého tvaru) jednotlivých elementov pričom 22

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizáciou funkcionálu kde m je počet uzlov s neznámou teplotou dostaneme neznáme teploty v uzlových bodoch. 23

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) Pozn. Plošné integrály na pravej strane rovnice sa v nej nebudú vyskytovať ak i-ty uzol neleží na plochách A 2 alebo A 3. 24

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) obsahuje predstavuje časovú zmenu teplotného poľa v uzlových bodoch 25

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP Minimalizovaný funkcionál (e) v maticovom tvare obsahuje: maticu teplotnej vodivosti 26

Výpočet teplotného poľa pomocou MKP maticu konvekcie maticu tepelnej kapacity vektor tepelných tokov od vnútorného zdroja, vedenia a konvekcie 27

Jednorozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme dvojuzlový čiarový prvok kruhového prierezu (s priemerom d ), ktorý prenáša teplo vedením a generuje sa v ňom Jouleovo teplo (vnútorný zdroj tepla - napr. spôsobený prechodom elektrického prúdu). Teplota v mieste x 28

Jednorozmerná úloha vedenia tepla matica teplotnej vodivosti – pre jednorozmerný prvok 29

Jednorozmerná úloha vedenia tepla matica konvekcie - voľná konvekcia z povrchu do okolia 30

Jednorozmerná úloha vedenia tepla vektor tepelného toku - transformovaný do uzlových bodov s uvažovaním iba konvekcie a generovaného Jouleovho tepla 31

Jednorozmerná úloha vedenia tepla Rovnice prenosu tepla - pre jednorozmerný prútový prvok - majú maticový tvar a po dosadení: 32

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla Uvažujme úlohu prenosu tepla pre dvojrozmerné teleso všeobecného tvaru (tretí rozmer telesa je rovný 1). Diferenciálna rovnica vedenia tepla pre stacionárnu teplotnú sústavu má tvar: 33

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla • Teleso s objemom V 0 rozdelíme na noe elementov a non uzlových bodov (nodes) s plochami A 1, A 2, A 3 s aplikovanými OP • Teplotu v ľubovoľnom bode elementu vyjadríme ako funkciu teploty uzlových bodov prvku matica tvarových funkcií: vektor teplôt v uzlových bodoch elementu: 34

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla 35

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla 36

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla 37

Dvojrozmerná úloha vedenia tepla 38